в геометрической прогрессии первый член равен - страница 14
Сумма n первых членов некоторой последовательности находится по формуле Sn=5n^2-7n+3. докажите что эта последовательность является геометрической прогрессией
Решение: N=1: 1 => b1=1
n=2: 20 - 14+3 = 9 => b1 + b2 = 9, b2 = 8
n=3: 45 - 21 + 3 = 27 => b1+b2+b3 = 27 => b3 = 18
n=4: 80-28+3 = 55 => b4 = 28
b2 = qb1
b3 = q^2b1
b3/b2 = q = 18/8 = 9/4
b4 = q^3 b1 = (9/4)^3 = 81*9/16*4 = 11.39 - не равно 28
=> это не геометрическая прогрессияВидимо в условии должно быть "является арифметической прогрессией". попробуем доказать,
обозначим члены последовательности через х и найдем формулу двух соседних ее членов х(n+1) и x(n)
очевидно что x(n+1)=S(n+1)-S(n) и х(n)=S(n)-S(n-1) (начиная с n=2)
x(n+1)=S(n+1)-S(n) = =5(n+1)²-7(n+1)+3-[5n²-7n+3]=5n²+10n+5-7n-7+3-5n²+7n-3=10n-2
x(n)=S(n)-S(n-1)=5n²-7n+3-[5(n-1)²-7(n-1)+3]= после сокращений получается = 10n-12
найдем разность между двумя соседними членами последовательности
x(n+1)-x(n)=10n-2-(10n-12)=10n-2-10n+12=10
получается что разность между двумя соседними членами последовательности =10 то есть каждый последующий получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа 10, значит это арифметическая прогрессия. но это выполняется для членов начиная со второго. то есть в полном объеме все-таки не арифметическая
сумма n первых членов некоторой последовательности находится по формуле Sn=2*3^n-2. докажите что эта последовательность является геометрической прогрессией
Решение: Найдем $$ S_{n+1}-S_{n} $$ (суть формулу (n+1)-ого члена):$$ 2\cdot3^{n-1}-2\cdot3^{n-2}=2\cdot3^{n-2}(3-1)=\frac49\cdot3^n $$
Очевидно, что каждый следующий член здесь в 3 раза больше предыдущего.
P.S. Вы удивитесь, но скобки придуманы не только для того, чтобы пугать второклассников. Та формула, которую написали вы, следовало бы читать как
$$ S_n=2\cdot3^n-2 $$
В геометрической прогрессии разность 4 и 2 членов равна 18 а разность 5 и 3 равна -36 найдите первый член данной прогрессии
Решение: B1·q³-b1·q=18 b1·q(q-1)(q+1)=18 18q=-36 b1·q(q²-1)=18
b1·q4(степень)-b1·q²=-36 b1·q²(q-1)(q+1)=-36 q=-2 -2b1·3=18
-6b1=18
b1=-3В геометрической прогрессии n=5,q=1/3,Sn=121. НАйдите первый и n-й член геометрической прогрессии?
Решение: Sn=b1(q^n-1)/(q-1).
b1=Sn*(-2/3)/(-242/243))=121*2/3*243/242=243/3=81.
bn=b5=81*(1/3)^4=81/81=1.
Ответ: b1=81, bn=1.N = 5, q = 1/3, S_n = 121. b_1 - b_n -
S_n = b_1 (q^n - 1)/(q - 1)
121 = b_1 ((1/3)^5 - 1)/(1/3 - 1)
b_1 =121/( (-242/243)/(-2/3) ) = 121/(121/81) = 121*(81/121) = 81
b_n = b_1 * q^(n - 1)
b_5 = b_1 * q^4 = 81*(1/3)^4 = 81*(1/81) = 1
Ответ. b_1 = 81, b_5 = 1
найдите первый член геометрической прогрессии an в которой a5=0,015 q=0,5
Решение: Решение:
Зная формулу а_n-го члена геометрической прогрессии: а_n=а1+q^(n-1) ; a_5=0,015; q=0,5, отсюда: 0,015=a1+0,5^4 a1=0,015-0,5^4=0,015-0,0625=-0,0475
Ответ: а1=0,0475
Решение
а5=а1( умножить) q в 4
0,015 12
а1=a5 : q в 4=- = -
0,03125 25
12
Ответ: -
25
Найдите первый член геометрической прогрессии, если выполняется b_2=7+b_3 и b_3=3,5+b_4
Решение: Решим систему:{b2-b3=7
[b3-b4=3,5
{b1*q-b1*q^2=7
{b1*q^2-b1*q^3=3,5÷ {b1*(q-q^2) = 7
÷ [b1*(q^2-q^3)= 3,5(q-q^2)/(q^2-q^3)=2
(1-q)(q-2q^2) = 0
q≠0
q≠ 1
q=1/2
Подходит только один знаменатель q=1/2
b1 = 7/(q-q^2) = 7/(0,5-0,25) = 7/0,25 = 28
ОТВЕТ: 28
,
Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой b2+b4=5, b3+b5=2,5.
Решение: $$ b_1+b_4=5\ =\ > \ b_1q+b_1q^3=5\ =\ > \ b_1q(1+q^2)=5 $$
$$ b_3+b_5=2,5\ =\ > \ b_1q^2+b_1q^4=2,5\ =\ > \ b_1q^2(1+q^2)=2,5 $$
Получим систему:
$$ \begin{cases} b_1q(1+q^2)=5 \\ b_1q^2(1+q^2)=2,5 \end{cases} $$
Делим первое уравнение на второе уравнение:
$$ \frac{1}{q} =2\ =\ > \ q=0,5 $$
$$ b_1=\dfrac{5}{q(1+q^2)}=\dfrac{5}{0,5(1+0,25)}=8 $$
Ответ: 8В геометрической прогрессии (Bn) первый член которой число отрицательное, b1×b2=-0.5 а b3×b4=-8 найдите эти четыре члена
Решение: 1)b₁b₂=-0,5
b₂=b₁g; b₁·b₁g=-0,5; b₁²g=-0,5
2)b₃·b₄=-8
b₃=b₁g²;b₄=b₁g³; b₁g²b₁g³=-8;b₁²g⁵=-8
3) Получим систему
b₁²g=-0,5
b₁²g⁵=-8
4) выразим b₁² из первого и подставим во второе
b₁²=-0,5 /g
-0,5 /g· g⁵=-8
-0,5g⁴=-8
g⁴=16
g=-2 ;g=2
Найдём b₁; g=2 не удовлетворят условию
g=-2 ;b₁²=-0,5 /g=-0,5:(-2)=0,25; b₁=-05
5) b₁=-0,5
b₂=-0,5·(-2)=1
b₃=1·(-2)=-2
b₄=-2·(-2)=4сумма первых четырех чисел геометрической прогрессии равна 5, сумма следующих ее четырех членов равна 80. Найдите первый член этой прогрессии
Решение: a(N)-геометрическая прогрессияа1+а2+а3+а4=5 | это система
а5+а6+а7+а8=80 |
решаем систему:
а1+а1*q+a1*q^2+a1q^3=5
a1*q^4+a1*q^5+a1*q^6+a1*q^7=80
а1(1+q+q^2+q^3)=5
a1(q^4+q^5+q^6+q^7)=80 делим друг на друга
(1+q+q^2+q^3)/(q^4+q^5+q^6+q^7)=1/16
16*(1+q+q^2+q^3)=q^4+q^5+q^6+q^7
дальше перемножаете, сокращаете и решаете.
Сумма 3-его и 6-ого членов геометрической прогрессии равна -4, а разность 9-ого и 3-его членов равно 36. Найдите первый член прогрессии.
Решение: Сумма 3-его и 6-ого членов геометрической прогрессии равна -4, а разность 9-ого и 3-его членов равно 36. Найдите первый член прогрессии.
в3+в6=-4 в1q²+в1q⁵=-4 в1q²(1+q³)=-4 36/(-4)=(q⁶-1)/(1+q³) ⇒
в9-в3=36 в1q⁸-в1q²=36 в1q²(q⁶-1)=36 ⇔
-9=(q³+1)(q³-1)/(1+q³) ⇔ -9=(q³-1) ⇔-8=q³ ⇔q=-2
подставим q=-2 в первое ур-е: в1(-2)²(1-8)=-4 в1=1/7
проверим
в3=(1/7)(-2)²=4/7 в6=(1/7)(-2)⁵=-32/7
в3+в6=-4 верно
в9-в3=(1/7)(-2)⁸-4/7=1/7(2⁸-4)=4(64-1)/7 =36 верно.
