прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 38

  • 1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (аn), если а1=-15 и d=3.

    2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0;…

    3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn=3n-1.

    4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1=25,5 и а9=5,5?

    5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.


    Решение: 1. a23=a1+22*d=-15+66=51

    2. d=a2-a1=4-8=-4

    a16=a1+15*d=8-60=-52

    $$ S=16\cdot{\frac{a1+a16}{2}}=16\cdot{\frac{8-52}{2}}=-352 $$ 

    3. b1=3-1=2

    b60=180-1=179

      $$ S=60\cdot{\frac{b1+b60}{2}}=60\cdot{\frac{2+179}{2}}=5430 $$

    4. Не является, т. к. 54.5 больше а1, а а9 меньше а1.

    5. а1=3

    а33=99

    $$ S=33\cdot{\frac{a1+a33}{2}}=33\cdot{\frac{3+99}{2}}=1683 $$

  • 1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (аn), если а1 = 70 и d = -3.
    2. Найдите сумму двадцати первых членов
    арифметической прогрессии: -21; -18; -15;.
    3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 4п - 2.
    4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1
    = 11,6 и а15 = 17,2?
    5. Найдите сумму всех
    натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.


    Решение: 1)a18=a1+17d=70+17*(-3)=70-51=19
    2)d=-18-(-21)=-18+21=3
    S20=(2*(-21)+19*3)*20/2=(-42+51)*10=9*10=90
    3)b1=2 b2=6 d=6-2=4
    S40=(2*2+39*4)*40/2=(4+156)*20=160*20=3200
    4)d=(17,2-11,6)/(15-1)=5,6/14=0,4
    an=11,6+0,4(n-1)=30,4
    0,4(n-1)=30,4-11,6=18,8
    n-1=18,8:0,4=188:4=47
    n=47+1=48 да, является
    5)a1=7  d=7 an<150
    7+7(n-1)<150
    7+7n-7<150
    7n<150
    n<21 3/7
    n=21
    S21=(2*7+7*20)*21/2=(14+140)*21/2=154*21/2=77*21=1617

  • 1. Между числами 17 и -3 вставьте три числа, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.
    2. Укажите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии 16,8, 16,5, 16,2.
    3. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 100.


    Решение: 1. A₁=17 A₅=-3
    A₅=A₁+4d⇒ -3=17+4d⇒ d=-5
    17. 12. 7. 2.3
    2. A₁=16.8 A₂=16.5 d= -0.3
    An=A₁+(n-1)d⇒ An<0⇒ 16.8+(n-1)(-0.3)<0⇒ 16.8-0.3n+0.3<0⇒ 17.1<0.3n⇒ 57<n
    N=58
    3. A₁=8 d=8
    An<100⇒ 100> 8+ (n-1)*8⇒ n<12.5 ⇒ n=12
    S12= 2*A₁+(11)*d)*n/2=(2*8+11*8)*11/2=624

    1)
    a1=17
    a5=a1+d*(5-1)=-3
    d=(a5-a1)/(5-1)=-20/4=-5
    a1=17;a2=12;a3=7;a4=2;a5=-3
    2)
    a1=16,8
    a2=16,5
    d=a2-a1=-0,3
    an=a1+d(n-1)=16,8-0,3*(n-1)>=0
    16,8>=0,3*(n-1)
    n<=1+16,8/0,3=57
    при n <= 57 все члены прогрессии неотрицательны
    первый отрицательный при n=58
    3)
    a1=8
    an=96
    d=8
    n=(an-a1)/d+1=12
    Sn=(a1+an)*n/2=(8+96)/2*12=624

  • 1. Первый и последний члены арифметической прогрессии, имеющей 7 членов, равны 11 и 35 соотвенно. Сколько членов в другой конечной арифметической прогрессии, первый и последний члены которой равны 38 и 13 соотвенно, если четвертые члены этих прогрессий равны ?
    2. а) найдите сумму первых ста натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.
    б) найдите сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не кратны 5.


    Решение: 1)a1=11 U a7=35⇒d=(a7-a1)/6=(35-11)/6=24/6=4
    a4=a1+3d=11+3*4=11+12=23
    b1=38, bn=13 U b4=23
    d=(b4-b1)/3=(23-38)/3=-15/3=-5
    bn=b1+d(n-1)
    38-5(n-1)=23
    5(n-1)=38-23=15
    n-1=15/5=3
    n=3+1=4
    2a)a1=6  d=5  an=96
    an=a1+d(n-1)=6+5(n-1)=96
    5(n-1)=96-6=90
    n-1=90/5=18
    n=18+1=19
    S19=(2*6+18*5)*19/2=(12+90)*19/2=102*19/2=51*19=969
    б)a1=1  d=1
    S(от 1 до 99)=S99=(2+98)*100/2=5000
    b1=5  d=5  bn=95⇒5+5(n-1)=95⇒5(n-1)=95-5=90⇒n-1=90/5=18⇒n=19
    S19=(10+5*18)*19/2=50*19=950
    S99-S19=5000-950=4050

  • Сумма первых 3 членов арифметической прогрессии и произведение 1 члена на 2-ой, равны 15. Найти эти члены


    Решение: 1). Общая формула для расчёта n-го члена арифметической прогрессии

        a(n) = a(1) + (n-1)d, где d-разность прогрессии,n - номер искомого члена.

    2) По условию a(1) + a(2) + a(3) = 15.

    Выразим каждый член из этих через эту формулу. Получу:

    a(2) = a(1) + d;

    a(3) = a(1) + 2d;

    Подставив это в первое равенство, получу

                            a(1) + a(1) + d + a(1) + 2d = 15

                            3a(1) + 3d = 15.

                            a(1) + d = 5

    3) По условию, a(1) * a(2) = 15.  Подставляя формулы для каждого члена, имею:

                                   a(1) * (a(1) + d) = 15

    4) Теперь составлю систему из данных уравнений, так как оба условия должны выполнять одновременно:

                                   a(1) + d = 5

                                   a(1)² + a(1)d = 15

            a(1) = 5-d

            (5-d)² + (5-d)d = 15 (1)

    (1) (5-d)² + (5-d)d = 15

          25 - 10d + d² + 5d - d² = 15

          -5d = -10

           d = 2

                             d = 2

                             a(1) = 5-2 = 3

    4) Ну и теперь осталось только лите по формуле найти оставшиеся члены прогрессии.

    a(2) = a(1) + d = 3+2 = 5

    a(3) = a(2) + d = 5+2 = 7

    Вот и всё

                             

<< < 363738 39 40 > >>