прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 6
Найдите сумму 6 первых членов геометрической прогрессии если b2=4 иb4=1
Решение: B2=4,b4=1, s6=?
b4=b2.qˇ2,qˇ2=b4/b2, qˇ2=1/4, q=1/2
s6=b1.(qˇ6-1)/q-1
b1=b2/q=4/(1/2)=8
s6=8.(1/64-1)/(1/2-1)=8.(-63/64)/(-1/2)=
=(-63/8)/(-1/2)=(63/8).2=63/4(bn) - геометрическая прогрессия.
Дано:
b2 = 4
b4 = 1
Найти: S6 -
Решение:
Sn = (bn*q - b1) / (q-1)
bn = b1 * qⁿ-¹
q = b2 : b1
b4 = b2 * q²
q² = b4 : b2
q² = 1 : 4 = 0,25
q = √0,25 = 0,5
b2 = b1 * q
b1 = 4 : 0,5 = 8
b6 = b4 * q² = 1 * 0,25 = 0,25
S6 = (0,25*0,5 - 8) / (0,5 - 1)
S6 = (-7,875) / (-0,5) = 15,75
Ответ: S6 = 15,75.
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, третий член которой равен 3, а пятый равен 27
Решение: найдем четвертый член геометрической прогрессии: $$ b_{4} = \sqrt{b_{3}} * b_{5} \\ b_{4} = 9 $$знаменатель прогрессии: $$ \frac{b_{4}}{b_{3}} = 3$$
первый член прогрессии: $$ \frac{1}{3} $$
тогда сумма равна:
$$ S_{5} = \frac{b_{1}*(q^{5}-1)}{q-1} $$
$$ S_{5} = \frac{\frac{1}{3} * (3^{5}-1)}{3-1} $$
$$ S_{5} = \frac{\frac{1}{3}*242}{2} $$
$$ S_{5} = \frac{121}{3} = 40\frac{1}{3} $$
Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что b3=0,05 и b5=0,45
Решение: $$ b_3=0,05\; ;\; \; b_5=0,45\\\\b_5=b_3\cdot q^2\; \; \to \; \; q^2= \frac{b_5}{b_3} = \frac{0,45}{0,05} =9\; \; \to \; \; q=\pm 3\\\\1)\; \; \; q=3\\\\b_3=b_1\cdot q^2\; \; \to \; \; b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{0,05}{9}=\frac{5}{900}=\frac{1}{180}\\\\S_8=\frac{b_1(1-q^8)}{1-q}= \frac{\frac{1}{180}(1-3^8)}{1-3} = \frac{(-6560)}{-2\cdot 180}=\frac{328}{18}=\frac{164}{9}\\\\2)\; \; \; q=-3\\\\b_1=\frac{b_3}{q^2}= \frac{0,05}{9}=\frac{1}{180} $$
$$ S_8= \frac{\frac{1}{180}\cdot (1-(-3)^8)}{1-(-3)}= \frac{-6560}{180\cdot 4}= \frac{164}{18}= \frac{82}{9} $$Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии bn, если b1=5 q=2
Решение: 1 способ: выписываем прогрессию.5,10,20,40,80,160,320,640.
Складываем 7 первых членов. 635 - ответ.
2 способ: по формуле S=(b1*(q^7-1))(q-1) = 5*(2^7-1)/(2-1)=5*127/1=635.Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии (bn), если: b3=9; b5=1
Решение: 1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии
b₅=b₁*q⁴
b₃=b₁*q² (1)
b₅/b₃=q²
1/9=q²
q=1/3 или q=1/3
Из уравнения (1) найдем b₁
9=b₁*(1/9)
b₁=81
Теперь найдем сумму пяти членов прогрессии.
S₅=b₁(q⁵-1)/(q-1)
при q=1/3 S₅=81(1/243-1)/(1/3 -1)=81*(1-1/243)/(1-1/3)=81*242/243*3/2=
121
(Можно было посчитать впрямую без формулы: 81+27+9+3+1=121)
При q=-1/3
или применяем формулу. или считаем впрямую. Члены прогрессии в этом случае: 81; -27; 9; -3; 1.
81-27+9-3+1=61.
или S₅=81(-1/243-1)/(-1/3 -1)=81*(1+1/243)/(1+1/3)=81*244/243*3/4=61.
Ответ: 121 или 61.Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии, если b3=4, q=2, n=7.
Решение: $$ b_3=4\;,\; q=2\;,\; n=7\\\\b_3=b_1q^2=b_1\cdot 4=4\; \; \to \; \; b_1=1\\\\S_7=\frac{b_1(1-q^7)}{1-q}= \frac{1(1-2^7)}{1-2} = \frac{-127}{-1} =127 $$Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии в которой b1=-4, q=0,5
Решение: Решаем по формуле нахождение формулы геометрической прогрессии:
Sn = (b1(q^n-1))/q-1;
S5 = (-4(0,5^5-1))/0,5-1;
S5 = -7,75
S5=-7,75
Найдите сумму первых 7 членов геометрической прогрессии.
a1=3, q=3
Решение: Сумма арифметической прогрессии находится по формуле: $$ S_{n} = \frac{2a_{1}+(n-1)d}{2} *n $$, где Sn — сумма n членов арифметической прогрессии, a1 — первый член арифметической прогрессии, а d — разница (то же самое, что и q).
Находим по формуле:
$$ S_{7} = \frac{2*3+(7-1)*3}{2} *7= \frac{6+18}{2} *7= \frac{24}{2} *7=12*7=84 $$
Ответ: 84
Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии если b6=25, b8=9.
Решение: $$ b_6=25,\; b_8=9\\\\ \frac{b_8}{b_6} = \frac{b_1q^7}{b_1q^5} =q^2\; \; \to \; \; q^2= \frac{9}{25} =(\frac{3}{5})^2\; \; \to \\\\q=\pm \frac{3}{5}\\\\b_1=\frac{b_6}{q^5}=\frac{25}{\pm (\frac{3}{5})^5}=\pm \frac{5^7}{3^5}=\pm \frac{3125}{243}\\\\Esli\; b_1=-\frac{3125}{243},\; to\; q=-\frac{3}{5}.\\\\Esli\; b_1=+\frac{3125}{243},\; to\; q=+\frac{3}{5}\\\\S_6= \frac{b_1-b_6q}{1-q}\\\\1)S_6 = \frac{\frac{3125}{243}-25\cdot \frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}} = \frac{5\cdot 3125-25\cdot 3\cdot 243}{243\cdot 2} = $$
$$ = \frac{-2600}{486} =-5 \frac{170}{243} \\\\2)\; \; S_6= \frac{-\frac{3125}{243}+\frac{3}{5}\cdot 25}{1+\frac{3}{5}}= \frac{2600}{1944}=1\frac{656}{1944} $$Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии {bn}:
1) b1=125, b3=5;
Решение: $$ b_1=125 $$
$$ b_3=5 $$
$$ b_n=b_1q^{n-1} $$
$$ b_3=b_1q^2 $$
$$ 5=125*q^2 $$
$$ q^2=5:125 $$
$$ q^2=\frac{1}{25} $$
откуда $$ q_1=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}=0.2 $$
$$ q_2=-\sqrt{\frac{1}{25}}=-0.2 \\ S_n=b_1*\frac{q^n-1}{q-1} $$ в первом случае:
$$ S_6(1)=125*\frac{0.2^6-1}{0.2-1}=-156.24 $$
Во втором
$$ S_6(2)=125*\frac{(-0.2)^6-1}{-0.2-1}=-104.16 $$
ответ: -156.24 (если знаменатель прогрессии равен 0.2)
-104.16 (если знаменатель прогрессии равен -0.2)
