прогрессия »
найти первые три числа прогрессии - страница 3
Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, если cумма первого и четвертого чисел равна 21, a сумма второго и третьего чисел равна 18.
Решение: Первые три числа - a, a*q, a*q^2
Последние три числа - a*q, a*q^2 = a*q+d, a*q^2+d
a + a*q^2 + d = 21
a*q^2 = a*q + d
a*q + a*q + d = 18
Из 2 уравнения
d = a*q^2 - a*q = a*q*(q - 1)
Подставляем в 1 и 3 уравнения
a + a*q^2 + a*q*(q - 1) = 21
2a*q + a*q*(q - 1) = a*q*(2 + q - 1) = a*q*(q + 1) = 18
Преобразуем 1 уравнение
a + a*q^2 + a*q*(q + 1 - 2) = a + a*q^2 + a*q*(q + 1) - 2a*q = 21
Подставляем 2 уравнение
a + a*q^2 - 2a*q + 18 = 21
a + a*q^2 - 2a*q = 3
a*(1 - 2q + q^2) = a(q - 1)^2 = 3
Ясно, что a = 3; (q - 1)^2 = 1
1) q - 1 = -1; q = 0 - не может быть, тогда не будет прогрессии.
2) q - 1 = 1; q = 2; тогда d = a*q*(q - 1) = 3*2*1 = 6
Ответ: 3, 6, 12, 18
Найти четыре числа, из которых три первых образуют арифметическую прогрессию, а три последних - геометрическую. Сумма крайних чисел равна 40, а сумма средних
равна 20.
Решение: E1, e2, e3, e4
Система по условию:
a=e2-e1=(e3-e1)/2
q=e3/e2=sqrt(e4/e2)
e1+e4=40
e2+e3=20
е1=40-е4
е2=20-е3
е2-е1=е4-е3-20
е3-е1=е3+е4-40
е4-е3-20=(е3+е4-40)/2
е4-е3-20=е4/2+е3/2-20
е4-е3=е4/2+е3/2
е4/2=(е3)*3/2
е4=3*е3
е3/е2=sqrt(e4/e2)
e3/e2=sqrt(3*e3/e2)
(e3/e2)^2=3*e3/e2
e3/e2=3
e3=3*e2
q=3
e2+e3=20
e2+3*e2=20
e2=5
e3=15
e4=45
e1=40-45=-5
a=10
-5, 5, 15, 45
сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов равна 21. найти эти числа.
Решение: в1+в2+в3=3, а (в1)^2+(в2)^2+(в3)^2-по условиюсоставим систему
1) в1*(1+g+g^2)=3
2)(в1)^2*(1+g^2+g^4)=21
возведем в квадрат обе части первого уравнения
(в1)^2*(1+g^2+g^4)+2*(в1)^2*g*(1+g+g^2)=9
вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, получим
2*(в1)^2*g*(1+g+g^2)=-12,
2*в1*(1+g+g^2)*в1*g=-12
в1*(1+g+g^2)*в1*g=-6
откуда в1*g=-2
теперь из системы
1) в1*(1+g^2)=5
2) в1*g=-2
находим решение
5g=-2(1+g^2)
2g^2+5g+2=0
D=25-16=9
g1=(-5+3)/4=-0.5
g2=(-5-3)/4=-2
а)g1=-0.5
в1=4
в2=-2
в3=1
в) g2=-2
в1=1
в2=-2
в3=4
Сумма 3 чисел, образующих арифметическую прогрессию равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1,1,4, то образуется геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение: A₁+a₂+a₃=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)=3a₁+3d=15
отсюда a₁+d=5
a₁+1
a₂+1=a₁+d+1
a₃+4=a₁+2d+4
a₁+d+1=(a₁+1)q
a₁+2d+4=(a₁+1)q²
Итак, у нас получилась система уравнений
a₁+d=5
a₁+d+1=(a₁+1)q
a₁+2d+4=(a₁+1)q²
решаем
d=5-a₁
5+1=(a₁+1)q
(a₁+1)q=6
5+5-a₁+4=(a₁+1)q²
14-a₁=(a₁+1)q²
итого
(a₁+1)q=6
14-a₁=(a₁+1)q²
q=6/(a₁+1)
14-a₁=(a₁+1)*6²/(a₁+1)²
14-a₁=36/(a₁+1)
(14-a₁)(a₁+1)=36
14a₁+14-a₁²-a₁=36
13a₁-a₁²-22=0
a₁²-13a₁+22=0
D=13²-4*22=81
√D=9
a₁=(13+-9)/2
a₁=2 и a₁=11
d₁=5-2=3
d₂=5-11=-6
Ответ: два ответа. 2;5;8 и 11;5;-1
Натуральные числа k,l,m, взятые в указанном порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым числом. Числа 2835 и 2646 делятся без остатка на l и m соответственно. Найти числа k,l и m, если известно, что при указанных условиях сумма k+l+m максимальна.
Решение: $$ l^2=k*m\\ \frac{2835}{l}=x\\ \frac{2646}{m}=y\\ k+l+m=max\\\\ l=\frac{3^4*5*7}{x}\\ m=\frac{3^3*2*7^2}{y}\\\\ m=lq\\\\ k=\frac{3^5*5^2y}{2x^2} \\\\ q=\frac{14x}{15y}\\ $$
видно что знаменатель должен быть максимальным
$$ x=3n;5n;7n\\ y=2t;3t;7t $$
Для этого числитель должен быть максимальным, знаменатель минимальным
Видно что при $$ x=15;y=2 $$ $$ q=7 $$ и это максимальное число
Тогда сумма $$ \frac{6075y}{2x^2}+\frac{6075y*7}{2x^2}+\frac{6075y*49}{2x^2}=k+l+m \\ k+l+m=\frac{346275y}{2x^2}=1539 $$
каждое число равна $$ k=27;l=189;m=1323 $$
