в геометрической прогрессии первый член равен - страница 8
Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, если b2=6,b4=24
Решение: Система решается методом деления.
1) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), у которой b1=6, q=1/3
2) Найдите сумму 2х+1+(1/2х)+.+(1/32х^5)
Решение: 1)b1=6 q=1/3
b5=b1*q^4
b5=6*1/81=2/27
S5=b1*(1-q^5)/(1-q)=6*(1-1/243):(1-1/3)=6*242/243*3/2=8 26/27
2)b1=2x b2=1 q=b2/b1=1/2x
bn=1/32x^5
1/32x^5=2x*1/(2x)^n-1
1/(2x)^5=1/(2x)^n-2
n-2=5
n=7
S7=b1*(1-q^7)/(1-q)
S7=2x*(1-1/128x^7):(1-1/2x)=2x*(128x^7 -1)/128x^7 :(2x-1)/2x=
=2x*(128x^7 -1)*2x/128x^7*(2x-1)=(128x^7-1)/32x^5*(2x-1)=
=(2x-1)(64x^6+32x^5+16x^4+8x^3+4x²+2x+1)/32x^5*(2x-1)=
=(64x^6+32x^5+16x^4+8x^3+4x²+2x+1)/32x^5
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если b1+b5=820, а знаменатель q=3
Решение: $$ b_{1} + b_{1} *q^{4} =820 $$
$$ b_{1} + b_{1} *3^{4} =820 $$
$$ b_{1} + b_{1} *81 =820 $$
$$ 82 b_{1} =820 $$
$$ b_{1} =820:82 $$
$$ b_{1} =10 $$
$$ S_{6} = \frac{ b_{1} *(1- q^{6} )}{1-q} $$
$$ S_{6} = \frac{10*(1- 3^{6} )}{1-3} = \frac{ 10 *(1- 729 )}{1-3} =3640 $$Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии(Bn), если:B7=72.9, q=1,5
Решение: b7=q^6*b1S=(b1-bnq)/(1-q)=(bn/q^(n-1)-bnq))/(1-q)=
=bn/(1-q)(q^(1-n)-q)=72.9*(1,5-(1,5)^(-6))*2=
=145,8*(1,5-(1,5)^(-6))~145,8*1,41=205,9
Вспоминаем формулу n-го члена геометрической прогресси :
это Sn= bn*q- b1 \ q-1
дальше ищем b1
b6= 72,9\1,5=48,6 b5=48,6\1,5=32,4 b4=32,4\1,5=21,6 b3= 21,6\1,5=14,4 b2=14,4\1,5=9,6
b1=9,6\1,5=6,4
подставляем все результаты в формулу
S7=b7*1,5-b1\q-1
S7=72,9*1,5-6,4\1,5-1=205,9
Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если b2 = 0,08 b b4 = 1,28.
Решение: b[2]=0.08b[4]=1.28
b[n]=b[1]*q^(n-1)
b[4]=b[2]*q^2
q^2=b[4]/b[2]
q^2=1.28/0.08=16
q=4 или q=-4
в первом случае
b[1]=b[2]/q
b[1]=0.08/4=0.02
S[n]=b[1]*(q^n-1)/(q-1)
S[6]=0.02*(4^6-1)/(4-1)=27.3
во втором случае
b[1]=b[2]/q
b[1]=0.08/(-4)=-0.02
S[n]=b[1]*(q^n-1)/(q-1)
S[6]=-0.02*((-4)^6-1)/((-4)-1)=16.38
ответ: 27.3 или 16.38
Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии ( Cn) если:
с1=5
с3=80
Решение: C₃=c₁*q²
80=5*q²
q²=80/5
q²=16
q₁=4
q₂= -4
При q=4
1 способ:
c₁=5
c₂=5*4=20
c₃=80
c₄=80*4=320
c₅=320*4=1280
S₅=5+20+80+320+1280=1705
2 способ:
S₅=(c₁-c₅*q)/(1-q)=(5 - 1280*4)/(1-4)=(5-5120)/(-3)=1705
При q= -4
1 способ:
c₁=5
c₂=5*(-4)= -20
c₃=80
c₄=80*(-4)= -320
c₅= -320*(-4)=1280
S₅=5-20+80-320+1280=1025
2 способ:
S₅=(5-1280*(-4))/(1+4)=(5+5120)/5=1025
Ответ: 1705 или 1025.Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии если b2=9,q=-1/3
Решение: $$ \\b_n = b_1 * q^{n-1}\\ \\b_2 = b_1*q\\ \\b_1 = \frac{b_2}{q}\\ \\b_1 = \frac{9}{-\frac{1}{3}} = -27\\ \\b_6 = b_1 * q^5\\ \\b_6 = -27 * (-\frac{1}{3})^5 = -3^3 * (-\frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\\ \\S_n = \frac{b_n*q-b_1}{q-1} ; q eq 1\\ \\S_6 = \frac{b_6*q-b_1}{q-1};q eq 1\\ $$
$$ \\S_6 = \frac{\frac{1}{9} * (-\frac{1}{3} - (-27)}{-\frac{1}{3} - 1}\\ = \\ = \frac{-\frac{1}{27} + 27}{-\frac{4}{3} }= (-\frac{1}{27} + 27)* - \frac{3}{4} =\\ = -\frac{1}{27} * (-\frac{3}{4}) + 27*(-\frac{3}{4}) = \\ = \frac{1}{36} - \frac{81}{4} = -(\frac{729}{36} - \frac{1}{36}) = - 20 \frac{8}{36} = - 20\frac{2}{9}\\ $$
Помогите с геометрической прогрессией.(Ответ должен получиться 121). Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии (bn), если b3=9;b5=1
Решение: По свойству геометрической прогрессии находить b4
|b4|=корень квадратный b3*b5
получаем b4=3 и -3
находим знаменатель прогрессии q=b3/b4
получаем 3 и -3
найдем b1 из формулы n-го члена геометрической прогрессии
получаем 1
сумма геометрической прогрессии находится по формуле
Sn=b1(q^n -1)/q-1
итого 1211) найдите девятый член геометрической прогрессии 81,27,9,
2) найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии(bn)с положительными членами если известно что b2=64 и b6=4
Решение: 1)$$ b₁=81, q=\frac{27}{81}=\frac{1}{3} \\ b_9=81*(\frac{1}{3})^8=\frac{1}{81} $$2) $$ \frac{b_6}{b_2}=\frac{b_1q^5}{b_1q}=q^4=\frac{4}{64} \\ q^4=\frac{1}{16} $$ 1) $$ q=\frac{1}{2} $$
b₁=64:1/2=128
$$ S_8=\frac{128((\frac{1}{2})^8-1)}{\frac{1}{2}-1}=\frac{128*(-\frac{255}{256})}{-\frac{1}{2}}=255 $$
2) $$ q=-\frac{1}{2} $$
b₁=64:(-1/2)=-128
$$ S_8=\frac{-128((-\frac{1}{2})^8-1)}{-\frac{1}{2}-1}=\frac{-128*(-\frac{255}{256})}{-\frac{3}{2}}=-\frac{255}{3}=-85 $$
1. Дана геометрическая прогрессия. Найдите b9, если b1 = - 24, q = 0,5.
2. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен - 9, а знаменатель равен - 2.
3. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии 36; - 18; 9…
4. Между числами 6 и 486 вставьте такие три числа, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
5. найдите сумму восьми членов геометрической прогрессии, если b2=1,2. b4=4,8
Решение: 1. b9=b1*q^(n-1)=-24*0.5^8=-24=1/256=-24/256=-3/32
2. b1=-9
q=-2
s6=(b1(q^n-1))/(q-1)=(-9(64-1))/(-2-1)=(-9*63)/(-3)=567/3=189
3. b1=36, b2=-18; b3=9
q=b2/b1=-18/36=-1/2
s5=(b1(q^n-1))/(q-1)=(36(-1/32-1))/(-1/2-1)=(36*33/32)/(3/2)=297/8 *2/3=22.75
4. b1=6; b5=486
b5=b1*q^(n-1)=486
q^(n-1)=486/6=81
q^4=81
q=+-3
6; 18; 54; 162; 486
6; -18; 54; -162; 486
5. b2=1.2; b4=4.8
b2=b1*q=1.2
b4=b1*q^3=4.8
(b1*q)/(b1*q^3)=0.25
1/q^2=0.25
q^2=4
q=+-2
b1=b2/q=1.2/(+-2)=+-0.6
