в геометрической прогрессии первый член равен - страница 6
Запишите первые 11 членов геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 1,5 а шестой член равен 2
Решение:А6=a1*q^5
a1*(3/2)^5=2
a1=2:243/32=2*32/243=64/243
a2=64/243*3/2=32/81
a3=32/81*3/2=16/27
a4=16/27*3/2=8/9
a5=8/9*3/2=4/3
a6=2
a7=2*3/2=3
a8=3*3/2=9/2
a9=9/2*3/2=27/4
a10=27/4*3/2=81/8
a11=81/8*3/2=243/16
$$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
b₆=b₁·q⁵
q=1,5=3/2
2=b₁·(3/2)⁵ ⇒ b₁=2/(3/2)⁵=2⁶/3⁵=64/243
b₁=64/243
b₂=(64/243)·(3/2)=32/81
b₃=(32/81)·(3/2)=16/27
b₄=(16/27)·(3/2)=8/9
b₅=4/3
b₆=2
b₇=3
b₈=9/2
b₉=27/4
b₁₀=81/8
b₁₁=243/16
1. Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии S8=85/64, а знаменатель q=-1/2. Найдите b1.
2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии Sn=25 целых 34/81, ее первый член b1=9 и n-ый член bn=64/81. найдите число n.
3. для некоторой геометрической прогрессии известно что S2=4 и S3=13. найдите S5.
4. сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. вычислите сумму первых пяти членов этой прогрессии.
Решение: 1. S8=b1*(1-q^8)/1-q
(b1*0(1-1/256)/1+0.5)=85/64(b1*255/256)/1.5=85/64(255/256)*b1=(85*1.5)/64b1=(127.5*256)/(64*255)
b1=2
3. S2=b1+b2=b1+b1*q=b1*(1+q), b1*(1+q)=4, b1=4/(1+q);
S3=b1+b2+b3=b1+b1*q+b1*q^2=b1*(1+q+q^2), b1*(1+q+q^2)=13, b1=13/(1+q+q^2);
4/(1+q)=13/(1+q+q^2), 4+4*q+4*q^2=13+13*q, 4*q^2-9*q-9=0, q=(9+-sqrt(9^2+4*4*9)/(2*4)=(9+-15)/8, q(1)=3, q(2)=-3/4.
S5=b1*(q^5-1)/(q-1).
Если q=3, то b1=1, S5=1*(3^5-1)/(3-1)=(243-1)/(3-1)=242/2=121.
Если q=-3/4, то b1=16, S5=16*((-3/4)^5-1)/(-3/4-1)=16*((-3^5-4^5)/4^5)/(-7/4)=16*(3^5+4^5)*4/(4^5*7)=181/16
1. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, третий член которой равен 54, а пятый равен 6.
2. Первый член геометрической прогрессии (в n) равен 3, знаменатель равен 2. Найдите сумму четырех первых членов этой прогрессии.
Решение: 1.
$$ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ S_6-\\ b_3=b_1\cdot q^2=54;\\ b_5=b_1\cdot q^4=6;\\ \frac{b_5}{b_3}=\frac{b_1\cdot q^4}{b_1\cdot q^2}=q^{4-2}=q^2=\frac{6}{54}=\frac{1}{9};\\ q=\pm\frac{1}{3};\\ a_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{6}{(\pm\frac{1}{3})^4}=6\cdot3^4=6\cdot81=486;\\ a_2=\frac{b_3}{q^2}=\frac{54}{(\pm\frac{1}{3})^2}=54\cdot3^2=54\cdot9=486;\\ $$
$$ q=\pm\frac{1}{3};\\ b_1=486;\\ S_6-\\ S_6=\frac{b_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{486(1-(\pm\frac{1}{3})^6)}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\\ \frac{486(1-\frac{1}{729})}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\frac{486(\frac{729-1}{729})}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\frac{486\cdot\frac{728}{729}}{1-(\pm\frac{1}{3})}=\frac{2\cdot\frac{728}{3}}{1-(\pm\frac{1}{3})};\\ $$
$$ q=\frac{1}{3}:\\ S_6=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{\frac{2}{3}}=728;\\ q=-\frac{1}{3}:\\ S_6=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}\cdot728}{\frac{4}{3}}=\frac{728}{2}=364; $$
2.
$$ b_1=3;\\ q=2;\\ S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{3\cdot(1-2^4)}{1-2}=\\=3\cdot\frac{1-16}{-1}=3\cdot\frac{15}{1}=3\cdot15=45;\\ $$
Знаменатель геометрической прогресси равен 2, сумма ещё первых шести членов равна 315. Найти шестой член этой прогрессии
Решение: Найдём первый член геометрической прогрессии из формулы суммы её первых шести членов :
S6=(b1·(g^n-1))\(g-1)
315=b1·(2^6-1)\(2-1)
b1·63=315
b1=315÷63
b1=5
По формуле n-го члена геометрической прогрессии найдём b6
b6=b1·g^(n-1)
b6=5·2^5=5·32=160
b6=160
В геометрической прогрессии с положительными членами первый член равен 3, третий член равен 48. Найдите знаменатель этой прогрессии
Решение: В геометрической прогрессии с положительными членами первый член равен 3, третий член равен 48. Найдите знаменатель этой прогрессии.Дано:
в1=3 в3=48
Найти q-
Решение:
в3=в1*\( q^{3-1}\)
48=3*\( q^{2} \)
\( q^{2} \)=16
q=4
Ответ:q=4.
Дано;
геометрическая прогреcсия первая=3
третья=48
Решение
геометрическая прогресcия= а3/а1=48/3=16
Ответ: г. п =16
