сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 10

В арифметической прогрессии 10 членов, их сумма равна 245. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номерами, как 27: 22. Определите первый член прогрессии.

Найдите десятый член арифметической прогрессии, если сумма первых n членов равна Sn=n^2

S3 = 3*(2a1 + 2d)/2, 3(a1 + d) = 3^2, a1 + d = 3 - это второе уравнение системы

Вычтем из первого уравнения второе: a1 =1, тогда d = 2

Найдем a10: a10 = a1 + d(10-1) = 1 + 18 = 19 

Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Sn = (a1+an)*n/2 = n²

где an = a1+d(n-1)

(a1+a1+d(n-1))*n/2 = n*n

(2a1+d(n-1))/2 = n

2a1+dn-d=2n

2a1-d=2n-dn

2a1-d=n(2-d)

при n=1

2a1=2

a1=1

при n=2

2a1-d=4-2d

d=4-2*1=2

a₁₀ = a1+d(10-1)=1+2*9 = 19

сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 66, а сумма первых четырёх её членов равна 21. Найдите первый член прогрессии

         (a1+a1+7d)*4=66

          2*a1+7d=16,5

S(4)=(a1+a4)*4/2=21

        (a1+a1+2d)*2=21

Решим систему уравнений:

2*a1+7d=16,5

2*a1+2d=10,5

применим метод сложения:

5d=6,5

d=1,3

2а1+2*1,3=10,5

а1+1,3=10,5:2

а1+1,3=5,25

а1=3,95

Ответ:3,95

Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 27,5, сумма следующих пяти её членов равна 90. Найдите сумму членов этой прогрессии с 11-го по 15-й включительно.

Сумма первых 100 членов арифметической прогрессии равна 50, а сумма первых 200 членов равна 200. Чему равна сумма первых 400 членов этой прогрессии?

$$S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}n$$  

$$S_{100} = \frac{2a_1+99d}{2}100 = 50$$  

$$S_{200} =\frac{2a_1+199d}{2}200 = 200$$  

$$\left \{ {{(2a_1+99d)50 =50} \atop {(2a_1+199d)100 = 200}} \right.$$  

Решим систему, найдем первый член и разность арифметической прогрессии.

$$\left \{ {{2a_1+199d=2} \atop {2a_1+99d=1}} \right.$$  

2a1+199d-2a1-99d = 2-1

100d = 1

d = 0.01

2a1+99*0.01 = 1

a1=0.005

$$S_{400} = \frac{2*0.005+399*0.01}{2}400 = (0.01+399)200 = 800$$  

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 95, а сумма следующих десяти равна 295. Найти сумму членов этой прогрессии с 21-ого по 30-ый член включительно

Сумма первых 10 членов
S10 = (2a1+9d)/2*10 = 5*(2a1+9d) = 10a1+45d
Сумма с 11 по 20 равна разнице сумм первых 20 членов и первых 10 членов.
S20 = (2a1+19d)/2*20 = 10*(2a1+19d) = 20a1+190d
S(11-20) = S20-S10 = 20a1+190d-10a1-45d = 10a1+145d.
Зная S10 и S(11-20) cоставим и решим систему уравнений относительно a1 и d:
10a1+45d = 95
10a1+145d = 295
Вычтем из второго уравнения первое, а из первого выразим a1:
a1 = (95-45d)/10
100d = 200
a1 = 5/10 = 0,5
d = 2
Зная первый член прогрессии и её шаг, можем найти сумму членов этой прогрессии с 21 по 30. Она будет равна разности сумм первых 30 членов и первых 20 членов:
S(21-30) = S30-S20 = (2a1+29d)/2*30-(2a1+19d)/2*20 = 15*(2a1+29d)-10*(2a1+19d) = 30a1+435d-20a1-190d = 10a1+245d = 10*0,5+245*2 = 5+490 = 495

Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 240, а сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 555. Найдите сумму второго, шестого и седьмого членов этой прогрессии.

5х+10у=240

10х+45у=555.

Тоді 25у=75, у=3.

Тоді 5х=210, х = 42.

Сума другого, шостого і сьомого членів виражається виразом х+у+х+5у+х+6у=3х+12у=3*42+12*3=3*54=162.

Відповідь: 162.

$$S_n=\frac{(a_1+a_n)*n}{2}$$

$$240=\frac{(a_1+a_5)*5}{2} ; a_1+a_5=96$$  

$$555=\frac{(a_1+a_{10})*10}{2} ; a_1+a_{10}=111$$  

  $$a_n=a_1+d(n-1); a_5=a_1+4d; a_{10}=a_1+9d$$

 подставляем в 

  $$a_1+a_5=96$$  

$$a_1+a_{10}=111$$  

получаем

$$2a_1+4d=96 ; 2a_1+9d=111$$  

вычитаем из одного уравнения второе и получаем:

$$(2a_1+4d)-(2a_1+9d)=96-111$$  

$$5d=15$$  

$$d=3$$ подставляем в одно из уравнений и

находим $$a_1=42$$  

$$a_2=42+3=45; a_6=42+3*5=57; a_7=57+3=60$$

$$a_2+a_6+a_7=45+57+60=162$$  

Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна 5, а сумма первых 40 равна 80. Найти сумму 20 первых членов

$$S_{10} = \frac{2a_1+9d}{2} *10$$
$$S_{40} = \frac{2a_1+39d}{2} *40$$
$$\frac{2a_1+9d}{2} *10=5$$
$$\frac{2a_1+39d}{2} *40=80$$
$$2a_1+9d=1$$
$$2a_1+39d=4$$
$$-2a_1-9d=-1$$
$$2a_1+39d=4$$
$$30d=3$$
$$2a_1+9d=1$$
$$d=0.1$$
$$a_1=0.05$$
$$S_{20} = \frac{2a_1+19d}{2} *20 = \frac{2*0.05+19*0.1}{2} *20=(0.1+1.9)*10=20$$

В арифметической прогрессии сумма третьего и девятого членов равна 6, а их произведение( умножение×××) ровно 135/6.
Найдите сумму первых пятнадцати членов прогрессии.

сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна - 2, а сумма второго и шеситого её членов равна 2. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.