в геометрической прогрессии первый член равен - страница 3
Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.
Решение: Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.
S4=b1+b2+b3+b4=b1+b1q+b1q^2+b1q^3
45=b1(1+2+4+8)
45=15b1
b1=3
S8=b1(q^8-1)/(q-1)=3(2^8-1)/(2-1)=3(256-1)=3*255=765$$ S_{n} $$ = $$ \frac{ a_{1(1-q ^{n} )} }{1-q} $$
при n=4 S=45, т. е.:
$$ S_{4}= \frac{a _{1} (1-q ^{4}) }{1-q} $$
откуда
$$ a_{1} = \frac{S _{4}(1-q) }{1- q^{4} } = \frac{45(1-2)}{1- 2^{4} } = \frac{45}{15} =3 $$
Теперь рассчитываем $$ S_{8} $$
$$ S_{8} = \frac{a_{1} (1-q ^{8}) }{1-q} = \frac{3(1- 2^{8}) }{1-2} =3*255=765 $$
Найдите а) первый член б) пятый член геометрической прогрессии у которой знаменатель равен 5, а седьмой член- 62 500
Решение: Дано: \( b_{n}\) - геометрическая прогрессия.
q=5
\( b_{7} \) = -62500
найти:
a) \( b_{1} \)
b) \( b_{5}\)
решение
a) запишем общую формулу нахождения члена геометрической прогрессии $$ b_{n} = b_{1} * q^{n-1} $$
нам известно
$$ b_{n} = - 62500 $$
n = 7
q= 5
подставляем
$$ b_{1} \ * 5^{6} $$ = -62500
$$ b_{1} $$ * 15625 = -62500
$$ b_{1} \\ b_{1} = -4 $$ b) зная \( b_{1} \) найдем \( b_{5} \), подставляем в формулу $$ b_{n} = b_{1} q^{n-1} $$
получаем
$$ b_{5} = -4 * 5^{4} = -4*625 = -2500 $$
Ответ : \( b_{1} = -4\), \( b_{5} = -2500 \)1. Известны два члена геометрической прогрессии: b4=2 и b6=200. Найдите ее первый член.
2. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.
Решение: 1.b4=2 и b6=200.b4=b1*q^3
b6=b1*q^5
2=b1*q^3
200=b1*q^5 разделим это уравнение на первое, получим
100=q^2
q=+10
2=b1*10 2=b1*(-10)
b1=2/10=1/5 b1=2/(-10)=-1/5
Ответ:+1/5.
2.S4=45, q=2, S8= b1(q^8-1)/(q-1)
S4= b1(q^4-1)/(q-1)
45=b1*(2^4-1)/2-1
45=b1*15/1
45=b1*15
b1=45/15
b1=3
S8= b1(q^8-1)/(q-1)
S8=3*(2^8-1)/2-1=3*255/1=765.
(1). Дана геометрическая прогрессия (bn). Найдите b1,q,S4, если bn=3^n-2/3
(2). Найдите такие значения переменной t, при которых числа t-5,2√6t,t+5 образуют геометрическую прогрессию.
(3). Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии(bn) равна 5 знаменатель прогрессии равен 2. Найдите b1 и сумму членов прогрессии с третьего по восьмой включительно.
Решение: 1) $$ b_n=\frac{3^{n-2}}{3}=3^{n-3} $$$$ b_1=3^{1-3}=3^{-2}=\frac{1}{9} $$
$$ q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3^{(n+1)-3}}{3^{n-3}}=\frac{3^{n-2}}{3^{n-3}}=3 $$
$$ S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\frac{1}{9}(3^4-1)}{3-1}=\frac{(81-1)}{9\cdot2}=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9} $$
2) $$ b_n^2=b_{n-1}b_{n+1} $$
$$ (2\sqrt{6t})^2=(t-5)(t+5) $$
$$ t^2-24t-25=0 $$
t1=-1, t2=25
3) $$ S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{b_1(2^4-1)}{2-1}=b_1(8-1)=7b_1=5 $$
b1=5/7
$$ S_{3:8}=S_8-S_2=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\frac{b_1(q^2-1)}{q-1}=\frac{b_1}{q-1}(q^8-q^2)=\\=\frac{\frac{5}{7}}{2-1}(2^8-2^2)=\frac{5}{7}\cdot 252=180 $$
Первый член геометрической прогрессии (bn) равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии.
Решение: Геометрическая прогрессия это последовательность чисел где каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число (q) называемое знаменателем.формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
a(n) = a1q^(n − 1)
формула для вычисления суммы n членов прогрессии:
Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)
где
а1 - первый член прогрессии
q- знаменатель прогрессии (постоянное число)
n - количество членов прогрессии
А значит:
Sn=6*(2^7-1)/(2-1)=762
Проверим:
6*2=12
12*2=24
24*2=48
48*2=96
96*2=192
192*2=384
6+12+24+48+96+192+384=762
Запишите первые 11 членов геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 1,5 а шестой член равен 2
Решение:А6=a1*q^5
a1*(3/2)^5=2
a1=2:243/32=2*32/243=64/243
a2=64/243*3/2=32/81
a3=32/81*3/2=16/27
a4=16/27*3/2=8/9
a5=8/9*3/2=4/3
a6=2
a7=2*3/2=3
a8=3*3/2=9/2
a9=9/2*3/2=27/4
a10=27/4*3/2=81/8
a11=81/8*3/2=243/16
$$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
b₆=b₁·q⁵
q=1,5=3/2
2=b₁·(3/2)⁵ ⇒ b₁=2/(3/2)⁵=2⁶/3⁵=64/243
b₁=64/243
b₂=(64/243)·(3/2)=32/81
b₃=(32/81)·(3/2)=16/27
b₄=(16/27)·(3/2)=8/9
b₅=4/3
b₆=2
b₇=3
b₈=9/2
b₉=27/4
b₁₀=81/8
b₁₁=243/16
1. Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии S8=85/64, а знаменатель q=-1/2. Найдите b1.
2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии Sn=25 целых 34/81, ее первый член b1=9 и n-ый член bn=64/81. найдите число n.
3. для некоторой геометрической прогрессии известно что S2=4 и S3=13. найдите S5.
4. сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. вычислите сумму первых пяти членов этой прогрессии.
Решение: 1. S8=b1*(1-q^8)/1-q
(b1*0(1-1/256)/1+0.5)=85/64(b1*255/256)/1.5=85/64(255/256)*b1=(85*1.5)/64b1=(127.5*256)/(64*255)
b1=2
3. S2=b1+b2=b1+b1*q=b1*(1+q), b1*(1+q)=4, b1=4/(1+q);
S3=b1+b2+b3=b1+b1*q+b1*q^2=b1*(1+q+q^2), b1*(1+q+q^2)=13, b1=13/(1+q+q^2);
4/(1+q)=13/(1+q+q^2), 4+4*q+4*q^2=13+13*q, 4*q^2-9*q-9=0, q=(9+-sqrt(9^2+4*4*9)/(2*4)=(9+-15)/8, q(1)=3, q(2)=-3/4.
S5=b1*(q^5-1)/(q-1).
Если q=3, то b1=1, S5=1*(3^5-1)/(3-1)=(243-1)/(3-1)=242/2=121.
Если q=-3/4, то b1=16, S5=16*((-3/4)^5-1)/(-3/4-1)=16*((-3^5-4^5)/4^5)/(-7/4)=16*(3^5+4^5)*4/(4^5*7)=181/16
1. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, третий член которой равен 54, а пятый равен 6.
2. Первый член геометрической прогрессии (в n) равен 3, знаменатель равен 2. Найдите сумму четырех первых членов этой прогрессии.
Решение: 1.
$$ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ S_6-\\ b_3=b_1\cdot q^2=54;\\ b_5=b_1\cdot q^4=6;\\ \frac{b_5}{b_3}=\frac{b_1\cdot q^4}{b_1\cdot q^2}=q^{4-2}=q^2=\frac{6}{54}=\frac{1}{9};\\ q=\pm\frac{1}{3};\\ a_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{6}{(\pm\frac{1}{3})^4}=6\cdot3^4=6\cdot81=486;\\ a_2=\frac{b_3}{q^2}=\frac{54}{(\pm\frac{1}{3})^2}=54\cdot3^2=54\cdot9=486;\\ $$
$$ q=\pm\frac{1}{3};\\ b_1=486;\\ S_6-\\ S_6=\frac{b_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{486(1-(\pm\frac{1}{3})^6)}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\\ \frac{486(1-\frac{1}{729})}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\frac{486(\frac{729-1}{729})}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\frac{486\cdot\frac{728}{729}}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\frac{2\cdot\frac{728}{3}}{1-(\pm\frac{1}{3})};\\ $$
$$ q=\frac{1}{3}:\\ S_6=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{\frac{2}{3}}=728;\\ q=-\frac{1}{3}:\\ S_6=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{\frac{4}{3}}=\frac{728}{2}=364; $$
2.
$$ b_1=3;\\ q=2;\\ S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{3\cdot(1-2^4)}{1-2}=\\=3\cdot\frac{1-16}{-1}=3\cdot\frac{15}{1}=3\cdot15=45;\\ $$
Знаменатель геометрической прогресси равен 2, сумма ещё первых шести членов равна 315. Найти шестой член этой прогрессии
Решение: Найдём первый член геометрической прогрессии из формулы суммы её первых шести членов :
S6=(b1·(g^n-1))\(g-1)
315=b1·(2^6-1)\(2-1)
b1·63=315
b1=315÷63
b1=5
По формуле n-го члена геометрической прогрессии найдём b6
b6=b1·g^(n-1)
b6=5·2^5=5·32=160
b6=160
В геометрической прогрессии с положительными членами первый член равен 3, третий член равен 48. Найдите знаменатель этой прогрессии
Решение: В геометрической прогрессии с положительными членами первый член равен 3, третий член равен 48. Найдите знаменатель этой прогрессии.Дано:
в1=3 в3=48
Найти q-
Решение:
в3=в1*\( q^{3-1}\)
48=3*\( q^{2} \)
\( q^{2} \)=16
q=4
Ответ:q=4.
Дано;
геометрическая прогреcсия первая=3
третья=48
Решение
геометрическая прогресcия= а3/а1=48/3=16
Ответ: г. п =16
