прогрессия »
в геометрической прогрессии найдите
В геометрической прогрессии S4=40, b2+b4=30. Найдите знаменатель данной прогрессии.
Решение: S4 = b1 * (q³ - 1) /(q - 1) = b1 (q - 1)(q² +q + 1)/(q - 1) =
= b1 * (q² + q + 1) = 40 (1)
b2 = b1*q
b4 = b1*q³
b1*q + b1q³ = 30
b1*q(1 + q²) = 30 (2)
Поделим (1) на (2)
b1 (q2 + q +1) / b1*q (1 + q²) = 40/30
(q² + q + 1) / (q + q²) = 4 / 3
3 (q² + q + 1) = 4 (q + q²)
3q² + 3q + 3 = 4q + 4q²
4q² - 3q² + 4q - 3q - 3 = 0
q² + q - 3 = 0
- 1 + √13 - 1 - √13
q1 = - q 2 = -
2 2
В геометрической прогрессии а1=72√2, а3= 8√2. Найдите знаменатель q.
Решение: Решение:
Воспользуемся формулой (аn) члена геометрической прогрессии:
an=a1*q^(n-1)
Отсюда:
а3=a1*q^(3-1)=a1*q^2
Подставим в это выражение известные данные и найдём (q):
8√2=72√2*q²
q²=8√2 : 72√2=8/72=1/9
q1,2=+-√(1/9)=+-1/3
q1=1/3
q2=-1/3
В данном решении подходят два варианта значений (q)
Дана арифметическая прогрессия a₁,a₂.an, и два различных числа x и y такие, что числа a₁₁, x, a₁₄, y, a₃₈ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию Найдите x/y
Решение: Пусть a=a11, q=x/a11, d=a2-a1; Тогда a14=a+3d, a38=a+27d;
x/a=q, y/(a+3d)=q; => x/y=a/(a+3d);
x/a= (a+3d)/x =>x²=a(a+3d)
y/(a+3d)=(a+27d)/y; => y²=(a+3d)(a+27d)
x=qa; y=q(a+3d); => q²a=a+3d; q²(a+3d)=(a+27d)
a/(a+3d)=(a+3d)/(a+27d)
a(a+27d) =(a+3d)²
a²+27ad=a²+6ad+9d²
21ad=9d²
7a=3d
x/y=a/(a+7a)=1/8 !
найдите сумму геометрической прогрессии если bn= (-1)^n*12/2^n+1 Ответ должен быть -2
Решение: $$ b_n=\left(-1\right)^n\cdot\frac{12}{2^n+1};\\ b_n=\left(-\frac12\right)^n\cdot\frac{12}{2};\\ b_n=\left(-\frac12\right)^n\cdot6;\\ b_1=\left(-\frac12\right)^1\cdot6=-\frac12\cdot6=-3;\\ b_1=-3;\\ b_n=(-1)^n\cdot\frac{12}{2^{n+1}};\\ b_{n-1}=(-1)^{n-1}\cdot\frac{12}{2^{n+1-1}}=-(-1)^n\cdot\frac{12}{2^n};\\ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ b_{n-1}=b_1\cdot q^{n-1-1}=b_1\cdot q^{n-2};\\ $$
$$ \frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{b_1\cdot q^{n-1}}{b_1\cdot q^{n-2}}=q^{n-1-n+2}=q;\\ q=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{(-1)^n\frac{12}{2^{n+1}}}{-(-1)^n\frac{12}{2^n}}=-1\cdot12^{n-n-1}=\\ =-1\cdot2^{-1}=-\frac12;\\ b_1=-3;\\ \left|q\right|=\left|-\frac12\right|=\frac12<1;\\ S=b_1\cdot\frac{1}{1-q}=-3\cdot\frac{1}{1-(-\frac12)}=-3\cdot\frac{1}{1+\frac12}=\\ =-3\cdot\frac{1}{\frac32}=-3\cdot\frac23=-2;\\ S=-2 $$
Найдите сумму геометрической прогрессии 9; 3; 1;.
Решение: Тут, кажется, ошибка в написании. Сколько членов в геометрической прогрессии?Вообще вот формула, которую вы учили
$$ S_{n}=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
q найти можете, так как знаете первый и второй член последовательности, q = 9:3 = 3. В задании должны были указать, скольких членов нужно указать сумму; если же не указано, то подставляете все, кроме n и записываете в получившемся виде
$$ b_1=9;\\b_2=3;b_3=1;\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};\\|q|<1 $$
Имеем бесконечную геометричесскую прогрессию со знаменателем |q|<1;
Ее сума
$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{2}{3}}=\frac{9*3}{2}=13.5 $$
Решить сумму геометрической прогрессии \( b_1=24;\\ b_2=-8;\\ b_3=\frac83;\\ b_4=-\frac89; \)
Решение: $$ b_1=24;\\ b_2=-8;\\ b_3=\frac83;\\ b_4=-\frac89;\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{b_4}{b_3}=\frac{-\frac{8}{9}}{\frac{8}{3}}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac{8}{3}}{-9}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-8}{24}=-\frac13;\\ S_n=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=24\cdot\frac{1-(-\frac{1}{3})^4}{1-(-\frac13)}=24\cdot\frac{1-\frac{1}{81}}{1+\frac13}=24\cdot\frac{\frac{80}{81}}{\frac{4}{3}}=24\cdot\frac{80}{4}\cdot\frac{3}{81}=\\ =8\cdot3\cdot20\cdot\frac{1}{3\cdot9}=\frac{160}{9} $$
проверим
$$ 24+(-8)+\frac{8}{3}+(-\frac{8}{9})=\frac{24\cdot9-8\cdot9+8\cdot3-8}{9}=\\ =\frac{216-72+24-8}{9}=\frac{160}{9} $$
если вопрос состоял про сумму бесконечной геометри ческой прогрессии, тогда
главноу условие $$ \left|q\right|<1 $$ выполняеться, $$ \left|-\frac{1}{3}\right|=\frac13<1 $$
тогда имеем
$$ S=b_1\cdot\frac{1}{q}=24\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=24\cdot\frac{1}{1+\frac13}=24\cdot\frac{1}{\frac{3+1}{3}}=24\cdot\frac{1}{\frac43}=\\ =24\cdot\frac34=6\cdot3=18 $$
Известно, что x1 и x2 - корни уравнения x^2-3x+a=0, x3 и х4 - корни уравнения x^2-12x+c=0, к тому же числа х1, х2, х3, х4 образуют в этой последовательности геометрическую прогрессию. Найдите а и с.
Решение: {x₁ +x₂ =3 ; x₃+x₄ =12. * * * Теорема Виета * * *
{x₁+x₁q=3 ; x₁q² + x₁q³ =12.
{x₁(1+q)=3 ;x₁q²(1 + q) =12. * * * разделим второе на первое * * *
q =± 2 ;
1. {q = -2 ; x₁ = - 3.
x₁= -3 ; x₂ =6 ; x₃=-12 ;x₄=24.
a₁= x₁* x₂ = -18.
c₁ =x₃*x₄= -288.
2. {q = 2 ; x₁ =1.
x₁=1 ; x₂ =2 ; x₃=4 ;x₄=8.
a₂ = x₁* x₂ = 2.
c₂=x₃*x₄= 32.
ответ: -18 ; -288 или 2 ; 32.
-
x² -3x -18=0 ; x² -12x -288 =0 ; || -3 ; 6 ; -12 ; 24
или
x² -3x +2=0 ; x² -12x +32 =0 ; || 1; 2 ; 4 ;8
Последовательность (Bn) - геометрическая прогрессия. Найдите:
А) b7, если b1=-2/9, b3=-2;
Б) b1, если b4=-1, b6=-100
Решить через систему.
Решение: $$ \begin{cases} b_1=- \frac{2}{9} \\ b_3=b_1q^2=-2 \end{cases} \\\ - \frac{2}{9}\cdot q^2=-2 \\\ q^2=9 \\\ \Rightarrow b_7=b_1q^6=b_1(q^2)^3= - \frac{2}{9}\cdot 9^3=-162 $$
Ответ: -162
$$ \begin{cases} b_4=b_1q^3=-1 \\ b_6=b_1q^5=-100 \end{cases} \\\ \frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1q^5}{b_1q^3} =q^2 \\\ q^2= \frac{-100}{-1} =100 \\\ q_1=10; \ q_2=-10 \\\ b_1= \frac{b_4}{q^3} \\\ \Rightarrow (b_1)_1= \frac{b_4}{q_1^3} =\frac{-1}{10^3} =-\frac{1}{1000} \\\ \Rightarrow (b_1)_2= \frac{b_4}{q_2^3} =\frac{-1}{(-10)^3} =\frac{1}{1000} $$
Ответ: -0,001 или 0,001
Последовательность (bn)-геометрическая прогрессия. Найдите b1, если b3=1/3, b4=-1/12.
Решение: b(3)=1/3
b(4)=-1/12
b(1)=?
Составим систему:
b1*q^2=1/3 && b1*q^3=1/12
b1 = 16/3, q = 1/4Из того, что дано, найдём сразу q(знаменатель прогрессии)= -¼
Система : b₃=b₁· q²
b₄=b₁·q³
Система: ⅓=b₁· q²
-1/12=b₁·q³
Система: ⅓=b₁· (-¼)²
-1/12=b₁·(-¼)³
Cистема: (выражаем b₁ и подставляем):b₁=16/3
b₁= -16/3
Последовательность(Bn) - геометрическая прогрессия, в которой b4 = 18 и q = √3. Найдите b1
Решение: Формула: Bn=Bn-1*q
Найдем b3:
b4=b3*q
18=b3*корень из 3
b3=18/корень из 3
Найдем b2:
b3=b2*q
18/корень из 3=b2*корень из 3
b2=18/корень из 3 делить на корень из 3
b2=6
Найдем b1:
b2=b1*q
6=b1*корень из 3
b1=6/корень из 3
Ответ: 6/корень из 3
P.S 6/корень из 3 (в числителе 6, а в знаменателе корень из 3)
