прогрессия »

найти первые три числа прогрессии - страница 4

  • Знайти чотири числа, з яких три перших формують арифметичну прогресію, а три останніх - геометричну. Сума крайніх чисел дорівнюе 40, а сума середніх = 20.
    Найти четыре числа, из которых три первых формируют арифметическую прогрессию, а три последних - геометрическую. Сумма крайних чисел равна 40, а сумма средних = 20.


    Решение: Не слишком изящно получилось.
    Итак, обозначим числа k, l, m и n. d -шаг арифм. прогрессии, q - знаменатель прогрессии.
    тогда получаем систему из 6 уравнений.
    l=k+d
    m=k+2d
    m=lq
    n=lq²
    k+m=40
    l+m=k+d+k+2d=2k+3d=20
    Решаем эту систему
    l=k+d
    m=k+2d
    m=lq=(k+d)q
    n=lq²=(k+d)q²
    k+m=k+lq²=k+(k+d)q²=40
    l+m=k+d+k+2d=2k+3d=20
    из последнего уравнения $$ d= \frac{20-2k}{ 3}=2\frac{10-k}{3} $$
    Приравнивая второе и третье получим
    k+2d=(k+d)q
    $$ q= \frac{k+2d}{k+d} =\frac{k+2*2 \frac{10-k}{3} }{k+2 \frac{10-k}{3}}= \frac{3k+4(10-k)}{3k+2(10-k)}= \frac{3k+40-4k}{3k+20-2k}= \frac{40-k}{20+k} $$
    из предпоследнего
    $$ k+(k+ 2\frac{10-k}{3})( \frac{40-x}{20+x} )^2=40 \\ k+ \frac{(k+ \frac{20}{3}- \frac{2}{3}k)(40-k)^2}{(20+k)^2}=\\= k+ \frac{(\frac{k}{3}+ \frac{20}{3})(40-k)^2}{(20+k)^2}=k+ \frac{(k+ 20)(40-k)^2}{3(20+k)^2}= \\ =k+ \frac{(40-k)^2}{3(20+k)}=\frac{3k(20+k)+(40-k)^2}{3(20+k)}=40 $$
    3k(20+k)+(40-k)²=40*3(20+k)
    60k+3k²+1600-80k+k²=2400-120k
    4k²-140k-800=0
    k²-35k=200
    D=35²+4*200=2025
    $$ \sqrt{D}=45 $$
    k₁=(35-45)/2=-5
    k₂=(35+45)/2=40
    d₁=(20-2*(-5))/3=10
    l₁=-5+10=5
    m₁=15
    q₁=3
    n₁=45
    d₂=(20-2*40)/3=-20
    l₂=40-20=20
    m₂=0
    q₂=0
    n₂=0
    Ответ: два решения: -5,5,15,45 и 40, 20, 0, 0

  • Три числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 18. Если к первому числу прибавить 2, к третьему 1, а второе оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.


    Решение: -5, 6, 17
    a+(a+d)+(a+2*d)=18 арифм, следовательно, 3a+3d=18, следовательно- a+d=6.
    но:
    a+2 =b
    a+d =b*k
    a+2*d+1=b*k*k - геометрич. прогрессия
    следовательно,a+d =b*k=6
    тогда возможны 4 варианта:
    k=2,b=3 и тогда по условию a+2=b, а=1
    k=-2,b=-3 анологично а=-5
    k=3,b=2 анологично  а=0
    k=-3,b=-2 анологично а=-4
    из всех вариантов арифм. прогрессии соотв. а=-5 с коэффициентом d=11

  • Помогите найти сумму геометрической прогрессии(Bn), если Bn=20/3^n-1


    Решение: $$ B_n=\frac{20}{3^{n-1}} $$
    первЫй член
    $$ B_1=\frac{20}{3^{1-1}}=\frac{20}{3^{0}}=20 $$
    знаменатель
    $$ q=B_{n+1}:B_n=\frac{20}{3^{n+1-1}}:\frac{20}{3^{n-1}}=\frac{1}{3} $$
    так как
    $$ |q|<1 $$
    то имеем бесконечну убывающу геомметрическую прогрессию, сумма ее членов равна
    $$ S=\frac{B_1}{1-q} $$
    $$ S=\frac{20}{1-\frac{1}{3}}=20:\frac{2}{3}=\frac{20*3}{2}=30 $$
    ответ: 30

<< < 234