прогрессия » в геометрической прогрессии первый член равен
  • Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяется по формуле Sn=3(в степени n) -1. Найти знаменатель прогрессии и ее первыйчлен


    Решение: Sn=(3^n)-1
    n=1
    S1=3-1=2⇒b1=2
    S2=9-1=8
    Sn=b1(q^n-1)/q-1
    2(q^2-1)/q-1=8
    (q^2-1)/q-1=4
    q^2-1=4q-4
    q^2-4q+3=0
    q=1 искл q=3
    ответ b1=2 q=3

    $$ S_n=3^n-1 $$
    В общем виде формула суммы геометрической прогрессии имеет вид
    $$ S_n= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
    Попробуем привести данное выражение к подобной форме
    $$ S_n= \frac{1(3^n-1)}{1}=\frac{2(3^n-1)}{3-1} $$
    Сравнивая с общей формулой, видим, что
    знаменатель q=3;
    первый член b₁=2

  • Рассматривается геометрическая прогрессия, заданная формулой n-го члена: cn=27*(-1/3) в степени n-1 а) Найдите сумму её первых пяти членов б) Найдите суммуеё первых n членов в) Сколько надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную 61/3


    Решение:

    В геометрической прогрессия, заданной формулой n-го члена: cn=27*(-1/3) в степени n-1 :
    а
    ₁ = 27 q = -1/3.
    б) суммa её первых n членов:
    Sn = (a₁*(q^n - 1)) / (q-1).
    а) сумму её первых пяти членов:
    S₅ = (27*((-1/3)⁵- 1)) / (-1/3-1).= -27,111 / (-4/3) = 20,3333 = 61/3.
    в) надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную 61/3 - это число 5 (смотри ответ а).

  • знаменатель геометрической прогрессии равен -0.5, а первый член 64. найдите сумму квадратов первых восьми членов этой прогрессии


    Решение: b₁ = 64² = 4096

    b₂ = (-32)² = 1024

    b₃ = 16² = 256

    b₄ = (-8)² = 64

    b₅ = 4² = 16

    b₆ = (-2)² = 4

    b₇ = 1

    b₈ = (-0,5)²= 0,25

    S₈ = 5461,25

    Более правильное решение:

    Так как каждый член прогрессии нужно возводить в квадрат, знаменательно можно представить как (-0,5)² = 1/4, а первый член как 4096.

    $$ S = \frac{b_{1}*(q^{8}-1)}{q-1} = \frac{4096* (0,25^{8}-1)}{0,25-1}\\ 4096 = 0,25^{-6}\\ S = \frac{0,25^{2}-4096}{-0,75} = 5461,25 $$

  • найти знаменатель геометрической прогрессии, если первый ее член равен 4, а третий равен 108


    Решение: bn = b1 * q^n-1

    b3 = 4 * q^2

    108 = 4*q^2

    27 = q^2

    q = 3 корня из 3 (3*sqrt(3))

    знаменатель геометрической прогрессии - это q

    система уравнений:

    b1=4,         b1=4,            b1=4,         b1=4,         

    b3=108       b1*q²=108     4*q²=108    q²=27

    значит q= ± √27=±3√3   

    √-это корень

    но по характеристическому свойству геом. прогр.

    b2-это положительное число, то

    только q=3√3 удовлетворяет условию

    ответ:q=3√3

  • Найдите знаменатель геометрической прогрессии bn=3*(-2)n, а также ее первый и пятый члены.


    Решение: ответ. 

    b1=-6

    q=2

    b5= -30

    Вместо n подставляете номер члена прогрессии, который вам нужно найти

    ответ.  b - q b - Вместо n подставляете номер члена прогрессии который вам нужно найти...
  • Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если отношение суммы первых девяти её членов к сумме следующих девяти членов этой же прогрессии равно 512.


    Решение:

    Напишем формулу для суммы 9 членов геометрической прогрессии

    s9=(b1*(q^9-1))/(q-1)

    Напишем формулу для суммы 18 членов геометрической прогрессии

    s18=(b1*(q^18-1))/(q-1)

    512=2^9

    s9/(s18-s9)=2^9

    GПеревернем дробь

    (s18-s9)/s9=1/2^9

    Числитель разделим на знаменатель почленно.

    1-s18/s9=1/2^9 Отдельно упростим дробь s18/s9 

    s18/s9=(b1*(q18-1)/(q-1))/(b1*(q9-1)/(q-1)

    Сократятся b1 и (q-1)

    s18/s9=(q18-1)/(q9-1) разность квадратов 

    s18/s9=((q:9-1)*(q^9+1))/(q9-1) Сократим на (q^9-1)

    s18/s9=q^9+1

    Возвращаемся к уравнению

    1-s18/s9=1/2^9

    1-q^9+1=1/2^9

    -q^9=1/2^9

    q=-1/2

  • Найдите первый член а знаменатель геометрической прогрессии, если её четвертый член меньшее шестого на 64, а пятый больше третьего на 192


    Решение: Составим систему уравнений
    b₆-b₄=64
    b₅-b3=192

    b₁*q^5-b₁*q^3=64
    b₁*q^4-b₁*q^2=192

    b₁*q^3*(q^2 -1)=64
    b₁*q^2*(q^2-1)=192

    Разделим 1 уравнение на 2
    получим q=1/3
    Из 2 уравнения системы найдем b₁
    b₁*1/9*(1/9-1)=192, b₁*1/9*(-8/9)=192, b₁*(-8/81)=192, b₁=192÷(-8/81) =
    = - (192*81)/8 = -1944 
    Ответ:b1=-1944, q=1/3

  • Знаменатель геометрической прогрессии равен -0.5, а первый член 64. найдите сумму квадратов первых восьми членов этой прогрессии.


    Решение: b2=64*(-0,5)=-32

    b3=-32:(-2)=16

    b4=16:(-2)=-8

    b5=-8:(-2)=4

    b6=4:(-2)=-2

    b7=-2:(-2)=1

    b8=1:(-2)=-0,5

    сумма квадратов=4096+1024+256+64+16+4+1+0,25=5461,25

    Можно рассмотреть эти числа так 0,25,4,16,64,256,1024,4096 и это будет геометрическая прогрессия b1=0,25 q=4 и тогда вычисления достаточно простые S=0,25*(1-4^8)/(1-4)=65535:12=5461,25

    Заданная последовательность с $$ b_{1}=64 $$ и $$ q=-\frac{1}{2} $$

    - геометрическая прогрессия, сумма n первых членов которой вычисляется по известной формуле

    $$ S_{n}=\frac{b_{1}\cdot(q^{n}-1)}{q-1} $$

    Последовательность, составленная из квадратов членов заданной геометрической прогрессии, предcтавляет собой геометрическую прогрессию:

    $$ b_{1}^2, \ q^2b_{1}^2,\ q^4b_{1}^2,\ q^6b_{1}^2,\ $$.$$ b_{1}^{2}\cdot{q}^{2(n-1)} $$, в которой $$ B_{1}=b_{1}^{2}\ $$ и $$ Q_{1}=q^{2}\ $$

    Сумма n первых членов такой прогрессии вычисляется по вышеприведённой формуле для Sn. Если подставить в эту формулу $$ B_{1}=b_{1}^{2} $$ и $$ Q=q^2 $$, то получим

    $$ S_{n}=\frac{b_{1}^{2}\cdot(q^{2n}-1)}{q^{2}-1} $$

    Подставляем сюда $$ b_{1}=64 $$ и $$ q=-\frac{1}{2}$$:

    $$ S_{8}^{Q}=\frac{64^{2}\cdot((\frac{-1}{2})^{2\cdot{8}}-1)}{\frac{1}{4}-1}=5461,25 $$

  • В геометрической прогрессии (an) a1=2, а произведение первых четырех ее членов равно 1024. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что он положительный.


    Решение: Пусть q - знаменатель геометрической прогрессии.

    Формула n-ого члена: $$ a_{n}=a_{1}*q^{n-1} $$

    Выражаем $$ a_{2},a_{3},a_{4} $$:

    $$ a_{2}=a_{1}*q^{2-1}=2*q\\a_{3}=a_{1}*q^{3-1}=2*q^2\\a_4=a_1*q^{4-1}=2*q^3 $$ 

    $$ a_{1}*a_{2}*a_{3}*a_{4}=1024 $$ Подставим сюда то что выражали выше.

    $$ 2*2*q*2*q^2*2*q^3=1024\\16q^6=1024\\q^6=64\\q=2 $$

    Ответ: q=2 

    $$ a_1=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q>0 \\ \\ a_1*a_2*a_3*a_4=1024 \\ \\ a_1*a_1q*a_1q^2*a_1q^3=1024 \\ \\ a_1^4*q^6=1024 \\ \\ 2^4q^6=1024 \\ \\ 16q^6=1024 \\ \\ q^6=64 \\ \\ \left \{ {{q^6=64} \atop {q>0}} \right. \\ q=\sqrt[6]{64}=2 $$

    Ответ: 2

  • 1) Шестой член геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а четвертый равен 9. Найдите седьмой член этой прогрессии.
    2) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, для которой отношение суммы пятого и шестого членов прогрессии к сумме третьего и четвертого членов равно \( \frac{1}{9} \)
    3) Первый член геометрической прогрессии равен 27, а знаменатель равен \( \frac{1}{3} \). Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.


    Решение: 1) Шестой член геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а четвертый равен 9. Найдите седьмой член этой прогрессии.
    b6/b4=b1q^5/b1q^3=q^2=4/9
    q=2/3
    b7=b6*q=4*2/3=8/3
    2) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, для которой отношение суммы пятого и шестого членов прогрессии к сумме третьего и четвертого членов равно 
    b5+b6/b3+b4=1/9
    b1(q^4+q^5)/b1(q^2+q^3)=q^2=1/9 q=1/3
    3) Первый член геометрической прогрессии равен 27, а знаменатель равен. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии. 
    b1=27
    q=1/3
    sn=b1(1-q^7)/(1-q)=27(1-1/3^7) : 2/3=3^4(3^7-1)/2*3^7=2186/2*27=1093/27

     Шестой член геометрической прогрессии с положительными членами равен а четвертый равен . Найдите седьмой член этой прогрессии.b b b q b q q q b b q Найдите знаменатель геоме...
1 2 3 > >>