прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 12
Даны четыре числа, из которых первые три являются тремя последовательными членами геометрической, а последние три - членами арифметической прогрессии; сумма крайних чисел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найти эти числа.
Решение: Пусть эти числа $$ a,b,c,d $$
$$ a;b;c- $$ - геометрическая прогрессия
$$ b,c,d $$ - арифметическая прогрессия
по условию
$$ a+d=32\\ b+c=24\\ $$
так как $$ b-a=c-b\\ 2b=a+c\\ \\ \frac{c}{b}=\frac{d}{c}\\ c^2=bd \\\\ a+c=2b \\ c^2=bd\\ a+d=32\\ b+c=24\\ \\ a+c+b+d=56\\ 2b+b+d=56\\ 3b+d=56\\ d=56-3b\\ c=24-b\\ \ (24-b)^2=b(56-3b) \\ 24^2-48b+b^2=56b-3b^2\\ b^2-26b+144=0\\ (b-18)(b-8)=0\\ b_{1}=18\\ b_{2}=8\\ c_{1}=6\\ c_{2}=16\\ a_{1}=2*18-6=30\\ a_{2}=2*8-16=0\\ d_{1}=2 d_{2}=32\\ \\ $$
Эти числа $$ 2;6;18;30 $$
Три числа образуют геометрическую прогрессию, в которой q>1. Их можно рассматривать соответственно как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите наибольшее из чисел, если их сумма равна 91
Решение: An - члены арифметической прогрессии
Bn - члены геометрической прогрессии
A₁+A₃+A₉=91
A₁+(A₁+2d)+(A₁+8d)=91
3A₁+10d=91
3A₁=91-10d
A₁=91-10d
3
A₁=B₁
A₃=B₂=B₁q=A₁q
A₉=B₃=B₁q²=A₁q²
A₃=A₁q
A₁+2d=A₁q
A₉=A₁q²
A₁+8d=A₁q²
{A₁q=A₁+2d
{A₁q²=A₁+8d
q=A₁+2d
A₁
A₁ (A₁+2d)² = A₁+8d
A₁²
(A₁+2d)² = A₁+8d
A₁
(A₁+2d)²=A₁(A₁+8d)
A₁²+4A₁d+4d²=A₁²+8A₁d
A₁²-A₁²+4A₁d-8A₁d+4d²=0
-4A₁d+4d²=0
-4d(A₁-d)=0
-4d=0 A₁-d=0
d=0 A₁=d
не подходит
91-10d = d
3
91-10d=3d
-10d-3d=-91
-13d=-91
d=7
A₁=7
A₃=7+2*7=7+14=21
A₉=7+8*7=7+56=63
7; 21; 63 - геометрическая прогрессия
63 - наибольшее число
Ответ: 63.Могут ли числа 1) √2; √3;√5; 2)√5-√2; 1; \( \frac{1+4 \sqrt{2} }{ \sqrt{5+ \sqrt{2} }+2 } \)
, быть членами арифметической прогрессии?
Сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам соответственно прибавить 1, 4 и 19, то полученные числа составят первые три члена геометрической прогрессии. Найдите данные три числа.
Докажите, что для арифметической прогрессии {an} верно равенство\( \frac{Sn-Sk}{Sn+k} = \frac{n-k}{n+k} \) при d=2a1
Решение: 1. Если эти числа бы являлись членами арифметической прогрессии то выполнялось бы равенство
$$ \sqrt{3}-\sqrt{2} eq \sqrt{5}-\sqrt{3} $$ следовательно нет
$$ 1-(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5+\sqrt{2}}+2}-1\\ 1-\sqrt{5}+\sqrt{2} eq \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5+\sqrt{2}}+2}-1 $$ не является
2. пусть эти числа x;y;z
$$ x+y+z=15\\ \frac{y+4}{x+1}=\frac{z+19}{y+4}\\ y-x=z-y \\\\ 2y=z+x\\ 3y=15\\ y=5\\ \\ \frac{9}{x+1}=\frac{z+19}{9}\\ x+z=10\\ \\ \frac{9}{11-z}=\frac{z+19}{9}\\ (z+19)(11-z)=81\\ 11z-z^2+19*11-19z=81 \\ -z^2-8z+128=0\\ z=8\\ x=2\\ $$
числа 2;5;8
3. Возможно вы имели там ввиду $$ S_{n}+S_{k} $$ так как не имеет смысла
$$ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}*n\\ S_{n}=\frac{d*n^2}{2}\\ \\ S_{k}=\frac{2a_{1}+(k-1)d}{2}*k\\ S_{k}=\frac{d+kd-d}{2}*k=\frac{dk^2}{2}\\ \\ S_{n}-S_{k}=\frac{dn^2-dk^2}{2}\\ S_{n}+S_{k}=\frac{dn^2+dk^2}{2}\\ \\ \frac{n^2-k^2}{n^2+k^2} $$ справедливо только такое соотношениеСумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение а(второе)*а(девятое) равно 147. Найти прогрессию, если она является возрастающей.
Решение: S10 = (a1 + a10) / 2 * 10 = 140a1 + a10 = 28
a2 * a9 = 147
Решаем:
a10 = a1 + 9k; a2 = a1 + k; a9 = a1 + 8k
a1 + a1 + 9k = 28; a1 = 14 - 4,5k
(a1 + k) * (a1 + 8k) = 147
(14 - 4,5k + k) * (14 - 4,5k + 8k) = 147
(14 - 3,5k) * (14 + 3,5k) = 147
196 - 12,25k^2 = 147
k = 2 или k = -2 (второй корень отбрасываем, так как прогрессия возрастает)
a1 = 14 - 4,5k = 14 - 4,5 * 2 = 5
Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии равна 130. Известно, что четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти первый член арифметической прогрессии, если известно, что он меньше 50.
Решение: Члены арифметической прогрессии обозначим An, геометрической Bn.
Тогда имеем:
13A1+78d=130(из формулы суммы первых членов арифметической прогрессии Sn=((2A1+d(n-1))/2)*n), что равносильно
A1+6d=10
A4=A1+3d=B1
A10=A1+9d=B1*q
A7=A1+6d=B1*q^2
B1*q^2=10
B1+3d=10
B1+6d=B1*q
B1=10/q^2(Выражаем B1 из первого уравнения)
B1=10-3d(Выражаем B1 из второго уравнения)
3d=10-B1(теперь 3d из второго)
3d=10-10/q^2(подставляем сюда значение B1 из первого)
10+3d=10/q(подставляем вместо B1 соответственно 10-3d и 10/q^2)
10+10-10/q^2=10/q
20-10/q^2-10/q=0
20q^2-10q-10=0
2q^2-q-1=0
D=1+8=9
q1=(1-3)/4=-1/2
q2=(1+3)/4=1
Зная q, можно найти все остальное:
B1*q^2=10
B1=10/q^2
3d=10-B1
Для q=-1/2 B1=40, 3d=10-40=-30, d=-10
Для q=1 B1=10, 3d=10-B1=0, d=0.
Так как нам известно что первый член арифметической прогрессии не равен второму, то корень q=1 не подходит (так как d=0). Значит, d=-10.
Найдем A1.
A1+3d=B1
A1-30=40
A1=70.
Ответ: A1=70.Сумма первогои пятого членов арифметической прогрессии равна 5\3, а произведение третьего и четвертого её членов равно 65\72. Найти сумму первых 17 членов этой прогрессии.
Решение: сумма первого и пятого =a1+a1+4d=2a1+4d=5/3=>a1+2d=5/6произведение третьего и четвертого=(a1+2d)(a1+3d)=65/72
подставляем a1+2d=5/6 и получаем
(a1+3d)*5/6=65/72
a1+3d=13/12
a1+2d=5/6
Вычитаем из первого второе и получаем:
d=13/12-5/6=1/4=>a1=13/12-3/4=1/3
S17=(2a1+16d)/2*17=(2/3+4)/2*17=7*17/3=119/3=39 2/3
Пусть первый член прогрессии равен А, а разность - В. Выразим интересующие нас члены прогрессии через эти величины
а₁ + а₅ = А + А + 4 * В = 2 * А + 4 * В = 2 * (А + 2 * В) = 2 * а₃ = 5/3
Следовательно а₃ = 5/6
a₃ * a₄ = 5/6 * a₄ = 65/72, поэтому а₄ = 13/12
Итак В = а₄ - а₃ = 13/12 - 5/6 = 1/4
A = a₃ - 2 * B = 5/6 - 1/2 = 1/3
2 * A + 16 * B 17 119
Тогда S₁₇ = - * 17 = 17 * A + 136 * B = - + 34 = -
2 3 3
Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна 153. Найти n если a3=9 и a7-а2=20
Решение: a3=a1+2da7=a1+6d
a2=a1+d
Система:
a1+2d=9
a1+6d-a1-d=20
a1+2d=9
5d=20 |:5
d=4
a1=1
2a1+(n-1)d
Sn=_________ *n
2
2+(n-1)4n
153=_______
2
2n^2-n-153=0
D=1225
n1=9
n2=-8,5 - не соответствует условию задачи.
n=9
Ответ:9
Сумма первых трех чисел арифметической прогрессии равна 222. Второй член в 5 раз больше первого члена арифметической прогрессии. Найдите первый член.
Решение: A₁ + a₂ + a₃ = 222 сумма первых трех чисел арифметической прогрессии
a₂ = 5a₁
a₂ - a₁ = a₃ - a₂
2a₂ = a₃ + a₁
a₂ + 2a₂ = a₁ + a₂ + a₃
3a₂ = 222
a₂ = 74
74 = 5a₁
a₁ = 74/5 = 14,8
проверка:
a₁ = 14,8
a₂ = 74
d = 74 - 14,8 = 59,2
a₃ = a₂ + d = 74 + 59,2 = 133,2
a₁ + a₂ + a₃ = 14,8 + 74 + 133,2 = 222
Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 15. Если к этим членам соответственно прибавить 1; 3 и 9 то получатся первые три члена возрастающей геометрической прогрессии. Найдите первые семь членов этой геометрической прогрессии.
Решение: Согласно условию пусть а1, а2 и а3 - члены арифм. прогрессии. Тогда (а1+1), (а2+3) и (а3+9) - члены геом прогрессии.
Получим систему:
$$ \begin{cases} a_1+a_2+a_3=15 \\ (a_2+3)^2=(a_1+1)(a_3+9) \end{cases}\\ \begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=15 \\ (a_2+3)^2=(a_1+1)(a_3+9) \end{cases}\\ \begin{cases} 3a_1+3d=15 \\ (a_2+3)^2=(a_1+1)(a_3+9) \end{cases}\\ \begin{cases} a_1+d=5 \\ (a_1+d+3)^2=(a_1+1)(a_1+d+d+9) \end{cases}\\ \begin{cases} a_1=5-d \\ (5+3)^2=(5-d+1)(5+d+9) \end{cases}\\ $$
$$ \begin{cases} a_1=5-d \\ 64=(6-d)(14+d) \end{cases}\\ d^2+8d-20=0 $$
d = 10 или d = -2
При d = 10 получим арифметическую прогрессию 15; 5; -5.
Соответствующая ей геом. прогрессия есть 16; 8; 4 - не является возрастающей.
Значит, d = -2 - разность искомой арифм. прогрессии.
Соответствующая ей геом. прогрессия есть 4; 8; 16 - является возрастающей.
Итак:
$$ b_1=4,\ b_2=8,\ b_3=16,\ b_4=32,\ b_5=64,\ b_6=128,\ b_7=256. $$
В арифметической прогрессии сумма 1 и 6 членов равна 11, а сумма второго и четвертого членов равна 10. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии
Решение: 1способ) а1+а6=а2+а5=а3+а4s6=3*(a1+a6)
s=33
2способ)
a2=a1+d
a4=a1+3d
a6=a1+5d
следывательно а1+а6=2а1+5d=11
a2+a4=2a1+4d=10
следывательно d=1
а1=3
s=33
Вот посмотри. и реши. удачи
