прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 2

  • Вариант I
    1. Последовательность ( bn) - геометрическая прогрессия. Найдите b9, если b1 = - 24 и знаменатель q = 0,5.
    2. Найдите сумму первых шести членов геометрической последовательности ( xn); первый член которой равен -9, а знаменатель равен -2.
    3. Среди последовательностей укажите геометрическую прогрессию:
    а) 1; 3; 9; 12;… б) 6; 3; 1;… в) 6; 3; 1,5; 0,75;….
    4. Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой b11=3,1 ;
    b12=-9,3.
    5. Между числами 6 и 486 вставьте такие три числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.


    Решение: 1) B₉-
    B₁=-24 q=0.5
    B₉=B₁*q⁸=-24*(0.5)⁸=-3*8*(2⁻¹)⁸=-3*2³*2⁻⁸=-3*2⁻⁵=-3 = -3
      2⁵ 32
    Ответ: -3
      32
    2) B₁=-9 q=-2
    S₆-
    B₆=B₁*q⁵=-9*(-2)⁵=-9 * (-32)=288
    S₆=B₆*q-B₁=288*(-2)-(-9)=-576+9 =567=189
      q-1 -2-1 -3 3
    Ответ: 189

    3) В геометрической прогрессии квадрат каждого члена, отличного от первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов:
    а) 1; 3; 9; 12
    3²=1*9
    9=9 - верно
    9²=3*12
    81=36 - неверно
    Значит это не геометрическая прогрессия
    б) 6; 3; 1
    3²=6*1
    9=6 - неверно
    Значит это не геометрическая прогрессия
    в) 6; 3; 1,5; 0,75
    3²=6*1,5
    9=9 - верно
    1,5²=3*0,75
    2,25=2,25 - верно
    Значит это геометрическая прогрессия
    Ответ: 3)

    4) B₁₁=3.1 B₁₂=-9.3
    q-
    q=B₁₂ =-9.3 =-3
      B₁₁ 3.1
    Ответ: -3

    5) B₁=6
      B₂- B₃- B₄-
      B₅=486
    B₅=B₁*q⁴
    486=6*q⁴
    486 : 6=q⁴
    81=q⁴
    3⁴=q⁴
    q=3
    B₂=B₁*q=6*3=18
    B₃=B₂*q=18*3=54
    B₄=B₃*q=54*3=162
    6; 18; 54; 162; 486
    Ответ: 18; 54; 162

  • Укажите знаменатель в геометрической прогрессии -5 ;17.5; -61.25 q-

    первые 4 члена арифмитической прогрессии заданные формулой an=-4n-3?

    найдите сумму первых 6 членов геометричесской рогрессии если b1= -0.2 b2= -0.8?


    Решение: РЕШЕНИЕ
    Задача 1
    Вычисляем делением
    q = b2/b1 =17.5/(-5) = -3.5,
     Проверим еще раз
      q= b3/b2 = -61.25/17.5 = -3.5
    ОТВЕТ q = - 3.5 
    Задача 2
    Находим q
    q = -0.8/(-0.2) = 4.
    Формула суммы первых членов геометрической прогрессии при
    обычных обозначениях b, q, n
    Sn = b1*(q^n - 1) / (q-1)
    Подставив значения получим результат
    S6 = - 273 - ОТВЕТ
    Проверка.
    -0,2 + - 0,8 + -3,2 + -12,8 + -51,2 + -204,8 = -273

  • сумма первых 5 членов геометрической рогрессии с положительным знаменателем и первым членом 2 равна 211/8. сумма тех же членов с чередующимися знаками(+,+) равна 55/8. найдите знаменатель этой геометрической прогрессии


    Решение:

    Решение: Пусть b[1], b[2], b[3], b[4], b[5] члены первой геометрической прогрессии, тогда b[1],b[2], b[3],b[4], b[5] члены геометричесской прогрессии с чередующимися знаками

    По условию b[1]+ b[2]+ b[3]+b[4]+ b[5]=211\8

    b[1]-b[2]+b[3]-b[4]+b[5]=55\8

    b[1]=2

    2*(b[1]+b[3]+b[5])=211\8+55\8=266\8=133\4

    b[1]+b[3]+b[5]=133\8, используем формулу общего члена

    b[1]+b[1]*q^2+b[1]*q^4=133\8

    b[1]*(1+q^2+q^4)=133\8

    2*(1+q^2+q^4)=133\8

    1+q^2+q^4=133\16

    16q^4+16q^2-117=0

    D=88^2

    q^2=(-16+88)\(2*16)=2.25

    q^2=(-16-88)\(2*16)<0 (что невозможно)

    q^2=2.25

    q=1.5

    q=-1.5(что невозможно так знаменатель положительный по условию)

    Ответ: 1.5

  • Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии с положительным знаменателем и первым членом 2 равна 211/8. Сумма тех же членов с чередующимся знаками (+,+,) равна 55/8. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.


    Решение: b1=2-первый член прогрессии

    q-знаменатель

    2+2q+2q^2+2q^3+2q^4= 211/8

    2-2q+2q^2-2q^3+2q^4= 55/8

    Сложим почленно эти равенства, получим:

    4+4q^2+4q^4=133/16|:4

    1+q^2+q^4=133/16

    Замена t=q^2

    1+t+t^2=133/16

    t^2+t-117/16=0

    D=1+4*117/16=1+117/4=121/4

    t1=(-1-11/2):2=2.25

    t2=(-1-11/2):2=-13/4 меньше нуля, не подходит, т. к. q^2-неотрицательно

    t=q^2=2.25, следовательно q=1.5

    Ответ: 1,5

  • Пароль от кодового замка – три первых члена положительной геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии больше единицы), которые являются решением уравнения ниже. Причем третий член прогрессии – минимальный из возможных. В ответе запишите эти три числа подряд без пробелов. (Например, если искомые числа 2, 4, 8, то ответ 248). cos⁡(πx/4)= -√2 / 2


    Решение: Если знаменатель больше единицы, то по-любому для положительной прогрессии третий будет максимальным из трёх. Вот если бы первый член был отрицательным, то второй был бы положительным и поэтому максимальным, а третий - минимальным. Гораздо интереснее уравнение с косинусом. Там ведь минус стоит перед корнем. Значит, все решения следует искать во 2й и 3й четвертях. Там только три или пять четвертей, чтобы развернуться, двух решений маловато будет. Где третье искать - вот вопрос на засыпку. Предполагаю, что в уравнении не должно быть знака минус, а косинус должен быть в квадрате. При таком упрощении решить можно, а без упрощения только 0000 (четыре нуля).

  • Найти знаменатель и первый член геометрической прогрессии
    b2=12
    b5=324
    q-
    b1-


    Решение: B₂=12 b₅=324 q- b₁-
    b₂=b₁*q=12
    b₅=b₁*q⁴=324
    Разделим второе уравнение на первое:
    (b₁*q⁴/b₁*q)=324/12
    q³=27
    q³=3³
    q=3
    b₁*3=12
    b₁=4
    Ответ: b₁=4 q=3.

    b₂=128 b₇=4 b₁- q-
    b₂=b₁=128
    b₇=b₁*q⁶=4
    Разделим второе уравнение на первое:
    (q₁*q⁶/b₁*q)=4/128
    q⁵=1/32=1/2⁵=(1/2)⁵
    q=1/2 ⇒
    b₁=128/(1/2)=256
    Ответ: b₁=256 q=1/2.

  • В геометрической прогрессии (Bn), знаменатель которой положителен, b1*b2=1/27, a b3*b4=3. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.


    Решение: $$ \begin{cases} b_1b_2= \frac{1}{27} \\ b_3b_4=3 \end{cases} \\\ \begin{cases} b_1\cdot b_1q= \frac{1}{27} \\ b_1q^2\cdot b_1q^3=3 \end{cases} \\\ \begin{cases} b_1^2q= \frac{1}{27} \\ b_1^2q^5=3 \end{cases} \\\ \frac{b_1^2q^5}{b_1^2q} = \frac{3}{1/27} \\\ q^4=81 \\\ q=3 \ (q\ > \ 0) \\\ b_1^2= \frac{1/27}{q} \\\ b_1^2= \frac{1/27}{3} = \frac{1}{81} \\\ \Rightarrow (b_1)_1= \frac{1}{9} ; \ (b_1)_2=- \frac{1}{9} $$
    $$ (S_4)_1= \frac{b_1(q^4-1)}{q-1} = \frac{ \frac{1}{9} (3^4-1)}{3-1} = \frac{ \frac{1}{9}\cdot 80}{2} = \frac{40}{9} =4 \frac{4}{9} \\\ (S_4)_2= \frac{b_1(q^4-1)}{q-1} = \frac{- \frac{1}{9} (3^4-1)}{3-1} = - \frac{ \frac{1}{9}\cdot 80}{2} =- \frac{40}{9} =-4 \frac{4}{9} $$
    Ответ: $$ \pm 4 \frac{4}{9} $$

  • найди первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель, если а5-а3=-12 и а3*а1=4


    Решение: a5-a3=-12; Подставим в это уравнение реккурентные формулы для соотвестствующих членов, где q - это знаменатель прогрессии.

    a5-a3=a1*q*q*q*q-a1*q*q=-12, следовательно, a1*q*q(q*q-1)=-12; (1)

    Аналогично, подставим рекуурентные формулы для второго уравнения:

    a3*a1=4; следовательно, a1*a1*q*q=4; (2), 

    Будем считать, что a1*q больше либо равен 0. Тогда второе уравнение a1*a1*q*q=4; (2), можно преобразовать в a1*q=2, а это выражение в свою очередь можно подставить в уравнение (1).

    a1*q*q(q*q-1)=-12;

    следовательно,

    2*q(q*q-1)=-12;

    2q*q*q-2q+12=0;

    Легко подбирается корень -2;

    2q*q*q + 4q*q - 4q*q - 8q + 6q +12=0;

    2q*q(q+2) - 4q(q+2) + 6(q+2)=0;

    (q+2)(2q*q-4q+6)=0;

    D/4=m*m-a*c=4-12<0, следовательно, уравнение не имеет вещественных корней.

    Следовательно, выражение2q*q*q-2q+12=0 имеет единственный вещественный корень q=-2;

    Следовательно a1*q=2=a1*(-2), следовательно, a1=-1. 
    Вот один вариант решения: a1=-1; q=-2;

    Будем считать, что a1*q меньше 0. Тогда второе уравнение a1*a1*q*q=4; (2), можно преобразовать в a1*q=-2, а это выражение в свою очередь можно подставить в уравнение (1).

    a1*q*q(q*q-1)=-12;

    следовательно,

    -2*q(q*q-1)=-12;

    2q*q*q-2q-12=0;

    Легко подбирается корень 2;

    2q*q*q-4q*q+4q*q-8q+6q-12=0;

    2q*q(q-2) + 4q(q-2) + 6(q-2)=0;

    (q-2)(2q*q+4q+6)=0;

    D/4=m*m-a*c=4-12<0, следовательно, уравнение не имеет вещественных корней.

    Следовательно, выражение 2q*q*q-4q*q+4q*q-8q+6q-12=0 имеет единственный вещественный корень q=2;

    Следовательно a1*q=-2=a1*(-2), следовательно, a1=-1.
    Вот один вариант решения: a1=-1; q=2;

    Ответ: 1) a1=-1; q=-2;

    2) a1=-1;q=2.

  • Сумма первых 4 членов геометрической прогрессии равна 45. Знаменатель прогрессии равен 2. Найти сумму первых 8 членов


    Решение: S4=b1+b2+b3+b4=b1+b1q+b1q^2+b1q^3
    45=b1(1+2+4+8)
    45=15b1
    b1=3
    S8=b1(q^8-1)/(q-1)=3(2^8-1)/(2-1)=3(256-1)=3*255=765
    S b b b b b b q b q b q b b b S b q - q- - - -...

  • 1. Определите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен 4, а восьмой член равен 256.
    2. Первый член геометрической прогрессии равен 2058, а четвёртый член равен 6. Найдите знаменатель этой прогрессии.
    3. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, равен 768, последний член прогрессии меньше четвёртого в 16 раз. Найдите сумму всех членов прогрессии.


    Решение: 1) $$ b_{1}=2058 $$
    $$ b_{4} =6 $$
    $$ q=? $$
    $$ b_{4} =b_{1} * g^{4-1} =b_{1} * g^{3} $$
    $$ g^{3}= \frac{b_{4}}{b_{1}} $$
    $$ g^{3}= \frac{2058}{6} =343 $$
    $$ q=7 $$
    3) $$ b_{1}=768 $$
    $$ b_{6}=b_{4}*16 $$
    найти: \( S_{6} \)
    решение:
    $$ b_{n}=b_{1}* q^{n-1} \\ b_{4}=b_{1}* q^{3} \\ b_{6}=b_{1}* q^{5} \\ b_{1}* q^{5} =b_{1}* q^{3} *16 \\ \frac{b_{1}* q^{5} }{b_{1}* q^{3}} = 16 \\ q^{2} =16 \\ q=4 $$ или $$ q=-4 \\ S_{6} = \frac{ b_{1}(q^{6}-1) }{q-1} = \frac{768*( 4^{5} -1)}{4-1} =\\= \frac{768(1024-1)}{3} =256*1023=261888\\ S_{6} = \frac{ b_{1}(q^{6}-1) }{q-1} =\\= \frac{768*( (-4)^{5} -1)}{-4-1} = \frac{768(-1024-1)}{-5} =\\=\frac{768(-1025)}{-5} =768*205=157440 $$
<< < 12 3 4 > >>