в геометрической прогрессии первый член равен - страница 15
Три числа, сумма которых равна 91, образуют геометрическую прогрессию. Они являються первым, четвертым и десятым членами алгебраической прогрессии, разность которой отлична от нуля. Найдите наибльшее их этих чисел.
Решение: Арифметическая прогрессия
Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.Содержание урока
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… - арифметическая прогрессия.
а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7…,
, d – разность арифметической прогреccии.
1. Найти первый член а1 и разность d арифметической прогрессии в котором
d=-1.
Ответ: а1=13, d=-1.
2. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессий выражается формулой. Найти первые три члена этой прогрессий.
Ответ: 1; 9; 17.
3. Если третий и седьмой члены арифметической прогрессии соответственно равны 1, 1 и 2, 3, то шестнадцатый её член равен 1) 6, 2) 8, 3) 10,6, 4) 4,4, 5) 5.
а16=?
1,2=4·d
d=1,2/4d=0,3
1,1-0,6=а1
a1=0,5а16=а1+15·0,3=0,5+4,5=5.
Ответ: №5
4. Если в арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов равна 10, первый член равен -3, то разность прогрессии равна 1)3, 2) 1, 3) 2, 4) -2, 5).
d=?
а1+4·d=5,
-3+4·d=5,
4·d=8,
d=2.
Ответ: №3
5. Если в арифметической прогрессии второй и шестой члены соответственно равны 0,8 и 2,4, то десятый член равен 1) 4, 2) 8,6, 3) 4,2, 4) 10,4, 5) 6.
а10=?
1,6=4·d, d=0,4,
0,8=0,4+a1, a1=0,4,
a10=a1+9·d=0,4+9·0,4=4.
Ответ: №1
6. Сколько членов арифметической прогрессий нужно взять, чтобы их сумма равнялось 91. если её третий член равен 9, а разность седьмого и второго членов равна 20?
а1+6·d- а1-d=20,
5·d=20, d=4.
а1+2·d =9,
а1=9- 8=1,
D=b2-4·a·c=1+4·2·91=729,
Ответ: n=7.
Геометрической прогрессии разность первого и другого членов ровна 35 а разность 3 и 4 членов равна 560.
Найдите первые четыре члены этой прогрессии.
Решение: $$ \left \{ {{b _{1}-b _{2}=35 } \atop {b _{3}-b _{4} =560 }} \right. $$
$$ \left \{ {{b _{1}-b _{1}q=35 } \atop {b _{1}q ^{2}-b _{1}q ^{3} =560}} \right. $$
$$ \left \{ {{b _{1}(1-q)=35 } \atop {b _{1} q ^{2}(1-q)=560 }} \right. $$
$$ \left \{ {{1-q= \frac{35}{b _{1} } } \atop {b _{1} q ^{2} \frac{35}{b _{1} } =560 }} \right. $$
35q² = 560
q² = 16
q₁= 4; q₂ = -4
Берем q = - 4
$$ 1+4= \frac{35}{b _{1} } $$
$$ 5b _{1} =35 $$
$$ b _{1} =7 $$
b₂ = -28
b₃ = 112
b₄ = -448
Геометрическая прогрессия: а₁, а₁q, a₁q², a₁q³.
По условию (a₁-a₁q) = 35; a₁(1-q) = 35 (1);
a₁q² - a₁q³ = 560; a₁q²(1-q) = 560 (2); Делим (2) на (1):
a₁q²(1-q)/a₁(1-q) = 560/35; q² =16; q₁ = 4; q₂ = -4
из 1 находим, что а₁ = 35/(1-q).
При q = 4 а₁=35/(1-4)= -35/3 = - 11 2/3; а₂ = -140/3 = -46 2/3; а₃ = -560/3 = -186 2/3; а₄ = - 2240/3 = - 746 2/3,
Проверка: -11 2/3 -(-46 2/3) = 35; -186 2/3-(-746 2/3)=560
При q = -4 a₁=35/5=7; а₂= -28; а₃ = 112; а₄ = -448;
Проверка:7-(-28)=35; 112-(-448) =560
Имеем 2 прогрессии, удовлетворяющих нашим условиям:
с дробными отрицательными членами
-11 2/3; -46 2/3; -186 2/3; -746 2/3;.
и знакопеременную с целыми: 7,28, 112,448,В возрастной геометрической прогрессии b2=6, а сумма первых трех членов равна 26. Найдите разность между третьим и первым членами этой прогрессии.
а)15 b)16 c)14 d)13 e)12
Решение: B1
b2=b1q=6 ⇒⇒b1=6/q
b3=b1*q*q=6q
b1+b1g+b1g*q=26⇒b1+6+6q=26⇒6/q+6q=20⇒⇒6+6q²-20q=0⇒
3q²-10q+3=0
D=100-36=64
√D=8
q1=(10-8)/6=2/6=1/3-не подходит, так как прогрессия возрастающая
q2=(10+8)/6=3⇒⇒q=3⇒⇒b1=6/q=2
b3-b1=6q-b1=6*3-2=16
Ответ: разность равна 16.
B1+b2+b3=b2/q+b2+b2*q = b2*(1/q+1+q)=26=6*(1/q+1+q)
(1/q+1+q)=13/3
1/q+q=10/3
3q^2-10q+3=0
d=100-36=64
q1=(10+8)/6=3
q2=(10-8)/6=1/3 - не подходит так как прогрессия возрастающая
b3-b1=b2*(q-1/q)=6*(3-1/3)=16
В возрастающей геометрической прогрессии b2=6, а сумма первых трех членов равна 26. Найдите разность между третьим и первым членами этой прогрессии
Решение: B2=b1*q, значит, b1*q= 6
b3=b2*q = b1*q^2, значит, b3=6q
b1+b2+b3=26
b1+6+b1^q^2=26
b1(1+q^2)=20
b1=20/(1+q^2), тогда. подставив это значение в формулу для b2, имеем:
20*q/(1+q^2)=6
10*q = 3(*1+q^2)
10q = 3+3q^2
3q^2-10q+3=0
D=100 -4*3*3=100-36=64
q1= (10+8)/(2*3) =18/6 =3
q2=(10-8)/(2*3)=2/6 =1/3 - не подходит. т. к. по условию прогрессия возрастающая, т. е. q>1
Найдем b1
b1=b2/q
b1=6/3=2
Найдем b3
b3=b2*q=6*3=18
b3-b1 = 18-2 = 16 - это ответ
Определите число членов конечной геометрической прогрессии, если разность шестого и
четвертого ее членов равна 216, а разность третьего и первого равна 8, а сумма
всех членов равна 40.
Решение: Пусть y 1 член прогрессии,q-знаменатель, тогда 3 член равен q²y, 4 член q³y, 6 член равен q⁵y.
По условию,
1)q⁵y-q³y=216, q³y(q²-1)=216
2)q²y-y=8, y(q²-1)=8
Подставляем выражение 2 в выражение 1:
8q³=216.
q=3,
8y=8
y=1.
qy=3
q²y=9
q³y=27
Сумма четырёх членов равна 1+3+9+27=40
Ответ: 4
B6=b1*q*5
b4=b1*q*3
b3=b1*q*2
b1q*3(q*2-1)=216
b1(q*2-1)=8
q*2-1=8/b1
b1q*3*8/b1=216
q*3=216/8=27
q=3
Sn=b1(q*n-1)/q-1
40=3(3*n-1)/2
80=3*3n-3
3*(n+1)=83*3
3*(n+1)=249
n+1=5
n=4Напишите первые несколько членов геометрической прогрессии у которой разность третьего и первого члена равна 9, а разность пятого и третьего членов равна 36
Решение: B₃-b₁=9 b₁*q²-b₁=9 b₁*(q²-1)=9
b₅-b₃=36 b₁*q⁴-b₁*q²=36 b₁*(q⁴-q²)=36
Разделим второе уравнение на первое:
(q⁴-q²)/(q²-1)=4
q⁴-q²=4*q²-4
q⁴-5q²+4=0
q²=t>0
t²-5t+4=0 D=9
t₁=4 t₂=1 ∉
t=q²=4
q₁=2 q=-2 ∉
b₁*q²-b₁=9
b₁(q²-1)=9
b₁=9/(2²-1)=9/3=3
b₂=3*2=6
b₃=6*2=12
b₄=12*2=24
b₅=24*2=48.
Ответ: 3; 6; 12; 24; 48.
Все члены геометрической прогрессии - положительные числа. Известно, что разность между первым и пятым членами равна 15, а сумма первого и третьего членов равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии.
Решение: $$ b_{1}.b_{n}>0 $$
$$ q>0 $$
$$ b_{1}-b_{5}=15 $$
$$ b_{1}+b_{3}=20 $$
$$ b_{3}=b_{1}*q^{2} $$
$$ b_{5}=b_{1}*q^{4} $$
$$ b_{1}-b_{1}*q^{2}=15 $$
$$ b_{1}+b_{1}*q^{4}=20 $$
$$ b_{1}*(1-q^{4})=15 $$
$$ b_{1}*(1+q^{2})=20 $$
Разделим одно уравнение на другое:
$$ \frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{15}{20} $$
$$ \frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{3}{4} $$
$$ \frac{(1-q^{2})(1+q^{2})}{1+q^{2}}=\frac{3}{4} $$
$$ 1-q^{2}=\frac{3}{4} $$
$$ q^{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} $$
$$ q=0.5 $$
$$ b_{1}=\frac{15}{1-q^{4}} $$
$$ b_{1}=\frac{15}{1- \frac{1}{16}}=\frac{15*16}{15}=16 $$
$$ b_{10}=b_{1}*q^{9} $$
$$ b_{10}=16* \frac{1}{2^{9}}=\frac{2^{4}}{2^{9}}=\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32} $$
Разность между четвёртым и первым членами геометрической прогрессии равна 27, а сумма первых трёх членов этой прогрессии равна 9. Найдите пятый член прогрессии.
Решение: Можно решить системой и все члены раскрыть как первый и тогда в верхней середине ты найдете Д=9 вроде и потом снизу разложите тоже и у тебя известен Д и это будет простое уравнение если я конечно првельно понял$$ b_{4}-b_{1}=27\\ b_{1}+b_{2}+b_{3}=9\\ \\ b_{1}(q^3-1)=27\\ b_{1}(1+q+q^2)=9\\ $$
поделим друг на друга получим
$$ q-1=3\\ q=4\\ b_{1}=\frac{27}{4^3-1}=\frac{27}{63}=\frac{3}{7}\\ b_{5}=\frac{3}{7}*4^4 =\frac{768}{7} $$
Найдите число членов геометрической прогрессии, у которой отношение суммы первых 11 членов к сумме последних 11 членов равно 1\8, а отношение суммы всех членов без первых девяти к сумме всех членов без последних девяти равно 2
Решение: Пусть n - число членов геометрической последовательности, тогда
$$ S_n=\frac{b_1*q^{n-1}}{q-1}\\ 1)\ \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{b_1*q^{11-1}}{q-1}}{\frac{b_{n-10}*q^{11-1}}{q-1}}= \frac{b_1*q^{10}}{b_{n-10}*q^{10}}=\frac{b_1}{b_{n-10}}=\frac{1}{8}\\ b_{n-10}=8b_1=b_1*q^{(n-10)-1}=b_1*q^{n-11}\\ 8b_1=b_1*q^{n-11}\\ q^{n-11}=8\\ 2)\ \frac{S_3}{S_4}=\frac{\frac{b_{10}*q^{(n-9)-1}}{q-1}}{\frac{b_1*q^{(n-9)-1}}{q-1}}= \frac{b_{10}*q^{n-10}}{b_1*q^{n-10}}=\frac{b_{10}}{b_1}=2\\ b_{10}=2b_1=b_1*q^9\\ q^9=2\\ q= \sqrt[9]{2}\\ 8=(\sqrt[9]{2})^{n-11}\\ $$
$$ (\sqrt[9]{2})^{27}=(\sqrt[9]{2})^{n-11}\\ n-11=27\\ n=38 $$
В геометрической прогрессии седьмой член равен 27, десятый член равен 729. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии.
Решение: B₇=27
b₁₀=729
S₁₀-
b₇=b₁*q⁶
b₁₀=b₁ *q⁹
{27=b₁*q⁶
{729=b₁ *q⁹
b₁= 27
q⁶
729 = 27 * q⁹ =27*q³
q⁶
27=q³
q=3
b₁=27 = 3³ = 3⁻³ = 1
3⁶ 3⁶ 27
S₁₀=b₁(q¹⁰ - 1) = 1 (3¹⁰ - 1) =3¹⁰ - 1 = 59049 - 1=59048 =29524 =1093 ¹³/₂₇
q-1 27 (3-1) 54 54 54 27
