прогрессия »

найти первые три числа прогрессии - страница 2

  • Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, если cумма первого и четвертого чисел равна 21, a сумма второго и третьего чисел равна 18.


    Решение: Первые три числа - a, a*q, a*q^2
    Последние три числа - a*q, a*q^2 = a*q+d, a*q^2+d
    a + a*q^2 + d = 21
    a*q^2 = a*q + d
    a*q + a*q + d = 18
    Из 2 уравнения
    d = a*q^2 - a*q = a*q*(q - 1)
    Подставляем в 1 и 3 уравнения
    a + a*q^2 + a*q*(q - 1) = 21
    2a*q + a*q*(q - 1) = a*q*(2 + q - 1) = a*q*(q + 1) = 18
    Преобразуем 1 уравнение
    a + a*q^2 + a*q*(q + 1 - 2) = a + a*q^2 + a*q*(q + 1) - 2a*q = 21
    Подставляем 2 уравнение
    a + a*q^2 - 2a*q + 18 = 21
    a + a*q^2 - 2a*q = 3
    a*(1 - 2q + q^2) = a(q - 1)^2 = 3
    Ясно, что a = 3; (q - 1)^2 = 1
    1) q - 1 = -1; q = 0 - не может быть, тогда не будет прогрессии.
    2) q - 1 = 1; q = 2; тогда d = a*q*(q - 1) = 3*2*1 = 6
    Ответ: 3, 6, 12, 18

  • Найти четыре числа, из которых три первых образуют арифметическую прогрессию, а три последних - геометрическую. Сумма крайних чисел равна 40, а сумма средних
    равна 20.


    Решение: E1, e2, e3, e4
    Система по условию:
    a=e2-e1=(e3-e1)/2
    q=e3/e2=sqrt(e4/e2)
    e1+e4=40
    e2+e3=20
    е1=40-е4
    е2=20-е3
    е2-е1=е4-е3-20
    е3-е1=е3+е4-40
    е4-е3-20=(е3+е4-40)/2
    е4-е3-20=е4/2+е3/2-20
    е4-е3=е4/2+е3/2
    е4/2=(е3)*3/2
    е4=3*е3
    е3/е2=sqrt(e4/e2)
    e3/e2=sqrt(3*e3/e2)
    (e3/e2)^2=3*e3/e2
    e3/e2=3
    e3=3*e2
    q=3
    e2+e3=20
    e2+3*e2=20
    e2=5
    e3=15
    e4=45
    e1=40-45=-5
    a=10
    -5, 5, 15, 45

  • сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов равна 21. найти эти числа.


    Решение: в1+в2+в3=3, а (в1)^2+(в2)^2+(в3)^2-по условию

    составим систему

    1) в1*(1+g+g^2)=3

    2)(в1)^2*(1+g^2+g^4)=21

    возведем в квадрат обе части первого уравнения

    (в1)^2*(1+g^2+g^4)+2*(в1)^2*g*(1+g+g^2)=9

    вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, получим

    2*(в1)^2*g*(1+g+g^2)=-12,

    2*в1*(1+g+g^2)*в1*g=-12

    в1*(1+g+g^2)*в1*g=-6

    откуда в1*g=-2

    теперь из системы

    1) в1*(1+g^2)=5

    2) в1*g=-2

    находим решение

    5g=-2(1+g^2)

    2g^2+5g+2=0

    D=25-16=9

    g1=(-5+3)/4=-0.5

    g2=(-5-3)/4=-2

    а)g1=-0.5

    в1=4

    в2=-2

    в3=1

    в) g2=-2

    в1=1

    в2=-2

    в3=4

  • Сумма 3 чисел, образующих арифметическую прогрессию равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1,1,4, то образуется геометрическая прогрессия. Найти эти числа.


    Решение: A₁+a₂+a₃=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)=3a₁+3d=15
    отсюда a₁+d=5
    a₁+1
    a₂+1=a₁+d+1
    a₃+4=a₁+2d+4
    a₁+d+1=(a₁+1)q
    a₁+2d+4=(a₁+1)q²
    Итак, у нас получилась система уравнений
    a₁+d=5
    a₁+d+1=(a₁+1)q
    a₁+2d+4=(a₁+1)q²
    решаем
    d=5-a₁
    5+1=(a₁+1)q
    (a₁+1)q=6
    5+5-a₁+4=(a₁+1)q²
    14-a₁=(a₁+1)q²
    итого
    (a₁+1)q=6
    14-a₁=(a₁+1)q²
    q=6/(a₁+1)
    14-a₁=(a₁+1)*6²/(a₁+1)²
    14-a₁=36/(a₁+1)
    (14-a₁)(a₁+1)=36
    14a₁+14-a₁²-a₁=36
    13a₁-a₁²-22=0
    a₁²-13a₁+22=0
    D=13²-4*22=81
    √D=9
    a₁=(13+-9)/2
    a₁=2  и a₁=11
    d₁=5-2=3
    d₂=5-11=-6
    Ответ: два ответа. 2;5;8  и 11;5;-1

  • Натуральные числа k,l,m, взятые в указанном порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым числом. Числа 2835 и 2646 делятся без остатка на l и m соответственно. Найти числа k,l и m, если известно, что при указанных условиях сумма k+l+m максимальна.


    Решение: $$ l^2=k*m\\ \frac{2835}{l}=x\\ \frac{2646}{m}=y\\ k+l+m=max\\\\ l=\frac{3^4*5*7}{x}\\ m=\frac{3^3*2*7^2}{y}\\\\ m=lq\\\\ k=\frac{3^5*5^2y}{2x^2} \\\\ q=\frac{14x}{15y}\\ $$
    видно что знаменатель должен быть максимальным 
    $$ x=3n;5n;7n\\ y=2t;3t;7t $$ 
    Для этого числитель должен быть максимальным, знаменатель минимальным 
    Видно что при $$ x=15;y=2 $$ $$ q=7 $$ и это максимальное число 
    Тогда сумма $$ \frac{6075y}{2x^2}+\frac{6075y*7}{2x^2}+\frac{6075y*49}{2x^2}=k+l+m \\ k+l+m=\frac{346275y}{2x^2}=1539 $$
    каждое число равна $$ k=27;l=189;m=1323 $$

  • Знайти чотири числа, з яких три перших формують арифметичну прогресію, а три останніх - геометричну. Сума крайніх чисел дорівнюе 40, а сума середніх = 20.
    Найти четыре числа, из которых три первых формируют арифметическую прогрессию, а три последних - геометрическую. Сумма крайних чисел равна 40, а сумма средних = 20.


    Решение: Не слишком изящно получилось.
    Итак, обозначим числа k, l, m и n. d -шаг арифм. прогрессии, q - знаменатель прогрессии.
    тогда получаем систему из 6 уравнений.
    l=k+d
    m=k+2d
    m=lq
    n=lq²
    k+m=40
    l+m=k+d+k+2d=2k+3d=20
    Решаем эту систему
    l=k+d
    m=k+2d
    m=lq=(k+d)q
    n=lq²=(k+d)q²
    k+m=k+lq²=k+(k+d)q²=40
    l+m=k+d+k+2d=2k+3d=20
    из последнего уравнения $$ d= \frac{20-2k}{ 3}=2\frac{10-k}{3} $$
    Приравнивая второе и третье получим
    k+2d=(k+d)q
    $$ q= \frac{k+2d}{k+d} =\frac{k+2*2 \frac{10-k}{3} }{k+2 \frac{10-k}{3}}= \frac{3k+4(10-k)}{3k+2(10-k)}= \frac{3k+40-4k}{3k+20-2k}= \frac{40-k}{20+k} $$
    из предпоследнего
    $$ k+(k+ 2\frac{10-k}{3})( \frac{40-x}{20+x} )^2=40 \\ k+ \frac{(k+ \frac{20}{3}- \frac{2}{3}k)(40-k)^2}{(20+k)^2}=\\= k+ \frac{(\frac{k}{3}+ \frac{20}{3})(40-k)^2}{(20+k)^2}=k+ \frac{(k+ 20)(40-k)^2}{3(20+k)^2}= \\ =k+ \frac{(40-k)^2}{3(20+k)}=\frac{3k(20+k)+(40-k)^2}{3(20+k)}=40 $$
    3k(20+k)+(40-k)²=40*3(20+k)
    60k+3k²+1600-80k+k²=2400-120k
    4k²-140k-800=0
    k²-35k=200
    D=35²+4*200=2025
    $$ \sqrt{D}=45 $$
    k₁=(35-45)/2=-5
    k₂=(35+45)/2=40
    d₁=(20-2*(-5))/3=10
    l₁=-5+10=5
    m₁=15
    q₁=3
    n₁=45
    d₂=(20-2*40)/3=-20
    l₂=40-20=20
    m₂=0
    q₂=0
    n₂=0
    Ответ: два решения: -5,5,15,45 и 40, 20, 0, 0

  • Три числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 18. Если к первому числу прибавить 2, к третьему 1, а второе оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.


    Решение: -5, 6, 17
    a+(a+d)+(a+2*d)=18 арифм, следовательно, 3a+3d=18, следовательно- a+d=6.
    но:
    a+2 =b
    a+d =b*k
    a+2*d+1=b*k*k - геометрич. прогрессия
    следовательно,a+d =b*k=6
    тогда возможны 4 варианта:
    k=2,b=3 и тогда по условию a+2=b, а=1
    k=-2,b=-3 анологично а=-5
    k=3,b=2 анологично  а=0
    k=-3,b=-2 анологично а=-4
    из всех вариантов арифм. прогрессии соотв. а=-5 с коэффициентом d=11

  • Помогите найти сумму геометрической прогрессии(Bn), если Bn=20/3^n-1


    Решение: $$ B_n=\frac{20}{3^{n-1}} $$
    первЫй член
    $$ B_1=\frac{20}{3^{1-1}}=\frac{20}{3^{0}}=20 $$
    знаменатель
    $$ q=B_{n+1}:B_n=\frac{20}{3^{n+1-1}}:\frac{20}{3^{n-1}}=\frac{1}{3} $$
    так как
    $$ |q|<1 $$
    то имеем бесконечну убывающу геомметрическую прогрессию, сумма ее членов равна
    $$ S=\frac{B_1}{1-q} $$
    $$ S=\frac{20}{1-\frac{1}{3}}=20:\frac{2}{3}=\frac{20*3}{2}=30 $$
    ответ: 30

<< < 12