сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 14
Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трёх равна -21, а сумма трёх последних чисел равна -6. Найдите эти числа.
Решение: Сумма трех первых равна -21
a1 + a2 + a3 = a1 + a1 + d + a1 + 2d = 3a1 + 3d = -21
Делим все на 3
a1 + d = -7
Сумма трех последних равна -6
a2 + a3 + a4 = a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = 3a1 + 6d = -6
Делим все на 3
a1 + 2d = -2
Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение
a1 + 2d - a1 - d = -2 + 7
d = 5
Подставляем в 1 уравнение
a1 + 5 = -7
a1 = -12
Получили прогрессию: a1 = -12, d = 5
Это числа -12,7,2, 3
4 числа являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Сумма первых трёх равна -21, а сумма трёх последних 6. Найдите сумму этих чисел.
Решение: Решение:
Дано:
S(1по3)=-21
S(c2по4)=6
Найти:S4
S=(a1+an)*n/2
an=(a1+d*(n-1)
S(1-3)=(a1+a3)*3/2
a3=a1+d(3-1)=a1+2d
S(1-3)=(a1+a1+2d)*3/2=(2a1+2d)*3/2=2(a1+d)*3/2=(a1+d)*3=3a+3d
или: -21=3a1+3d
S(2-4)=(a2+a4)*3/2
a2=a1+d
a4=a1+d(4-1)=a1+3d
S(2-4)=(a1+d+a1+3d)*3/2=(2a1+4d)*3/2=2(a1+2d)*3/2=3a+6d
или: 6=3a1+6d
Получилась система уравнений:
-21=3a1+3d
6=3a1+6d
Вычтем из первого уравнения второе уравнение:
-21-6=3a1+3d-3a1-6d
-27=-3d
d=-27 :-3
d=9
Подставим значение d (разность прогрессии) в первое уравнение:
-21=3a1+3*9
-21=3a1+27
-21-27=3a1
a1=-48 : 3
а1=-16
Найдём S4
S4=(a1+a4)*4/2
a4=-16+9*(4-1)=-16+9*3=-16+27=11
S4=(-16+11)*2=-5*2=-10
Ответ: S4=-10
Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трех равна -21, а сумма трех последних равна -6. Найдите эти числа.
Решение: a1+a2+a3=-21 a2+a3+a4=-63a1+3d=-21 3a1+6d=-6
a1+d=-7 a1+2d=-2
a2=-7 a3=-2
d=a3-a2=5
a1=a2-d=-12
a4=a3+d=3
Ответ -12 -7 -2 3
a1+a2+a3 = -21
a2+a3+a4 = -6
вычтем из первого - второе
a1+(a2+a3) - (a2+a3) - a4 = -21 -(-6)
a1 -a4 = -15 ;
a4 = a1 +15 =a1 +(3*5) ; здесь (n-1)=3; d=5
a1+a2+a3 = 3*a1 + 3d = -21 ; a1 + d = -7 ; a1 + 5= -7 ; a1 = -12
a2 = -12 +5 = -7
a3 = -7 +5 = -2
a4 = -2 + 5 = 3
проверка
a2+a3+a4 = -6 ; -7 -2 +3 = -6
Три числа, сумма которых равна 114, можно рассматривать как три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии или как первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найдите большее из этих чисел.
Решение: х - наибольшее число, d - разность арифметической прогрессии;х-24d - наименьшее (первое) число,
(х-24d)+3d=x-21d - второе число (четвертый член арифметичесой прогрессии).
х-24d+x-21d+x=114,
(x-21d)^2=(x-24d)x - свойство геометрической прогрессии,
3x-45d=114,
444d^2-18xd=0,
x-15d=38,
49d-2x=0,
d=(x-38)/15,
49(x-38)/15-2x=0,
49x-1862-30x=0,
19x=1862,
x=98.
1. Первый член арифметической прогрессии 2, а пятый 7. Сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 63?
Решение: а1=2
а5=7
а5=а1+4d=7
2+4d=7
4d=5
d=5/4
Sn=(2*2+5/4(n-1)):2*n=63
2n+5/8n²-5/8n=63
5/8n²+11/8n-63=0
D = (11/8)^2 - 4·(5/8)·(-63) = 1020164
n1 = (-11/8 - √10201/64):2·(5/8) = -56.5 это не подходит так как отриц
n2 = (-11/8 + √10201/64):2·(5/8) = 9
второе чуть позже, времени нет)))
А1 = 2
а5 = 7=a1+b*(5-1)=2+b*4
b = 5/4
an=a1+b*(n-1)
Sn = (a1+an)/2*n = (a1+a1+b*(n-1))/2*n = (4+b*(n-1))/2*n = 63
(4+5/4*(n-1))*n=126
(16+5*(n-1))*n=4*126
5n^2+11n-4*126=0
n=9Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, такой что её первые три члена, сумма которых равна 148/9 являются одновременно первым, четвёртым и восьмым членами арифметической прогрессии
Решение: По условию задачи
b₁=a₁
b₂=a₄
b₃=a₈
и
b₁+b₂+b₃=148/9
Основное характеристическое свойство геометрической прогрессии
b₂²=b¹·b³
По формуле общего члена арифметической прогрессии
а₄=а₁+3d
a₈=a₁+7d
Подставляем вместо b₁; b₂; b₃
а₁; a₄; a₈, выраженные через a₁ и d.
Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными a₁ и d.
{a₁+a₁+3d+a₁+7d=148/9
{(a₁+3d)²=a₁·(a₁+7d)
{3a₁+10d=148/9
{a₁=9d
3·9d+10d=148/9
37d=148/9
d=4/9
a₁=4
b₁=a₁=4
b₂=a₄=a₁+3d=4+3·(4/9)=4+(4/3)=16/3
q=b₂/b₁=(16/3):4=4/3
b₄=b₁·q³=4·(4/3)³=64/27
S₄=S₃+b₄=(148/9)+(64/27)=(148·3+64)/27=508/27
О т в е т. 508/27
1. Сколько отрицательных членов содержит арифметическая прогрессия -37,33,29.(нужно полное решение)
2. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии 8,12,16, чтобы их сумма была равна 260?
3. среднее арифметическое двух чисел равно 2 1/5, причем 1/6 первого числа =1/4 второго числа. Найдите эти числа.
Решение: 1) Найдём d:d=-33-(-37)=5
тогда
$$ a_{1}+(n-1)*d<0\\-37+(n-1)*5<0\\5n<37+5\\5n<42\\x<8\frac{2}{5} $$
Следовательно отрицательных чисел 8.
2)$$ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)*d}{2} $$
Sn=260;
a1=8
d=12-8=4
$$ \frac{a_{n}+a_{k}}{2}=2\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}a_{n}=\frac{1}{4}a_{k}\\a_{n}=\frac{5*a_{k}}{4}\\\frac{\frac{5a_{k}}{4}+a_{k}}{2}=2\frac{1}{5}\\\frac{9a_{k}}{4*2}=\frac{11}{5}\\45a_{k}=88\\a_{k}=\frac{88}{45}\\a_{n}+\frac{88}{55}=\frac{22}{5}\\a_{n}=\frac{22}{5}-\frac{88}{55}\\a_{n}=\frac{242-88}{55}\a_{n}=\frac{154}{55} $$
1. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два товарных поезда. Они двигались без остановки, встретились через 24 часа после начала движения и продолжили свой путь, причём первый поезд прибыл в пункт В на 20 часов позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени был в пути первый поезд?
2. Три Различных числа a,b,c, сумма которых равна 124, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Одновременно эти три числа a,b,c - являются соответственно третьим, тринадцатым и пятнадцатым членами арифметической прогрессии. Найдите числа a,b,c.
Решение: 1)
Для условности примем весь путь за 1 ! тогда по условию время до встречи одинаковое, пусть скорости их равны х и у тогда
$$ 24x+24y=1\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=20\\ \\ x=\frac{1}{24}-y\\ \frac{1}{\frac{1}{24}-y} - \frac{1}{y}=20\\ \frac{24}{1-24y} - \frac{1}{y}=20\\ 24y-(1-24y)=20y(1-24y)\\ 48y-1=20y-480y^2\\ y=\frac{1}{40}\\ x=\frac{1}{60} $$
то есть за 60 часов проехал !
2) $$ \frac{b}{a}=\frac{c}{b}\\ a_{1}+2d=a\\ a_{1}+12d=b\\ a_{1}+14d=c\\ \\ \frac{a_{1}+12d}{a_{1}+2d} =\frac{a_{1}+14d}{a_{1}+12d}\\ 3a_{1}+28d=124\\ \\ a_{1}=116\\ d=-8\\ a=4\\ b=20\\ c=100 $$Сумма первых n членов арифметической прогрессии (xn) равна 120 сколько первых членов в этой прогрессии если x3+xn-2 =30
Решение: -$$ S_n=120;x_3+x_{n-2}=30;\\\\x_n=x_1+(n-1)*d;\\\\x_1+x_n=x_1+x_1+(n-1)*d=\\=x_1+x_1+(n-2-1+3-1)*d=\\=x_1+(3-1)*d+x_1+(n-2-1)*d=x_3+x_{n-2}=30;\\\\S_n=\frac{x_1+x_2}{2}*n=120;\\\\\frac{30}{2}*n=120;\\\\15n=120;\\\=120:15=8 $$
Сумма восьмого и тринадцатого членов арифметической прогрессии равна 3,5. Найдите сумму первых двадцати членов прогрессии
Решение: а8 + а13 = 3.5S20 -
аn = a1 + d(n -1) \\\\\ где n - эта член арифметической прогресси
a8 = a1 + 7d
a13 = a1 + 12d
S = ((2a + d(n - 1))/2)*n
а8 + а13 = 3.5
(a1 + 7d) + (a1 + 12d) = 3,5
2a1 + 19d = 3,5
2a1 = 3,5 - 19d
S = ((2a + d(n - 1))/2)*n
S20 = (((3,5 - 19d) + d(20 - 1))/2)*20
S20 = ((3,5 - 19d + 19d)/2)*20
S20 = ((3,5)/2)*20
S20 = 3,5*20/2
S20 = 3,5*10
S20 = 35
Ответ: сумма двадцати первых членов арифметической прогресси равна 35.
