прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 8
Геометрическая прогрессия состоит из 12 членов. Сумма первых четырех членов равна 1440, а сумма следующих четырех членов равна 90. Найти сумму последних четырех членов этой прогрессии
Решение: $$ b_{n}=b_{1}q^{n-1} $$
можем составить суммы членов:
$$ b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^{2}+b_{1}q^{3}=1440 $$
$$ b_{1}q^{4}+b_{1}q^{5}+b_{1}q^{6}+b_{1}q^{7}=90 $$
вынесем общий множитель и составим систему уравнений:
$$ \left\{ {{b_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=1440} \atop {{b_{1}q^{4}(1+q+q^{2}+q^{3})=90}}} \right. $$
как видим первое можно подставить во второе:
$$ q^{4}1440=90 $$
$$ q^{4}= \frac{90}{1440}= \frac{1}{16} $$
уравнение для последних четырех членов:
$$ b_{9}+b_{10}+b_{11}+b_{12}=b_{1}q^{8}+b_{1}q^{9}+b_{1}q^{10}+b_{1}q^{11} $$
также вынесем общий множитель:
$$ b_{1}q^{8}(1+q+q^{2}+q^{3})=b_{1}(q^{4})^{2}(1+q+q^{2}+q^{3}) $$
$$ b_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=1440 $$
$$ q^{4}=\frac{1}{16} $$ Получаем:
$$ b_{9}+b_{10}+b_{11}+b_{12}=1440 (\frac{1}{16})^{2}= \frac{90}{16}= \frac{45}{8} $$Найти четыре числа, что образуют геометрическую прогрессию, первый член которой меньше за третий на 24, а другой больше от четвёртого на 8.
Решение: Геометрическая прогрессия, пусть первый член b1 третий b3
по условию
{b3-b1=24
{b2=b4+8
b3=b1q^2
b2=b1q
b4=b1q^3
{b1q^2-b1=24
{b1q=b1q^3+8
{b1 (q^2-1)=24
{b1(q-q^3)=8
{24/q^2-1 = 8/q-q^3
24/(q-1)(q+1)=8/-q(q-1)(q+1)
-24q=8
q=-1/3
Значит b1=24/1/9 - 1= 24/-8/9 = -27
b2=-27*-1/3 = 9
b3=-27*1/9=-3
b4=-27*-1/27=1Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии:
а) 3; 6;.
б) -5; -2,5.
в) 1; -2.
Решение: Элементы геометрической прогрессии:
a(i) = a(0)*k, где k - коэффициент прогрессии(не уверен, что это так называется, но сути не меняет)
1) a(0) = 3; k = 2
Т. е. сумма первых шести = 3 + 6 + 3*4 + 3*8 + 3*16 + 3*32= 3+6+12+24+48+96=189
2) a(0)=-5, k = 1/2, тогда сумма = -5 - 5/2 - 5/4 - 5/8 - 5/16 - 5/32 = -315/32
3) a(0) = 1, k= -2, тогда сумма = 1 + 1(-2) + 1*4 + 1*(-8) + 1*16 + 1*(-32) = -21Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии если известны 2 ее члена b2=-8,b8=-1/8
Решение: b2=b1q, b8=b1q^71) b1q=-8
Система: b1q^7=-1/8 (решаем способом деления)
___________
1/q^6=64
64q^6=1
q^6=1/64
q=1/2
2)подставляем в уравнение:
1/2 b1=-8
b1=-16
3)Находим все первые 8 членов:
b1=-16 b4=-2 b7=-1/4
b2=-8 b5=-1 b8=-1/8
b3 -4 b6=-1/2
4)Находим сумму всех 8членов:
-16-8-4-2-1-1/2-1/4-1/8 = -31-7/8 = -248/8-7/8=-255/8
Ответ:-255/8= -31(целая) и 7/8
найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что b2=0,04 и b4=0,16
Решение:
