прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 14
Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии (bn), заданной следующими условиями
Дано: b1=1
q=1дробная четра 3
Найти s4-
Решение: B2=b1*q=1*1/3=1/3
b3=b2*q=1/3*1/3=1/9
b4=b3*q=1/9*1/3=1/27 и все складываете 1/3+1+1/9+1/27=(9+27+3+1)/27=40/27
* привели к общему знаменателю 27
можно также найти по формуле суммы S
Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии (b^n), если известны два ее члена: b2 = -8 и b8 = -1/8.
Решение: Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: при q=-1\2 S8 = 10,625
при q=1\2 S8 = -31,875
Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, в которой все члены положительные и b2 равно 21 b4 равно 189
Решение: Находим знаменатель:
$$ q= \sqrt[n-m]{ \frac{b_n}{b_m} } = \sqrt[4-2]{ \frac{b_4}{b_2} } = \sqrt{ \frac{189}{21} } =3 $$
Нужно учитывать что над подойдет знаменатель только положительный.
2) Находимм первый член
$$ b_1= \frac{b_n}{q^{n-1}} = \frac{b_2}{q} =7 $$
Сумма первых 7 членов.
$$ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\ \\ S_7= \frac{7(1-q^7)}{1-q} =7651 $$
B2=21 b4=189
q²=b4/b2=189/21=9
q=-3 U q2=3
b1(1)=b2/q=21/(-3)=-7 U b1(2)=21/3=7
1)S7=b1(1-q^7)/(1-q)=-7*(1+2187)/(1+3)=-7*2188/4=-7*547=-3829
2)S7=7(1-2187)/(1-3)=7*2186/2=7651
Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если а2=4, а3=7
Решение: B₂=b₁·q =4; b₁=4/q
b₃ =b₁·q²=7 b₂=7/q² Приравняем: 4/q = 7/q²; Разделим обе части на q и получим: 4=7/q ; q=7/4; (q>1)
b₁ = 4/q=4/(7/4) = 16/7;
S₅ = b₁·(q⁴ - 1):(q-1); q-1=7/4-1=3/4
S₅ = 16/7·(7⁵/4⁵ - 1):3/4= (16·4)/(7·3)(7·7·7·7·7/16·4·4·4 - 16·16·4/16·16·4)=
(49·49·7-16·16·4)/(7·3·4·4)= (16807-1024)/(3·28·4) = 15783/28·12= 5261/112=
46 целых109/112Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:
54; 36;. ;
Решение: $$ b_1=54;\ \ b_2=36;\\ S_6-;\\ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{36}{54}=\frac{4\cdot9}{6\cdot9}=\frac46=\frac23;\\ S_n=\frac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1};\\ S_6=\frac{54\left(\left(\frac23\right)^6-1\right)}{\frac23-1}=54\frac{\cdot\left(\frac{64}{729}-1\right)}{-\frac13}=\\ =54\cdot(-3)\cdot\frac{64-729}{729}=-162\cdot\frac{-665}{729}=665\cdot\frac{54\cdot3}{729}=\\ =665\cdot\frac{2\cdot3\cdot3^2\cdot3}{3^6}=665\frac{2\cdot3^4}{3^6}=665\frac{2}{9}=\frac{1330}{9}=147\frac79 $$
если что-то не понятно, то первые 6 членов прогрессии выглядят так:
$$ 54;\\ 36;\\ 24;\\ 16;\\ 10\frac23;\\ 7\frac19;\\ \sum=54+36+24+16+10\frac23+7\frac19=\\ =147+\frac23+\frac19=147+\frac{2\cdot3+1}{9}=147+\frac{6+1}{9}=\\ =147+\frac{7}{9}=147\frac79 $$
