сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 15
Сумма первого и четвертого членов арифметической прогрессий равна 2, а ее 5 член больше третьего на 4. Найдите сумму 10 ее первых
Решение: первый член А, четвёртый А+3Х, пятый А+4х, третий А+2х
получаем уравнения :
А+А+3х=2
А+4х=А+2х+4
из второго получаем, что 2х=4, х=2
первый член А=-2
подставляем в формулу суммы прогрессии
(А1+А10)*10/2=(-2+-2+9*2)*10/2=70Первый член прогрессии=А
Третий=А+2х
Четвертый=А+3х
Пятый=А+4х
А+А+3х=2
А+4х=А+2х+4
2х=4
х=2
А=2
(А1+А10)*10/2=70
Сумма восьмого и шестого членов арифметической прогрессии равна 16, а проиведение второго и двенадцатого равно -36. Найдите раность и первый член прогрессии
Решение: {a₈+a₆=16
{a₂ * a₁₂= -36
a₈=a₁+7d
a₆=a₁+5d
a₂=a₁+d
a₁₂=a₁+11d
{a₁+7d+a₁+5d=16
{(a₁+d)*(a₁+11d)= -36
{2a₁+12d=16
{a₁² + a₁d+11a₁d+11d²= -36
{a₁+6d=8
{a₁² + 12a₁d + 11d² = -36
a₁=8-6d
(8-6d)² + 12d(8-6d)+11d²= -36
64-96d+36d²+96d-72d²+11d²= -36
-25d²= -36-64
-25d²= -100
d² = 4
d₁=2
d₂= -2
При d=2
a₁=8-6*2= 8-12= -4
При d= -2
a₁=8-6*(-2)=8+12=20
Ответ: a₁=20 d= -2;
a₁= -4 d=2Сумма 5 и 13 членов арифметической прогрессии равна 10. найдите сумму первых 17 ее членов.
Решение: А5+а13=10
а5=а1+4d
a13=a1+12d
a5+a13=2*a1+16*d
S17=(2*a1+16*d)*17/2=(a5+a13)*17/2=10*17/2=85
Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 4, а произведение этих же чисел равно -32. Найдите третий член прогрессии.
Решение: A₅ = a₁ + d(5 - 1) = a₁ + 4d.
По первому условию:
a₁ + a₁ + 4d = 4,
2a₁ + 4d = 4.
a₁ + 2d = 2. Отсюда a₁ = 2 - 2d.
По второму условию:
a₁ * (a₁ + 4d) = -32.
Заменим a₁ на 2 - 2d:
(2 - 2d)(2 - 2d + 4d) = -32,
(2 - 2d)(2 + 2d) = -32,
4 - 4d² = -32 сократим на 4,
1 - d² = -8,
d² = 1 + 8 = 9,
d = √9 = +-3. Примем первое значение d = 3.
a₁ = 2 - 2*3 = 2 - 6 = -4,
a₅ = a₁ + 4d = -4 + 4*3 = -4 + 12 = 8.
Проверяем условие: а₁ + а₅ = -4 + 8 = 4,
а₁*а₅ = (-4)*8 = -32.
Примем второе значение d = -3.
a₁ = 2 - 2*(-3) = 2 + 6 = 8,
a₅ = a₁ + 4d = 8 + 4*(-3) = 8 - 12 = -4.
Проверяем условие: а₁ + а₅ = 8 - 4 = 4,
а₁*а₅ = 8*(-4) = -32.
Оба варианта верны, значит задача имеет два варианта ответа.
Третий член прогрессии равен:
по первому варианту:
a₃ = a₁ + d(3 - 1) = a₁ + 2d
а₃ = -4 + 2*3 = -4 + 6 = 2.
По второму варианту:
а₃ = 8 +2*(-3) = 8 - 6 = 2.
В обоих вариантах значения третьего члена прогрессии совпадают.
Сумма ста тридцати первых членов арифметической прогрессии равна сумме ее первых восьмидесяти членов. найдите сумму первых двухсот десяти членов этой прогрессии.
Решение: Рассмотрим общий случайSn=(2a1+d(n-1))*n/2
Sk=(2a1+d(k-1))*k/2
(2a1+(n-1)d)*n/2=(2a1+(k-1)d)*k/2
2a1(n-k)=k(k-1)d-n(n-1)d
a1=d(k^2-k-n^2+n)/2(n-k)
a1=d(-(n^2-k^2)+n-k)/2(n-k)
a1=d(-n-k+1)/2
a1=-d(n+k-1)/2
S_(n+k)=(2a1+d(n+k-1))(n+k)/2
d(n+k-1)=-2a1
S_(n+k)=(2a1-2a1))(n+k)/2=0
Т. е. мы доказали, что для любых n и k, если сумма n первых членов прогрессии равна сумме k первых членов прогрессии, сумма n+k первых членов прогрессии всегда равна 0.
Значит S210=0.
100a1=d(6400-80-16900+130)
100a1=-10450d
a1=-104,5d
S210=(2a1+d(210-1))*210/2=420a1+21945d=-(43890+21945)d=-21945d
S130=(-209d+129d)130/2=-80d*65=-5200d
S80=(-209d+79d)*40=-130d*40=
Сумма второго и двадцатого членов арифметической прогрессии равна 10, а произведение этих членов равно 1519/64. Найти сумму первых 16 членов этой прогрессии.
Решение: $$ a_2+a_{20}=10, a_2\cdot a_{20}=1519/64 $$$$ a_2^2-10a_2+1519/64=0 $$
$$ 64a_2^2-640a_2+1519=0 $$
$$ (8a_2)^2-80(8a_2)+1519=0 $$
$$ D/4=40^2-1519=1600-1519=81 $$
$$ 8a_2=40\pm 9 $$
$$ a_2=49/8;31/8 $$
$$ (a_2,a_{20})=(49/8,31/8)\text{ or }(31/8,49/8) $$
1) $$ (a_2,a_{20})=(49/8,31/8) $$
\(d=(31/8-49/8)/18=-1/8 \\ a_1=a_2-d=50/8=25/4 \\ S_{16}=\dfrac{(2a_1+15d)\cdot16}{2}=(100/8-15/8)\cdot8=85\)
2) \( (a_2,a_{20})=(31/8,49/8) \\ d=1/8 \\ a_1=30/8=15/4 \\ S_{16}=(60/8+15/8)\cdot8=75\)
Ответ. 75 или 85.
Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 12.
Найдите сумму тринадцати первых членов этой прогрессии.
Решение: $$ a_5+a_9=12 $$
$$ a_n=a_1+(n-1)*d $$
$$ a_5=a_1+(5-1)d=a_1+4d $$
$$ a_9=a_1+(9-1)d=a_1+8d $$
$$ (a_1+4d)+(a_1+8d)=12 $$
$$ a_1+4d+a_1+8d=12 $$
$$ 2a_1+12d=12 $$
$$ a_1+6d=6 $$
-
$$ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
$$ S_{13}=\frac{2a_1+(13-1)*d}{2}*13=(a_1+6d)*13=6*13=78 $$
ответ: 78
В арифметической прогрессии седьмой член в три раза больше второго, а
сумма первых шести членов равна 48. Найти сумму членов с пятого по
восемнадцатый включительно.
Знаю, что ответ 336
Решение: A₇=3a₂
a₁+6d=3(a₁+d)
a₁+6d=3a₁+3d
6d-3d=3a₁-a₁
3d=2a₁
d=²/₃ a₁
S₆=((a₁+a₆)/2)*6=3(a₁+a₆)=3(a₁+a₁+5d)=3(2a₁+5d)
48=3(2a₁+5d)
2a₁+5d=48:3
2a₁+5d=16
2a₁+5 * ²/₃ a₁=16
⁶/₃ a₁ + ¹⁰/₃ a₁=16
¹⁶/₃ a₁=16
a₁= 16 : ¹⁶/₃
a₁= 16 * ³/₁₆
a₁=3
d= ²/₃ a₁= ²/₃ * 3=2
a₅=a₁+4d=3+4*2=3+8=11
a₁₈=a₁+17d=3+17*2=3+34=37
В арифметической прогрессии с а₅ по а₁₈ включительно всего 14 членов.
S₅₋₁₈=((a₅+a₁₈)/2) * 14=7(11+37)=7*48=336
Ответ: 336.Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего ее членов равно 21. Запишите первые пять членов этой
прогрессии, если известно, что третий ее член-положительное число.
Решение: а- первый член прогрессии, d - разность прогрессии а2+а5=а+d+а+4d=2a+5da2*a3=(a+d)(a+2d)=a^2+da+2da+2d^2 Получаем систему уравнений:2a+5d=18a^2+3ad+2d^2=21 Выразим из первого уравнения а:a=(18-5d)/2=9-2,5d Подставим во второе уравнение:(9-2,5d)(9-2,5d)+3(9-2,5d)d+2d^2-21=0 Когда раскроем все скобки и сведем все члены, получим квадр. уравнение вида:0,75d^2-18d+60=0 Решив это уравнение, получим 2 корня d=20 и d=4d=20 - не подходит, т. к. получается, что второй член не является натуральным числом (-21), что противоречит условию. Подставим d=4 в первое уравнение:2а+20=182а=-2а=-1 Ответ: а1=-1, d=4.Арифметическая прогрессия
Сумма первых 12-ти членов арифметической прогрессии {an} равна 372. Найдите a9, если a4=21.
Решение: Решение:
Дано:
S12=372
a4=21
Найти: а9
Для решения воспользуемся двумя формулами арифметической прогрессии:
Sn=(a1+an)*n/2 (1)
an=a1+d*(n-1) (2)
372=(a1+a12)*12/2
а12=а1+d*(12-1)
а12=a1+11d
372=(a1+a1+11d)*6
372=(2а1+11d)*6 (1)
21=a1+d*(4-1)
21=a1+3d (2)
Решим получившуюся систему уравнений:
372=(2a1+11d)*6
21=a1+3d
Найдём из второго уравнения (а1) и подставим его значение в первое уравнение:
а1=21-3d
372=[2*(21-3d)+11d]*6
372=(42-6d+11d)*6
372=(42+5d)*6 Сократим левую и правую части уравнения на 6
62=42+5d
5d=62-42
5d=20
d=20 : 5
d=4
Найдём значение (а1), подставив значение d=4 в 21=a1+3d
21=a1+3*4
21=a1+12
a1=21-12
a1=9
Найдём значение а9
а9=a1+d*(9-1)
a9=9+4*8
a9=9+32
a9=41
Ответ: а9=41
$$ S_{12}=\frac{2a_1+11d}2\cdot 12=372\\a_4=a_1+3d\Rightarrow a_1=a_4-3d=21-3d\\\frac{42-6d+11d}2\cdot12=372\\42+5d=62\\5d=20\\d=4\\a_1=21-3\cdot4=21-12=9\\a_9=a_1+8d=9+8\cdot4=9+32=41 $$
