прогрессия »
в геометрической прогрессии найдите
В геометрической прогрессии S4=40, b2+b4=30. Найдите знаменатель данной прогрессии.
Решение: S4 = b1 * (q³ - 1) /(q - 1) = b1 (q - 1)(q² +q + 1)/(q - 1) =
= b1 * (q² + q + 1) = 40 (1)
b2 = b1*q
b4 = b1*q³
b1*q + b1q³ = 30
b1*q(1 + q²) = 30 (2)
Поделим (1) на (2)
b1 (q2 + q +1) / b1*q (1 + q²) = 40/30
(q² + q + 1) / (q + q²) = 4 / 3
3 (q² + q + 1) = 4 (q + q²)
3q² + 3q + 3 = 4q + 4q²
4q² - 3q² + 4q - 3q - 3 = 0
q² + q - 3 = 0
- 1 + √13 - 1 - √13
q1 = - q 2 = -
2 2
В геометрической прогрессии а1=72√2, а3= 8√2. Найдите знаменатель q.
Решение: Решение:
Воспользуемся формулой (аn) члена геометрической прогрессии:
an=a1*q^(n-1)
Отсюда:
а3=a1*q^(3-1)=a1*q^2
Подставим в это выражение известные данные и найдём (q):
8√2=72√2*q²
q²=8√2 : 72√2=8/72=1/9
q1,2=+-√(1/9)=+-1/3
q1=1/3
q2=-1/3
В данном решении подходят два варианта значений (q)
Дана арифметическая прогрессия a₁,a₂.an, и два различных числа x и y такие, что числа a₁₁, x, a₁₄, y, a₃₈ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию Найдите x/y
Решение: Пусть a=a11, q=x/a11, d=a2-a1; Тогда a14=a+3d, a38=a+27d;
x/a=q, y/(a+3d)=q; => x/y=a/(a+3d);
x/a= (a+3d)/x =>x²=a(a+3d)
y/(a+3d)=(a+27d)/y; => y²=(a+3d)(a+27d)
x=qa; y=q(a+3d); => q²a=a+3d; q²(a+3d)=(a+27d)
a/(a+3d)=(a+3d)/(a+27d)
a(a+27d) =(a+3d)²
a²+27ad=a²+6ad+9d²
21ad=9d²
7a=3d
x/y=a/(a+7a)=1/8 !
найдите сумму геометрической прогрессии если bn= (-1)^n*12/2^n+1 Ответ должен быть -2
Решение: $$ b_n=\left(-1\right)^n\cdot\frac{12}{2^n+1};\\ b_n=\left(-\frac12\right)^n\cdot\frac{12}{2};\\ b_n=\left(-\frac12\right)^n\cdot6;\\ b_1=\left(-\frac12\right)^1\cdot6=-\frac12\cdot6=-3;\\ b_1=-3;\\ b_n=(-1)^n\cdot\frac{12}{2^{n+1}};\\ b_{n-1}=(-1)^{n-1}\cdot\frac{12}{2^{n+1-1}}=-(-1)^n\cdot\frac{12}{2^n};\\ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ b_{n-1}=b_1\cdot q^{n-1-1}=b_1\cdot q^{n-2};\\ $$
$$ \frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{b_1\cdot q^{n-1}}{b_1\cdot q^{n-2}}=q^{n-1-n+2}=q;\\ q=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{(-1)^n\frac{12}{2^{n+1}}}{-(-1)^n\frac{12}{2^n}}=-1\cdot12^{n-n-1}=\\ =-1\cdot2^{-1}=-\frac12;\\ b_1=-3;\\ \left|q\right|=\left|-\frac12\right|=\frac12<1;\\ S=b_1\cdot\frac{1}{1-q}=-3\cdot\frac{1}{1-(-\frac12)}=-3\cdot\frac{1}{1+\frac12}=\\ =-3\cdot\frac{1}{\frac32}=-3\cdot\frac23=-2;\\ S=-2 $$
Найдите сумму геометрической прогрессии 9; 3; 1;.
Решение: Тут, кажется, ошибка в написании. Сколько членов в геометрической прогрессии?Вообще вот формула, которую вы учили
$$ S_{n}=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
q найти можете, так как знаете первый и второй член последовательности, q = 9:3 = 3. В задании должны были указать, скольких членов нужно указать сумму; если же не указано, то подставляете все, кроме n и записываете в получившемся виде
$$ b_1=9;\\b_2=3;b_3=1;\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};\\|q|<1 $$
Имеем бесконечную геометричесскую прогрессию со знаменателем |q|<1;
Ее сума
$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{2}{3}}=\frac{9*3}{2}=13.5 $$
