сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 10
В арифметической прогрессии 10 членов, их сумма равна 245. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номерами, как 27: 22. Определите первый член прогрессии.
Решение: 1) 27 + 22 = 49(частей)
245 : 49 = 5 (приходится на 1 часть)
27 ·5 = 135 ( это сумма членов с чётными номерами)
22 ·5 = 110 ( это сумма членов с нечётными номерами)
а2 + а4 + а6 + а8 + а10 = 135
а1 + а3 + а5 + а7 + а9 = 110
Теперь надо решать эту систему. Будем упрощать:
а1 + d + a1 + 3d + a1 + 5d + a1 + 7d + a1 + 9d = 135
a1 + a1 + 2d + a1 + 4d + a1 + 6d + a1 + 8d = 110
Приводим подобные
5а1 + 25d = 135
5a1 + 20d = 110
Вычтем из первого уравнения второе. Получим:
5d = 25
d = 5
Подставим найденный d в любое уравнение ( в первое)
5а1 + 25·5 = 135
5а1 +125 = 135
5а1 = 10
а1 = 2Найдите десятый член арифметической прогрессии, если сумма первых n членов равна Sn=n^2
Решение: S2 = 2a1 + d = 2^2, 2a1 + d = 4 - это первое уравнение системыS3 = 3*(2a1 + 2d)/2, 3(a1 + d) = 3^2, a1 + d = 3 - это второе уравнение системы
Вычтем из первого уравнения второе: a1 =1, тогда d = 2
Найдем a10: a10 = a1 + d(10-1) = 1 + 18 = 19
Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Sn = (a1+an)*n/2 = n²
где an = a1+d(n-1)
(a1+a1+d(n-1))*n/2 = n*n
(2a1+d(n-1))/2 = n
2a1+dn-d=2n
2a1-d=2n-dn
2a1-d=n(2-d)
при n=1
2a1=2
a1=1
при n=2
2a1-d=4-2d
d=4-2*1=2
a₁₀ = a1+d(10-1)=1+2*9 = 19
сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 66, а сумма первых четырёх её членов равна 21. Найдите первый член прогрессии
Решение: S(8)=(a1+a8)*8/2=66(a1+a1+7d)*4=66
2*a1+7d=16,5
S(4)=(a1+a4)*4/2=21
(a1+a1+2d)*2=21
Решим систему уравнений:
2*a1+7d=16,5
2*a1+2d=10,5
применим метод сложения:
5d=6,5
d=1,3
2а1+2*1,3=10,5
а1+1,3=10,5:2
а1+1,3=5,25
а1=3,95
Ответ:3,95
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 27,5, сумма следующих пяти её членов равна 90. Найдите сумму членов этой прогрессии с 11-го по 15-й включительно.
Решение: Согласно условию
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = 27,5
а6 + а7 + а8 + а9 + а10 = 90,
тогда S10 = a1 + a2 +.+a10 = 27,5 + 90 = 117,5
Чтобы найти сумму членов прогрессии с 11-го по 15-ый включительно, можно из суммы первых пятнадцати членов вычесть сумму первых десяти членов этой прогрессии, то есть
а11 + а12 + а13 + а14 + а15 = S15 - S10.
S10 уже есть, оно равно 117,5.
Для S15 запишем формулу:
S15 = 0,5(a1 + a15)*15,
а1 + а15 = а6 + а10 = 90*2/5 = 36
Значит, S15 = 0,5*36*15 = 270
Тогда а11 + а12 + а13 + а14 + а15 = 270 - 117,5 = 152,5
Ответ. 152,5Сумма первых 100 членов арифметической прогрессии равна 50, а сумма первых 200 членов равна 200. Чему равна сумма первых 400 членов этой прогрессии?
Решение: Сумма первых n членов арифметической прогрессии:$$ S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}n $$
$$ S_{100} = \frac{2a_1+99d}{2}100 = 50 $$
$$ S_{200} =\frac{2a_1+199d}{2}200 = 200 $$
$$ \left \{ {{(2a_1+99d)50 =50} \atop {(2a_1+199d)100 = 200}} \right. $$
Решим систему, найдем первый член и разность арифметической прогрессии.
$$ \left \{ {{2a_1+199d=2} \atop {2a_1+99d=1}} \right. $$
2a1+199d-2a1-99d = 2-1
100d = 1
d = 0.01
2a1+99*0.01 = 1
a1=0.005
$$ S_{400} = \frac{2*0.005+399*0.01}{2}400 = (0.01+399)200 = 800 $$
Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 95, а сумма следующих десяти равна 295. Найти сумму членов этой прогрессии с 21-ого по 30-ый член включительно
Решение: Составим систему:
95=5 (21a+9d) откуда 2а1+9д=19
и аналогично, выразив а21 через а1
2а1+49d=59
умножаем первое уравнение на -1
получаем -2а1-9d=-19
2а1+49d=59
складываете и узнаете разность прогрессии. теперь д подставьте в любое из первоначальных уравнений - узнаете первый член прогрессии.
дальше уже все пойдет замечательно. найдете а21. формула суммы 10 членов. где в роли первого 21-Сумма первых 10 членов
S10 = (2a1+9d)/2*10 = 5*(2a1+9d) = 10a1+45d
Сумма с 11 по 20 равна разнице сумм первых 20 членов и первых 10 членов.
S20 = (2a1+19d)/2*20 = 10*(2a1+19d) = 20a1+190d
S(11-20) = S20-S10 = 20a1+190d-10a1-45d = 10a1+145d.
Зная S10 и S(11-20) cоставим и решим систему уравнений относительно a1 и d:
10a1+45d = 95
10a1+145d = 295
Вычтем из второго уравнения первое, а из первого выразим a1:
a1 = (95-45d)/10
100d = 200
a1 = 5/10 = 0,5
d = 2
Зная первый член прогрессии и её шаг, можем найти сумму членов этой прогрессии с 21 по 30. Она будет равна разности сумм первых 30 членов и первых 20 членов:
S(21-30) = S30-S20 = (2a1+29d)/2*30-(2a1+19d)/2*20 = 15*(2a1+29d)-10*(2a1+19d) = 30a1+435d-20a1-190d = 10a1+245d = 10*0,5+245*2 = 5+490 = 495Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 240, а сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 555. Найдите сумму второго, шестого и седьмого членов этой прогрессии.
Решение: Нехай преше число - х, а крок - у. Тоді:5х+10у=240
10х+45у=555.
Тоді 25у=75, у=3.
Тоді 5х=210, х = 42.
Сума другого, шостого і сьомого членів виражається виразом х+у+х+5у+х+6у=3х+12у=3*42+12*3=3*54=162.
Відповідь: 162.
$$ S_n=\frac{(a_1+a_n)*n}{2} $$
$$ 240=\frac{(a_1+a_5)*5}{2} ; a_1+a_5=96 $$
$$ 555=\frac{(a_1+a_{10})*10}{2} ; a_1+a_{10}=111 $$
$$ a_n=a_1+d(n-1); a_5=a_1+4d; a_{10}=a_1+9d $$
подставляем в
$$ a_1+a_5=96 $$
$$ a_1+a_{10}=111 $$
получаем
$$ 2a_1+4d=96 ; 2a_1+9d=111 $$
вычитаем из одного уравнения второе и получаем:
$$ (2a_1+4d)-(2a_1+9d)=96-111 $$
$$ 5d=15 $$
$$ d=3 $$ подставляем в одно из уравнений и
находим $$ a_1=42 $$
$$ a_2=42+3=45; a_6=42+3*5=57; a_7=57+3=60 $$
$$ a_2+a_6+a_7=45+57+60=162 $$
Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна 5, а сумма первых 40 равна 80. Найти сумму 20 первых членов
Решение: S10=(2a+9d)*10/2=(2a1+9d)*5=5
2a1+9d=1
S40=(2a1+39d)*40/2=(2a1+39d)*20=80
2a1+39d=4
Отнимем
30d=3
d=3/30=0,1
2a1=1-9*0,1=1-0,9=0,1
a1=0,1:2=0,05
S20=(2a1+19d)*20/2=(2a1+19d)*10=(0,1+1,9)*20=2*20=40
$$ S_{10} = \frac{2a_1+9d}{2} *10 $$
$$ S_{40} = \frac{2a_1+39d}{2} *40 $$
$$ \frac{2a_1+9d}{2} *10=5 $$
$$ \frac{2a_1+39d}{2} *40=80 $$
$$ 2a_1+9d=1 $$
$$ 2a_1+39d=4 $$
$$ -2a_1-9d=-1 $$
$$ 2a_1+39d=4 $$
$$ 30d=3 $$
$$ 2a_1+9d=1 $$
$$ d=0.1 $$
$$ a_1=0.05 $$
$$ S_{20} = \frac{2a_1+19d}{2} *20 = \frac{2*0.05+19*0.1}{2} *20=(0.1+1.9)*10=20 $$
В арифметической прогрессии сумма третьего и девятого членов равна 6, а их произведение( умножение×××) ровно 135/6.
Найдите сумму первых пятнадцати членов прогрессии.
Решение: Пусть а1- первый член арифметической прогрессии, d- разность прогрессии. Имеем систему из двух уравнений : а3+а9=6 и а3·а9=135/6
выразим а3 и а9 через первый член и разность прогрессии :
а3=а1+2d и a9= a1+8d и подставим в первое уравнение системы, получаем : а1+2d+a1+8d=6
2a1+10d=6
a1+5d=3
a1=3-5d
Сделаем подстановку во втором уравнении :
(a1+2d)(a1+8d)=6 подставим а1=3-5d и получим
(3-5d+2d)(3-5d+8d)=6
(3-3d)(3+3d)=6
9-9d²=6
9d²=3
d²=1/3
d=√1/3=√3/3 или d=-√1|3=√3|3
1) При d=√3/3 а1=3-5·√3/3
По формуле суммы арифметической прогрессии имеем :
S15=(2(3-5√3/3)+√3/3·14)/2·15=(9-2√3)·5=45-10√3
2) При d=-√3/3 a1=3+5√3/3
S15=45-10√3
сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна - 2, а сумма второго и шеситого её членов равна 2. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
Решение: Для того чтобы найти сумму, нам нужно найти $$ a_{1} $$ и $$ a_{10} $$ Вот формула: $$ a_{n}=a_{1}+d(n-1) $$, и мы используем данную формулу в систему:
$$ \left \{ {{ a_{1}+a_{5} =-2} \atop {a_{2}+a_{6} =2}} \right.=> $$ $$ \left \{ {{a_{1}+ a_{1}+4d=-2} \atop {a_{1}+d+a_{1}+5d =2}} \right.=> $$ $$ \left \{ {{2a_{1}+4d =-2|*(-1)} \atop {2a_{1}+5d=2}} \right.=> $$ $$ \left \{ {{-2a_{1}-4d =2} \atop {2a_{1}+5d =2}} \right. $$
Дальше мы решаем методом сложения, и получается что $$ 2a_{1} $$ взаимно уничтожится, и мы получим:
$$ d=4 $$
Теперь найдем $$ a_{1} $$ подставив в любое уравнение из системы
$$ 2a_{1}+4*4=-2 \\ 2a_{1}=-18 \\ a_{1}=-9 $$
Теперь когда мы нашли все что нужно, мы можем найти $$ a_{10} $$, через ту формулу которую я написал в начале
$$ a_{10}=-9+4(10-1)=-9+4*9=-9+36=27 $$
Теперь формула для нахождения суммы:
$$ S_{n}= \frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n $$
Подставим все что мы нашли:
$$ S_{10}= \frac{-9+27}{2}*10= \frac{18}{2}*10=9*10=90 $$
Вот и все, надеюсь расписал хорошо, если что-то не понятно пишите, попытаюсь объяснить
