найти первые три числа прогрессии - страница 2
Сумма трёх чисел образующих геометрическую прогрессию равна 39. Если первое число умножить на -3, то получится арифметическая прогрессия. Найти три первоначальных числа
Решение: Три числа, образующих геометрическую прогрессию (исходные) : b, bq, bq².
Арифметическая прогрессия: −3b, bq, bq².
Получаем систему
{ b(1 + q + q²) = 39,
{ 2bq = bq² − 3b.
Из второго уравнения (поскольку b не может быть равным 0)
q² − 2q − 3 = 0,
(q − 3)(q + 1) = 0.
Значит, знаменатель прогрессии либо 3, либо −1. В каждом случае из первого уравнения системы находим соответствующее значение b.
Ответ:13, 39, 117 (q = 3, b = 13);1. Три числа, сумма которых равна 26, составляют геометрическую прогрессию. Если к этим числам прибавить соответственно 1,6 и 3, то получаются три числа, составляющих арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
Решение: Пусть х - первый член прогрессии, у -второй, z - третий.
в конце получается что z = 18 или 2, но так как мы нашли что у = 6 а это второй член прогрессии тогда третий член не может быть меньше первого следовательно z = 18, а х = 2
Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 65. Если от 1-го числа отнять 1, второе оставить без изменений, а от третьего отнять 19, то получатся числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найти первоначальные 3 числа
Решение: Х+ух+уух=65
(х-1)+(ху)+(уух-19)=65-20=45
45:3=15
ху=15
х=5
у=3
Проверка:
(5-1)+(3*5)+(9*5-19)=45
5+3*5+9*5=65
Ответ: 5, 15, 45$$ \left \{ {{b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^2=65 \\ \\} \atop {(b_{1}-1)+b_{1}q+(b_{1}q^2-19)=65}} \right. \\ \left \{ {{b_{1}(1+q+q^2)=65} \atop {b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^2=45}} \right. \\ \\ b_{1}=a_{1}\\ b_{1}q=a_{2}\\ b_{1}q^2-19=a_{3} \\ \\ b_{1}= \frac{65}{1+q+q^2} \\ \\ \frac{65}{1+q+q^2} -1=a_{1}\\ \frac{65q}{1+q+q^2}=a1+d\\ \frac{65q^2}{1+q+q^2}-19=a_{1}+2d \\ \\ \frac{65}{q^2+q+1}=\frac{65}{q^2+q+1}-1+d \\ \frac{65}{q^2+q+1}-19=\frac{65}{q^2+q+1}-1+2d\\ \\ $$
затем решаем уравнение
(65(q-1)(q+1))/(q^2+q+1)=18+2((65(q-1)/(q^2+q+1))+1)
отудого q=3
значит это число 5;15;45Сумма трех чисел, составляющую возрастающую геометрическую прогрессию равна 65. Если от 1-го числа отнять 1, второе оставить без изменений, а от 3-го отнять 19, то получаются числа составляющие арифметическую прогрессию. Найти первоначальные 3 числа.
Решение: B₁+b₂+b₃=65
b₁+b₁q+b₁q²=65
b₁(1+q+q²)=65
b₁-1=a₁
b₂=a₂
b₃-19=a₃
Основное свойство арифметической прогрессии: разность двух соседних слагаемых одна и та же и равна d
d=a₂-a₁=a₃-a₂
b₂-(b₁-1)=b₁q-b₁+1
b₃-19-b₂=b₁q²-b₁q-19
и
b₁q-b₁+1=b₁q²-b₁q-19
или
b₁q²-2b₁q+b₁-20=0.
Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
b₁(1+q+q²)=65 ⇒b₁q²+b₁=65-b₁q и подставим во второе уравнение.
иb₁q²-2b₁q+b₁-20=0.
Получим 65-b₁q-2b₁q-20=0 или 45=3b₁q или b₁q=15
Подставим в первое уравнение: b₁q²=b₁q·q=15q
15q+b₁=65-15
b₁=50-15q
b₁q=15
(50-15q)·q=15
или
(10-3q)·q=3
3q²-10q+3=0
D=100-36=64
q₁=(10+8)/6=3
q₂=(10-8)/6=1/3 - не удовлетворяет условию задачи ( геометрическая прогрессия возрастающая)
b₁=5
О т в е т. 5; 15; 45.
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найти эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию
Решение: a,b,c арифм. прогрессия, значит b=(a+c)/2,a+b+c=21,3b=21, b=7,a+c=14,a=14-ca,b-1,c+1 геом. прогрессия, значит (b-1)^2=a*(c+1), раскрываем скобки и получаем b^2-2b+1=ac+a
49-14+1=ac+c
ac+a=36
(14-c)*c+14-c=36
c^2-13c+22=0
c1=11,a1=3,b=7 3,7,11 проверка 3,6,12 геом. прогрессия
c2=2,a2=12,b=7 12,7,2 проверка 12,6,3 геом. прогрессия
