прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 40
В арифметической прогрессии (Аn) а1=111, d=-6 какое наименьшее число членов этой прогрессии, начиная с первого нужно взять, чтобы их сумма была отрицательной?
Решение: An < 0(2a1 + d(n-1))*n/2 = a1*n + dn(n-1)/2 =>
a1*n < -dn(n-1)/2 =>
121n < 3n^2-3n =>
3n^2-3n-121n>0 => n^2-n-37n>0 => n^2-38n>0 => n(n-38)>0
n принадлежит N => n-38>0 => n>38
наименьшее число n = 39
An < 0
(2a1 + d(n-1))*n/2 = a1*n + dn(n-1)/2 =>
a1*n < -dn(n-1)/2 =>
121n < 3n^2-3n =>
3n^2-3n-121n>0 => n^2-n-37n>0 => n^2-38n>0 => n(n-38)>0
n принадлежит N => n-38>0 => n>38
наименьшее число n = 39 как то так
Первый член арифметической прогрессии ровняеться 4 а ее разница 3. Скольно нужно взять первых членов прогрессии что бы их сумма была 246?
Решение: A1=4 d=3 Sn=246
Sn=[2a1+(n-1)*d]*n/2
(8+(n-1)*3)*n/2=246
(8n+3n²-3n)=492
3n²+5n-492=0
D=25+5904=5929 √D=77
n1=(-5-77)/6=-14-не удов усл
n2=(-5+77)/6=12
$$ Sn=( \frac{2a1+(n-1)d}{2}) *n \\ \\ a1=4 \\ d=3 \\ Sn=246 \\ n- \\ \\ 246=( \frac{2*4+(n-1)*3}{2} )*n \\ \\ 492=8n+3(n-1)*n \\ 492=8n+3n^2-3n \\ 3n^2+5n-492=0 \\ D=b^2-4ac \\ D=25+3*4*492 \\ 5929 \\ \sqrt{D} = 77 \\ \\ n1= \frac{-5-77}{6} <0 \\ \\ n2= \frac{-5+77}{6} =12 $$
Ответ:n=12.
три числа, сумма которых 144, можно рассматривать как три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии или как первый, четвертый или двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найдите большее из чисел
Решение: 1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 40, а суммавторого и пятого равна 10. … 2. Сумма второго и четвёртого членов возрастающейгеометрической прогрессии равна 30, а их произведение 144.Первые три члена возрастающей арифметической прогрессии при некотором значении m могут быть представлены соответственно тремя выражениями: m+1, 4m-9, 2m+1. На сколько больше сумма первых сорока трех членов этой прогрессии суммы первых сорока ее членов?
Решение: $$ (a_n)m+1; 4m-9; 2m+1\\\\d=a_2-a_1=4m-9-(m+1)=4m-9-m-1=3m-10\\d=a_3-a_2=2m+1-(4m-9)=2m+1-4m+9=-2m+10\\\\3m-10=-2m+10\\3m+2m=10+10\\5m=20\\m=20:5\\m=4\\\\a_1=m+1=4+1=5\\d=3m-10=3*4-10=12-10=2\\\\S_{43}-S_{40}=a_{41}+a_{42}+a_{43}\\a_{41}+a_{42}+a_{43}=(a_1+40d)+(a_1+41d)+(a_1+42d)=3a_1+123d=\\=3*5+123*2=15+246=261 $$
Ответ: на 261
Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3.
Решение: Пусть наши член равны
$$ a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}.a_{n} $$
$$ 1. $$по первому условию, сумма равна
$$ \frac{a_{1}+a_{2}+.a_{13}}{a_{n-12}.+a_{n-1}+a_{n}}=0.5 $$
это же условие можно переписать в виде
$$ S_{13}=(a_{1}+6d)*13 \\ $$
а последний 13 можно в виде
$$ S_{13}’=13(a_{1}+d(n-7)) $$
по условию следует что
$$ \frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2} $$
$$ 2. $$ По второму условию задачи следует что
$$ S_{n}-(a_{1}+a_{2}+a_{3}) $$
ее можно переписать в виде
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) $$
а последние без трех можно переписать в виде
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) $$
заметим то что
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn+2d+2a_{1}) $$
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn-4d+2a_{1}) $$
по условию получаем
$$ \frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3} $$
получаем систему уравнений
Ответ $$ 20 $$
