в геометрической прогрессии первый член равен - страница 4
В геометрической прогрессии первый член равен 256, а знаменатель равен 1/4 найдите 6 член прогрессии
Решение: B1=256;q=1/4 или 0,25
b2=256*0.25=64
b3=256*0.25 в квадрате=16
b4=256*0,25 в кубе=4
b5=256*0,25 в четвертой степени=1
b6=256*0,25 в пятой степени=0,25В геометрической прогрессии произведение третьего и пятого её членов равно 7 1/9. Найдите знаменатель прогрессии и сумму первых семи её членов, если b3*b7=28 4/9
Решение: B₃ * B₅ =7¹/₉ =⁶⁴/₉
B₃* B₇=28 ⁴/₉=²⁵⁶/₉
q- S₇-
B₃=B₁*q²
B₅=B₁*q⁴
B₇=B₁*q⁶
{B₁*q² * B₁*q⁴=⁶⁴/₉ {B₁² * q⁶=⁶⁴/₉
{B₁*q² * B₁*q⁶=²⁵⁶/₉ {B₁² * q⁸=²⁵⁶/₉
B₁²=⁶⁴/₉ : q⁶ =64
9q⁶
64 * q⁸ = 256
9q⁶ 9
64q² =256
9 9
64q²=256
q²=256
64
q²=4
q₁=2
q₂=-2
1) При q=2:
B₁²= 64 = 1
9*2⁶ 9
B₁=¹/₃ или B₁=-¹/₃
B₇=B₁*q⁶
a) При B₁=¹/₃ и q=2 B₇=¹/₃*2⁶=⁶⁴/₃
S₇=B₇q-B₁=⁶⁴/₃ * 2 - ¹/₃ =127 =42 ¹/₃
q-1 2-1 3
б) При B₁=-¹/₃ и q=2 B₇=-¹/₃*2⁶=-⁶⁴/₃
S₇=-⁶⁴/₃ * 2 +¹/₃ =-127 =-42 ¹/₃
2-1 3
2) При q=-2
B₁=¹/₃ или B₁=-¹/₃
a) При B₁=¹/₃ и q=-2:
B₇=¹/₃*(-2)⁶=⁶⁴/₃
S₇=⁶⁴/₃ * (-2) - ¹/₃ =-¹²⁸/₃ - ¹/₃ = -¹²⁹/₃ =129 =14 ³/₉ =14 ¹/₃
-2-1 -3 -3 9
б) При B₁=-¹/₃ и q=-2
B₇=-¹/₃*(-2)⁶=-⁶⁴/₃
S₇=-⁶⁴/₃ * (-2)+¹/₃ =¹²⁸/₃ + ¹/₃ =¹²⁹/₃ =-129 =-14 ¹/₃
-2-1 -3 -3 9
Ответ: 1) при B₁=¹/₃ и q=2 S₇=42 ¹/₃;
2) при B₁=-¹/₃ и q=2 S₇=-42 ¹/₃;
3) при B₁=¹/₃ и q=-2 S₇=14 ¹/₃;
4) при B₁=-¹/₃ и q=-2 S₇=-14 ¹/₃Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что сумма 5 ее первых членов равна 713, а ее знаменатель равен 2
Решение: Запишем выражение для суммы пяти первых членов(по соответствующей формуле):
b1 * (q^n - 1)/(q-1) = S
q - знаменатель прогрессии, b1 - её первый член, а n- количество членов суммирования
Подставляем всё и находим b1:
b1 * (2^5 - 1)/(2-1) = 713
31b1 = 713
b1 = 23
Итак, первый член мы нашли.
Тогда по формуле n-го члена геометрической прогрессии
b4 = b1 * q^3 = 23 * 2^3 = 23 * 8 = 184
B1+b1q+b1q^2+b1q^3+b1q^4=713
b1(1+q+q^2+q^3+q^4)=713
b1=713/(1+2+4+8+16)=713/31=23
b4=b1q^3=23*2^3=23*8=184
Ответ: 184Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяется по формуле Sn=3(в степени n) -1. Найти знаменатель прогрессии и ее первый член
Решение: Sn=(3^n)-1
n=1
S1=3-1=2⇒b1=2
S2=9-1=8
Sn=b1(q^n-1)/q-1
2(q^2-1)/q-1=8
(q^2-1)/q-1=4
q^2-1=4q-4
q^2-4q+3=0
q=1 искл q=3
ответ b1=2 q=3$$ S_n=3^n-1 $$
В общем виде формула суммы геометрической прогрессии имеет вид
$$ S_n= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
Попробуем привести данное выражение к подобной форме
$$ S_n= \frac{1(3^n-1)}{1}=\frac{2(3^n-1)}{3-1} $$
Сравнивая с общей формулой, видим, что
знаменатель q=3;
первый член b₁=2Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии (bn) равна S8=5/32, а знаменатель q= -0,5. Найдите b1.
Решение: Файл.$$ S_8=\frac{5}{32}\;,\; \; q=-0,5=-\frac{1}{2}\\\\S_{n}= \frac{b_1(1-q^{n})}{1-q} \; \; \to \\\\S_{n}(1-q)=b_1(1-q^{n})\\\\b_1= \frac{S_{n}(1-q)}{1-q^{n}} \\\\b_1=\frac{S_8(1-q)}{1-q^8}= \frac{\frac{5}{32}(1+\frac{1}{2})}{1-\frac{1}{2^8}} = \frac{\frac{5}{32}\cdot \frac{3}{2}}{1-\frac{1}{256}} =\\= \frac{5\cdot 3\cdot 256}{32\cdot 2(256-1)} =\frac{5\cdot 3\cdot 4}{255}=\\=\frac{3\cdot 4}{51}=\frac{4}{17} $$
Геометрическая прогрессия состоит из 12 членов. Сумма первых четырех членов равна 1440, а сумма следующих четырех членов равна 90. Найти сумму последних четырех членов этой прогрессии
Решение: $$ b_{n}=b_{1}q^{n-1} $$
можем составить суммы членов:
$$ b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^{2}+b_{1}q^{3}=1440 $$
$$ b_{1}q^{4}+b_{1}q^{5}+b_{1}q^{6}+b_{1}q^{7}=90 $$
вынесем общий множитель и составим систему уравнений:
$$ \left\{ {{b_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=1440} \atop {{b_{1}q^{4}(1+q+q^{2}+q^{3})=90}}} \right. $$
как видим первое можно подставить во второе:
$$ q^{4}1440=90 $$
$$ q^{4}= \frac{90}{1440}= \frac{1}{16} $$
уравнение для последних четырех членов:
$$ b_{9}+b_{10}+b_{11}+b_{12}=b_{1}q^{8}+b_{1}q^{9}+b_{1}q^{10}+b_{1}q^{11} $$
также вынесем общий множитель:
$$ b_{1}q^{8}(1+q+q^{2}+q^{3})=b_{1}(q^{4})^{2}(1+q+q^{2}+q^{3}) $$
$$ b_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=1440 $$
$$ q^{4}=\frac{1}{16} $$ Получаем:
$$ b_{9}+b_{10}+b_{11}+b_{12}=1440 (\frac{1}{16})^{2}= \frac{90}{16}= \frac{45}{8} $$Найти четыре числа, что образуют геометрическую прогрессию, первый член которой меньше за третий на 24, а другой больше от четвёртого на 8.
Решение: Геометрическая прогрессия, пусть первый член b1 третий b3
по условию
{b3-b1=24
{b2=b4+8
b3=b1q^2
b2=b1q
b4=b1q^3
{b1q^2-b1=24
{b1q=b1q^3+8
{b1 (q^2-1)=24
{b1(q-q^3)=8
{24/q^2-1 = 8/q-q^3
24/(q-1)(q+1)=8/-q(q-1)(q+1)
-24q=8
q=-1/3
Значит b1=24/1/9 - 1= 24/-8/9 = -27
b2=-27*-1/3 = 9
b3=-27*1/9=-3
b4=-27*-1/27=1Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии:
а) 3; 6;.
б) -5; -2,5.
в) 1; -2.
Решение: Элементы геометрической прогрессии:
a(i) = a(0)*k, где k - коэффициент прогрессии(не уверен, что это так называется, но сути не меняет)
1) a(0) = 3; k = 2
Т. е. сумма первых шести = 3 + 6 + 3*4 + 3*8 + 3*16 + 3*32= 3+6+12+24+48+96=189
2) a(0)=-5, k = 1/2, тогда сумма = -5 - 5/2 - 5/4 - 5/8 - 5/16 - 5/32 = -315/32
3) a(0) = 1, k= -2, тогда сумма = 1 + 1(-2) + 1*4 + 1*(-8) + 1*16 + 1*(-32) = -21Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии если известны 2 ее члена b2=-8,b8=-1/8
Решение: b2=b1q, b8=b1q^71) b1q=-8
Система: b1q^7=-1/8 (решаем способом деления)
___________
1/q^6=64
64q^6=1
q^6=1/64
q=1/2
2)подставляем в уравнение:
1/2 b1=-8
b1=-16
3)Находим все первые 8 членов:
b1=-16 b4=-2 b7=-1/4
b2=-8 b5=-1 b8=-1/8
b3 -4 b6=-1/2
4)Находим сумму всех 8членов:
-16-8-4-2-1-1/2-1/4-1/8 = -31-7/8 = -248/8-7/8=-255/8
Ответ:-255/8= -31(целая) и 7/8
найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что b2=0,04 и b4=0,16
Решение:
