прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 12

  • Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 91. если к этим членам соответственно прибавить 25,27,1, то получим три числа составляющие геометрическую прогрессию. найдите эти три числа.


    Решение: Пусть имеем геометрическую прогрессию, тогда
    b1+b2+b3= $$ b_{1}+b_{1}*q+b_{1}* q^{2}=91 $$

    Пусть получим новую арифметическую прогрессию а1, а2, а3, где
    $$ a_{1}=b_{1}+25, a_{2}= b_{2}+27=b_{1}*q+27, a_{3}=b_{3}+1=b_{1}*q^2+1 $$

    Тогда имеем
    $$ a_{1}+a_{2}+a_{3}=b_{1}+25+b_{1}*q+27+b_{1}*q^2+1=\\=b_{1}+b_{1}*q+b_{1}*q^2+ 53=91+53= 144 $$
    =144
    Или, $$ a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d=144 $$
    $$ 3a_{1}+3d=144 $$
    $$ a_{1}+d=48 $$
    Т. е. $$ a_{2}=48 $$
    Тогда,$$ b_{2}=48-27=21 $$, $$ b_{1}*q=21, b_{1}= \frac{21}{q} $$
    $$ b_{1}+b_{3}=91-21=70 \\ b_{1}+b_{1}*q^2=70 \\ b_{1}(1+q^2)=70 \\ \frac{21}{q}(1+q^2)=70 $$
    Решая полученное уравнение, имеем:
    $$ q_{1}=3, q_{2}= \frac{1}{3} $$ Тогда, \(b_{1}=7, b_{3}=63.\)
    Итак, искомая прогрессия: \( b_{1}=7, b_{2}=21, b_{3}=63.\)

  • Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 5, сумма следующих ее четырех членов равна 80. Найдите первый член этой прогрессии.


    Решение: $$ \left \{ {{b_1+b_2+b_3+b_4=5} \atop {b_5+b_6+b_7+b_8=80}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1+b_1*q+b_1*q^2+b_1*q^3=5} \atop {b_1*q^4+b_1*q^5+b_1*q^6+b_1*q^7=80}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1(1+q+q^2+q^3)=5} \atop {b_1(q^4+q^5+q^6+q^7)=80}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1=\frac{5}{1+q+q^2+q^3}} \atop {b_1(q^4+q^5+q^6+q^7)=80}} \right.\\ \\ \frac{5}{1+q+q^2+q^3}*(q^4+q^5+q^6+q^7)=80\\ \\ \frac{5}{1+q+q^2+q^3}*\frac{q^4(1+q+q^2+q^3)}{1}=80\\ \\ 5*q^4=80\\ q^4=16\\ q=2\\ \\ $$

    $$ S_4=5\\5=b_1*\frac{1-2^4}{1-2}\\5=b_1*\frac{-15}{-1}\\ 5=15b_1\\ b_1=\frac{5}{15}\\ \\b_1=\frac{1}{3} $$

  • сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 5, сумма следующих ее четырех членов равна 80. найдите первый член этой прогрессии


    Решение: S4 = (b1(q^4-1)) / (q-1) = 5

    S8 = ((b1(q^8-1)) / (q-1 = 80+5=85

    S8/S4= (q^8-1)/(q^4-) = q^4+1 = 85/5=17

    q^4 = 16

    q=±2

    1. q=2

    s4=5=(b1(16-1))/1

    b1=1/3

    2.q=-2

    s4=5= ((b1(16-1)) / (-2-1)

    -15=b1*15

    b1=-1

  • сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 3, сумма следующих 6 членов равна 192. найдите первый член этой прогрессии


    Решение: Исходя из условия задачи, имеем два равенства S6=3, S12=3+192=195. Получим систему уравнений: 

    $$ \left \{ {{\frac{b_1(q^{12}-1)}{q-1}=195} \atop {\frac{b_1(q^{6}-1)}{q-1}=3}} \right. $$

    Разделим первое уравнение на второе: 

    $$ \frac{q^{12}-1}{q^6-1}=65 $$ 

    $$ \frac{(q^{6}-1)(q^6+1)}{q^6-1}=65 $$ 

    $$ q^6+1=65 $$ 

    $$ q^6=64 $$

    q=-2 или q=2

    1) при  q=-2 $$ b_1=\frac{3(-2-1)}{(-2)^6-1}=-\frac{1}{7} $$ 

    2) при q=2 $$ b_1=\frac{3(2-1)}{2^6-1}=\frac{1}{21} $$

    Ответ: -1/7 или 1/21.

  • Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 5, сумма следующих её четырех членов равна 80. Найдите первый член этой прогрессии.


    Решение: По условию составим систему уравненй

    $$ \left \{ {{b_1+b_2+b_3+b_4=5} \atop {b_5+b_6+b_7+b_8=80}} \right. $$ $$ \left \{ {{b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=5} \atop {b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=80}} \right. $$ 

    $$ \left \{ {{b_1(1+q+q^2+q^3)=5} \atop {b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=80}} \right. $$

    Разделим второе уравнение на первое

    $$ \left \{ {q^4=16} \atop {b_1(1+q+q^2+q^3)=5} \right. $$

    q=-2 или q=2.

    1) при q=-2 b1=5/(1+2+4+8)=1/3

    2) при q=2 b1=5/(1-2+4-8)=-1.

    Ответ:  при q=-2 b1=1/3;  при q=2 b1=-1. 

  • Найдите сумму квадратов n членов геометрической прогрессии, первый член которой равен a, знаменатель равен q


    Решение: Нормальная геометрическая прогрессия:
    b1, b1q, b1q², b1q^(n-1)
    S = b1(q^n -1)/(q-1)
    теперь наша:
    (b1)², (b1q)², (b1q²)², (b1q^(n-1))²
    или 
    b1², b1²q², b1²q^4, b1²q^2(n-1)
    S = b1² + b1²q² + b1²q^4+.+ b1²q^2(n-1) =
    = b1²(1 + q² + q^4+.+q^2(n-1))
    В скобках стоит геометрическая прогрессия, у которой первый член = 1, а знаменатель = q²
    S = b1²·1(q^(2n) -1)/(q²-1)

  • 1) Записать формулу n-го члена геометрической прогрессии:
    1/3 ; (-1/9) ; 1/27 ; -1/81 ; 2) Вычислить: 1. 1-(1/3)^5=
    2. 1-(2/7)^2=
    3.(1-(1/2)^6)=

    3) Решить уравнение:
    1. 3^n=243
    2. 5^n-1=625

    4) Найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, если:
    1. b1=1/2, q=2, n=6
    2. b1=-5, q=-2/3, n=5
    3. b1=-4, q=1, n=100

    5) Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии:
    5,10,20,;


    Решение: 1) $$ b_{n}= - \frac{1}{3} ( -\frac{1}{3}) ^{n-1} $$
    2) 1. $$ 1-( \frac{1}{3} )^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243} $$
    2. $$ 1 - ( \frac{2}{7} )^2 = 1- \frac{4}{49} = \frac{45}{49} $$
    3. $$ (1-( \frac{1}{2} )^6) = 1- \frac{1}{64} = \frac{63}{64} $$
    3) 1. $$ 3^n = 243 $$
    $$ log_3243 = 5 $$
    $$ n=5 $$
    2. $$ 5^{n-1} = 625 $$
    $$ log_5625 = 4 $$
    $$ n-1=4 \\ n=5 $$
    4) 1. $$S_6 = \frac{ \frac{1}{2} (2^6-1)}{2-1} = \frac{ \frac{63}{2} }{1} = 31,5$$ 2. $$ S_5= \frac{-5( (- \frac{2}{3})^5 -1) }{- \frac{2}{3}-1 } = \frac{-5(- \frac{275}{243}) }{ -\frac{5}{3} } = \frac{1375(3)}{243(5)} = 3$$3. По формуле $$q eq 1$$, правильно ли написано условие проверь.
    5) $$S_7 = \frac{5(2^7-1)}{2-1} = \frac{5(127)}{1} = 635$$

  • геометрическая прогрессия задана несколькими первыми членами: 2; -6 ; 18;. Найдите сумму первых пяти ее членов


    Решение: q=-6/2=-3

    b4=2*(-3)^3=2*-27=-54

    b5=2*(-3)^4=2*81=162

    S5=2+(-6)+18+(-54)+162=2-6+18-54+162=122

    или S5=(b5*q-b1)/q-1=(162*(-3)-2)/(-3-1)=(-486-2)/(-4)=-488/-4=122

    a₁=2

    a₂=-6

    n=5

    S₅-

    Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычсляется по формуле:

    Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)

    q=a₂/a₁

    q=-3

    S⁵=2*((-3)^5-1)/((-3)-1)=2*((-243)-1)/(-4)=122

  • Геометрическая прогрессия задана условиями B1=7;Bn+1=2Bn. Найдите сумму первых четырёх её членов.


    Решение: Так как у вас уже известно $$ b_{1}=7 $$, то есть вам нужно заместо $$ n=1 $$, получим что $$ b_{1+1}=2b_{1}\\ b_{2}=2b_{1} $$ то есть второй член геометрической прогрессий в два раза больше первого. 
    Так как прогрессия геометрическая то 
    $$ b_{2}=b_{1}q\\ \frac{b_{1}q}{b_{1}}=2\\ q=2 $$ 
    Знаменатель прогрессий равен $$ 2 $$, по формуле найдем сумму четрыех членов
     $$ S_{4}=\frac{b_{1}(q^4-1)}{q-1}=\frac{7(2^4-1)}{2-1}=105 $$

  • Геометрическая прогрессия задана условием Bn=164•(1/2)^n. Найдите сумму первых четырех ее членов.


    Решение: При n=1 получим первый член 164*1/2=82
    при n=2 получим второй член 164*1/4=41
    Отношение второго члена к первому даст знаменатель прогрессии: 41/82=1/2
    Тогда сумма первых четырех членов прогрессии может быть найдена по известной формуле S=b1*(q^n-1)/(q-1), где b1- первый член прогрессии, q- знаменатель прогрессии.
    S=82*((1/2)^4-1)/(1/2-1)=82*(1/16-1)(-1/2)=82*(-15/16)/(-1/2)=82*15/16=615/8 или 76.875

<< < 101112 13 14 > >>