в геометрической прогрессии первый член равен

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяется по формуле Sn=3(в степени n) -1. Найти знаменатель прогрессии и ее первыйчлен

$$ S_n=3^n-1 $$
В общем виде формула суммы геометрической прогрессии имеет вид
$$ S_n= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
Попробуем привести данное выражение к подобной форме
$$ S_n= \frac{1(3^n-1)}{1}=\frac{2(3^n-1)}{3-1} $$
Сравнивая с общей формулой, видим, что
знаменатель q=3;
первый член b₁=2

Рассматривается геометрическая прогрессия, заданная формулой n-го члена: cn=27*(-1/3) в степени n-1 а) Найдите сумму её первых пяти членов б) Найдите суммуеё первых n членов в) Сколько надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную 61/3

В геометрической прогрессия, заданной формулой n-го члена: cn=27*(-1/3) в степени n-1 :
а₁ = 27 q = -1/3.
б) суммa её первых n членов:
Sn = (a₁*(q^n - 1)) / (q-1).
а) сумму её первых пяти членов:
S₅ = (27*((-1/3)⁵- 1)) / (-1/3-1).= -27,111 / (-4/3) = 20,3333 = 61/3.
в) надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную 61/3 - это число 5 (смотри ответ а).

знаменатель геометрической прогрессии равен -0.5, а первый член 64. найдите сумму квадратов первых восьми членов этой прогрессии

b₂ = (-32)² = 1024

b₃ = 16² = 256

b₄ = (-8)² = 64

b₅ = 4² = 16

b₆ = (-2)² = 4

b₇ = 1

b₈ = (-0,5)²= 0,25

S₈ = 5461,25

Более правильное решение:

Так как каждый член прогрессии нужно возводить в квадрат, знаменательно можно представить как (-0,5)² = 1/4, а первый член как 4096.

$$ S = \frac{b_{1}*(q^{8}-1)}{q-1} = \frac{4096* (0,25^{8}-1)}{0,25-1}\\ 4096 = 0,25^{-6}\\ S = \frac{0,25^{2}-4096}{-0,75} = 5461,25 $$

найти знаменатель геометрической прогрессии, если первый ее член равен 4, а третий равен 108

b3 = 4 * q^2

108 = 4*q^2

27 = q^2

q = 3 корня из 3 (3*sqrt(3))

знаменатель геометрической прогрессии - это q

система уравнений:

b1=4,         b1=4,            b1=4,         b1=4,         

b3=108       b1*q²=108     4*q²=108    q²=27

значит q= ± √27=±3√3   

√-это корень

но по характеристическому свойству геом. прогр.

b2-это положительное число, то

только q=3√3 удовлетворяет условию

ответ:q=3√3

Найдите знаменатель геометрической прогрессии bn=3*(-2)n, а также ее первый и пятый члены.

b1=-6

q=2

b5= -30

Вместо n подставляете номер члена прогрессии, который вам нужно найти

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если отношение суммы первых девяти её членов к сумме следующих девяти членов этой же прогрессии равно 512.

Напишем формулу для суммы 9 членов геометрической прогрессии

s9=(b1*(q^9-1))/(q-1)

Напишем формулу для суммы 18 членов геометрической прогрессии

s18=(b1*(q^18-1))/(q-1)

512=2^9

s9/(s18-s9)=2^9

GПеревернем дробь

(s18-s9)/s9=1/2^9

Числитель разделим на знаменатель почленно.

1-s18/s9=1/2^9 Отдельно упростим дробь s18/s9 

s18/s9=(b1*(q18-1)/(q-1))/(b1*(q9-1)/(q-1)

Сократятся b1 и (q-1)

s18/s9=(q18-1)/(q9-1) разность квадратов 

s18/s9=((q:9-1)*(q^9+1))/(q9-1) Сократим на (q^9-1)

s18/s9=q^9+1

Возвращаемся к уравнению

1-s18/s9=1/2^9

1-q^9+1=1/2^9

-q^9=1/2^9

q=-1/2

Найдите первый член а знаменатель геометрической прогрессии, если её четвертый член меньшее шестого на 64, а пятый больше третьего на 192

Знаменатель геометрической прогрессии равен -0.5, а первый член 64. найдите сумму квадратов первых восьми членов этой прогрессии.

b3=-32:(-2)=16

b4=16:(-2)=-8

b5=-8:(-2)=4

b6=4:(-2)=-2

b7=-2:(-2)=1

b8=1:(-2)=-0,5

сумма квадратов=4096+1024+256+64+16+4+1+0,25=5461,25

Заданная последовательность с $$ b_{1}=64 $$ и $$ q=-\frac{1}{2} $$

- геометрическая прогрессия, сумма n первых членов которой вычисляется по известной формуле

$$ S_{n}=\frac{b_{1}\cdot(q^{n}-1)}{q-1} $$

Последовательность, составленная из квадратов членов заданной геометрической прогрессии, предcтавляет собой геометрическую прогрессию:

$$ b_{1}^2, \ q^2b_{1}^2,\ q^4b_{1}^2,\ q^6b_{1}^2,\ $$.$$ b_{1}^{2}\cdot{q}^{2(n-1)} $$, в которой $$ B_{1}=b_{1}^{2}\ $$ и $$ Q_{1}=q^{2}\ $$

Сумма n первых членов такой прогрессии вычисляется по вышеприведённой формуле для Sn. Если подставить в эту формулу $$ B_{1}=b_{1}^{2} $$ и $$ Q=q^2 $$, то получим

$$ S_{n}=\frac{b_{1}^{2}\cdot(q^{2n}-1)}{q^{2}-1} $$

Подставляем сюда $$ b_{1}=64 $$ и $$ q=-\frac{1}{2}$$:

$$ S_{8}^{Q}=\frac{64^{2}\cdot((\frac{-1}{2})^{2\cdot{8}}-1)}{\frac{1}{4}-1}=5461,25 $$

В геометрической прогрессии (an) a1=2, а произведение первых четырех ее членов равно 1024. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что он положительный.

Формула n-ого члена: $$ a_{n}=a_{1}*q^{n-1} $$

Выражаем $$ a_{2},a_{3},a_{4} $$:

$$ a_{2}=a_{1}*q^{2-1}=2*q\\a_{3}=a_{1}*q^{3-1}=2*q^2\\a_4=a_1*q^{4-1}=2*q^3 $$ 

$$ a_{1}*a_{2}*a_{3}*a_{4}=1024 $$ Подставим сюда то что выражали выше.

$$ 2*2*q*2*q^2*2*q^3=1024\\16q^6=1024\\q^6=64\\q=2 $$

Ответ: q=2 

$$ a_1=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q>0 \\ \\ a_1*a_2*a_3*a_4=1024 \\ \\ a_1*a_1q*a_1q^2*a_1q^3=1024 \\ \\ a_1^4*q^6=1024 \\ \\ 2^4q^6=1024 \\ \\ 16q^6=1024 \\ \\ q^6=64 \\ \\ \left \{ {{q^6=64} \atop {q>0}} \right. \\ q=\sqrt[6]{64}=2 $$

Ответ: 2

1) Шестой член геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а четвертый равен 9. Найдите седьмой член этой прогрессии.
2) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, для которой отношение суммы пятого и шестого членов прогрессии к сумме третьего и четвертого членов равно \( \frac{1}{9} \)
3) Первый член геометрической прогрессии равен 27, а знаменатель равен \( \frac{1}{3} \). Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.