в геометрической прогрессии первый член равен - страница 10
сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 168, а сумма следующих трех членов равна 21. Найдите сумму первых пяти членов и составьте формулу n-ого члена
Решение: a1 + a2 + a3 = 168a4 + a5 + a6 = 21
Очевидно, что последовательность убывающая.
a2 = a1*q
a3 = a1*q^2
a4 = a1*q^3
a5 = a1*q^4
a6 = a1*q^5
a1 + a1*q + a1*q^2 = 168 (*)
a1*q^3 + a1*q^4 + a1*q^5 = 21
a1* (q^3 + q^4 + q^5) = 21
a1 = 21 / (q^3 + q^4 + q^5)
Подставим в (*):
21 * (1 + q + q^2) / (q^3 + q^4 + q^5) = 168
(1+q + q^2) = 8 (q^3 + q^4 + q^5)
(1+q + q^2) = 8 (1 + q + q^2) * q^3 | : (1 + q + q^2)
1 = 8 * q^3
q^3 = 1/8
q = 1/2
a1 + a1*q + a1*q^2 = 168, подставим q = 1/2
a1 * (1 + 1/2 + 1/4) = 168 | *4
a1 * (4 + 2 + 1) = 168 * 4
a1 * 7 = 7 * 24 * 4
a1 = 24 * 4 = 96
a2 = 96/2 = 48
a3 = 24
a4 = 12
a5 = 6
a6 = 3 и т. д.
an = a(n-1) * 1/2
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 168 + 21 - a6 = 189 - 3 = 186
Ответ: Сумма первых пяти членов равна 186, формула н-ного члена an = a(n-1) * 1/2.
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равна 221. Третий член прогрессии больше первого на 136. Найдите сумму первых шести членов прогрессии
Решение:
Пусть первый член прогрессии равен х, а знаменатель равен у. Тогда второй член прогрессии равен х*у, а третий х*у².Получим систему уравнений х+ху+ху²=221; ху²-х=136. Если уравнения вычесть почленно, то получится 2х+ху=85. Отсюда выразим х=85/(2+у) и подставим во второе уравнение х*(у²-1)=136. После всех преобразований получим квадратное уравнение 85у²-136у-357=0. Решив его найдем знаменатель и первый член прогрессии. Сумму вычисляем по формуле суммы, или просто посчитаем все 6 первых членов и сложим их. Писать все подробно слишком долго. Первый член равен 17, знаменатель 3.
Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10,5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии
Решение: Q > 1
B₁+B₂+B₃=10.5
B₁² * B₂² * B₃²=729
S₇-
B₂=B₁*q
B₃=B₁*q²
{B₁+B₁*q+B₁*q²=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5
{B₁² * B₂² * B₃²=729 {(B₁*B₂*B₃)²=27² {B₁*B₂*B₃=27
{B₁(1+q+q²)=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5
{B₁ * B₁*q * B₁*q²=27 {B₁³*q³=3³ {B₁*q=3
B₁=3/q
(3/q)*(1+q+q²)=10.5
3(1+q+q²)=10.5q
3+3q+3q²=10.5q
3q²-7.5q+3=0
q²-2.5q+1=0
D=(-2.5)²-4=6.25-4=2.25=1.5²
q₁=(2.5-1.5)/2=1/2=0.5 не подходит, так как q=0.5 <1
q₂=(2.5+1.5)/2=4/2=2
B₁=3/2=1.5
B₇=B₁ * q⁶=1.5 * 2⁶=1.5 * 64=96
S₇= B₁ - B₇*q = 1.5 - 96*2 =1.5-192 = -190.5 = 190.5
1-q 1-2 -1 -1
Ответ: 190,5Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10.5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
Решение: Пусть эти первые члены b/q, b, bq.
b/q + b + bq = 10.5
(b/q)^2 b^2 (bq)^2 = 729
b(1+q+q^2) = 10.5q
b^6 = 729 b = 3
3(1+q+q^2) = 10.5q
1+q+q^2 = 3.5q
q^2 - 2.5q + 1 = 0
2q^2 - 5q + 2 = 0
D = 25 - 4*2*2 = 9
q = (5 +- 3) / 4
q = 2 или q = 1/2
Прогрессия возрастающая, q = 2
Первый член прогрессии b/q = 3/2; знаменатель q = 2
Сумма первых семи членов
3/2 * (2^7 - 1)/(2 - 1) = 381/2решение
1)в1+в2+в3=10.5
2)(в1)^2*(в2)^2*(в3)^2=729==> в1*в2*в3=корень729=27(-27 не подходит, т. к. прогрессия возрастающая)==>
в1^3*д^3=27
в1*д=3-второй член прогрессии
в1+в1*д+в1*д^2=10.5
в1+3+в1*д^2=10.5
в1+в1*д^2=7.5
а)в1(1+д^2)=7/5
б)в1*д=3==>1+д^2=2.5д
д1=2 и д2=0.5(п. к.)
тогда в1=1.5; в2=3 и в3=6
сумма первых семи членов =1.5(2^7-1)/(2-1)=190.5Известны два члена геометрической прогрессии: b3=12.b4=24. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.
Решение: Если это геом. прогрессия, то предыдущий член умножается на какое-то число и получается след. член прогрессии. Найдем это число, достаточно b4/b3=24/12=2Найдем второй член: 12/2=6
Первый член: 6/2=3
Пятый: 24*2=48
Шестой: 48*2=96
Седьмой: 96*2=192
Восьмой: 192*2=384
Девятый: 384*2=768
Десятый: 768*2=1536
Сумма первых десяти членов: 3+6+12+24+48+96+192+384+768+1536=3069
Ответ: 3069
Сумма двух крайних первых шести членов геометрической прогрессии равна 33, а сумма средних членов 12. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии.
Решение: Геометрическая прогрессия это последовательность чисел где каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число (q) называемое знаменателем.
===
формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
===
a(n) = a1q^(n − 1)
===
q^(n − 1)=a(n)/а1q=корень степени (n − 1) из [a(n)/а1]q=корень степени (2 − 1) из [36/54] =корень степени (1) из [0,67] = 0,6667тогда1) Sn=a1*(q^6-1)/(q-1)S6=54*(0,6667^6-1)/(0,6667-1)=148
===
2) a(n) = a1q^(n − 1)а(3)=54*0,6667^(3 − 1)=24а(4)=54*0,6667^(4 − 1)=16а(5)=54*0,6667^(5 − 1)=11а(6)=54*0,6667^(6 − 1)=7
===
Тогда: а1+а2+а3+а4+а5+а6=54+36+24+16+11+7=148
Ответ: сумма первых шести членов геометрической прогрессииравна 148
===
Разность между шестым и четвертым членами геометрической прогрессии равна 72, а между пятым и третьим равна 36. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.
765 684 823 129
Решение: Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:Sn = b₁·(q^n - 1)/(q - 1)
Для 8 членов геометрической прогрессии
S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)
Формула для n-го члена геометрической прогрессии:
bn = b₁·q^(n-1)
n = 6 b₆ = b₁·q⁵
n = 4 b₄ = b₁·q³
n = 3 b₃ = b₁·q²
По условию:
b₆ - b₄ = 72
b₃ - b₁ = 9
или
b₁·q⁵ - b₁·q³ = 72
b₁·q² - b₁ = 9
Преобразуем эти выражения
b₁·q³·(q² - 1) = 72 (1)
b₁·(q² - 1) = 9 (2)
Разделим (1) на (2) и получим
q³ = 8, откуда
q = 2
Из (2) найдём b₁
b₁ = 9/(q² - 1) = 9/(4 - 1) = 3
Подставим q = 2 и b₁ = 3 в S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)
S₈ = 3·(2⁸ - 1)/(2 - 1) = 3·(256 - 1) = 765
Ответ: S₈ = 765
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448,112,28,
Найдите сумму первых четырех её членов.
Решение: Находим знаменатель прогрессии:
$$ q= \frac{b_2}{b_1}= \frac{112}{448}= \frac{1}{4} $$
Находим заданную сумму:
$$ S_n= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} \\\ S_4= \frac{b_1(q^4-1)}{q-1} \\\ S_4= \frac{448\cdot(( \frac{1}{4} )^4-1)}{\frac{1}{4}-1} = \frac{448\cdot( \frac{1}{256} -1)}{\frac{1}{4}-1} = \frac{448\cdot(1- \frac{1}{256} )}{1-\frac{1}{4}} = \\\ = \frac{448\cdot \frac{255}{256} }{\frac{3}{4}} = 448\cdot \frac{255}{256}\cdot\frac{4}{3} =448\cdot \frac{85}{64}=7\cdot 85=595 $$
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии 1029,147,21. Найдите сумму первых 4 ее членов
Решение: Дано: $$ b_1=1029; b_2=-147 $$
Найти: $$ S_4 $$
Решение
Знаменатель:
$$ d= \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{147}{1029} =-0.14 $$
Сумма 4 членов:
$$ S_n= \left \{ {{ \dfrac{b_1(1-d^n)}{1-d}, q eq 1 } \atop {b_1*n, q=1}} \right. \to S_4=900 $$Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии -1024; -256 ;-64. найдите сумму первых 5 ее членов
Решение: Q=b2:b1
q=-256:(-1024)
q=0,25
Формула:
$$ Sn=\frac{-1024(0,25^{5} -1) }{-0,75} $$=.
или лучше так:
$$ S_{n} = \frac{b_{1} -b_{n}q }{1-q} $$
$$ b_{n} =b_{1} *q^{n-1} $$
$$ b_{5} =b_{1} *q^{4} b_{5} =-1024*0,25^{4} =-1024* (\frac{1}{4} ) ^{4} =-1024* \frac{1}{256}=-4. $$
$$ S_{5} = \frac{b_{1} -b_{5}q }{1-q} S_{5} = \frac{-1024-(-4*0,25)}{1-0,25} = \frac{-1023}{0,75} =-1364. $$
Ответ: $$ S_{5} =-1364 $$.Пользуйся формулой суммы геометрической прогрессии. Если по ней трудно, то найди q=b2÷b1
а потом b3*q
и так до 5, потом все сложи
