прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 17

  • Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 7, следующих трех - 56. Чему равен шестой член этой прогрессии?


    Решение: B1 + b2 + b3 = 56 b1 + b1q + b1q² = 56 b1 + b1q + b1q² = 56 
    b4 + b5 + b6 = 7 b1q^3 + b1q^4 + b1 q^5 = 7 q^3(b1 + b1q + b1q²) = 7
    Разделим первое уравнение на второе. Получим:
    1/q³ = 8 ⇒ q = 1/2 
    Подставим в первое уравнение найденный знаменатель
    b1 + b1·1/2 + b1·1/4 = 56
    7b1/4 = 56
    b1= 32
    Теперь ищем что спрашивают: b3·b4 = b1·q²·b1·q³ = ( b1)²·q^5 = 32²·(1/2)^5= 32

  • 1) найдите сумму геометрической прогрессии 12; 3; 0,75.

    2) сумма геометр. прогрессии(bn) равна 63, знаменатель прогрессии равен -\( \frac{1}{3} \). Найдите первы член прогрессии


    Решение: 1) Здесь нам дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Формула ее суммы выглядит следующим образом

    $$ S=\frac{b_{1}}{1-q} $$

    в1=12

    А q=3/12=0,25

    Вычисляем $$ \frac{12}{1-0.25}=16 $$

    2) Тк нам не дана сумма определенного кол-ва членов, то можно сделать вывод что это такая же убывающая прогрессия. Мы просто подставляем данные нам значения в прошлую формулу

    $$ 63=\frac{b_{1}}{1+\frac{1}{3}} $$

    Умножаем 63 на нижнее число дроби не забыв сложить его оно будет=4/3

    $$ 63*\frac{4}{3}=b_{1} $$

    $$ b_{1}=84 $$

  • Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 2, а сумма следующих четырёх ее членов 162. Найдете четвертый член этой прогрессии.


    Решение: $$ b_1+b_2+b_3+b_4=2, \\ b_5+b_6+b_7+b_8=162,\\ Sn= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, \\ S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=2, \\ S_{5\div8}=\frac{b_5(1-q^4)}{1-q}=\frac{b_1q^4(1-q^4)}{1-q}=S_4q^4=162, \\ 2q^4=162, \\ q^4=81, \\ \left [ {{q=-3,} \atop {q=3;}} \right. \\ \left [ {{\frac{b_1(1-(-3)^4)}{1-(-3)}=2,} \atop {\frac{b_1(1-3^4)}{1-3}=2;}} \right. \left [ {{-20b_1=2,} \atop {40b_1=2;}} \right. \left [ {{b_1=-0,1,} \atop {b_1=0,05;}} \right. \\ \left [ {{b_4=-0,1\cdot(-3)^3,} \atop {b_4=0,05\cdot3^3}} \right. \left [ {{b_4=2,7,} \atop {b_4=1,35.}} \right. $$

  • Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 168, а сумма следующих трех членов равна 21. найти члены геометрической прогрессии.


    Решение: A1 + a2 + a3 = 168 a4 + a5 + a6 = 21 Очевидно, что последовательность убывающая. a2 = a1*q a3 = a1*q^2 a4 = a1*q^3 a5 = a1*q^4 a6 = a1*q^5 a1 + a1*q + a1*q^2 = 168 (*) a1*q^3 + a1*q^4 + a1*q^5 = 21 a1* (q^3 + q^4 + q^5) = 21 a1 = 21 / (q^3 + q^4 + q^5) Подставим в  (*): 21 * (1 + q + q^2) / (q^3 + q^4 + q^5) = 168 (1+q + q^2) = 8 (q^3 + q^4 + q^5) (1+q + q^2) = 8 (1 + q + q^2) * q^3 | : (1 + q + q^2) 1 = 8 * q^3 q^3 = 1/8 q = 1/2 a1 + a1*q + a1*q^2 = 168, подставим q = 1/2 a1 * (1 + 1/2 + 1/4) = 168 | *4 a1 * (4 + 2 + 1) = 168 * 4 a1 * 7 = 7 * 24 * 4 a1 = 24 * 4 = 96 a2 = 96/2 = 48 a3 = 24 a4 = 12 a5 = 6 a6 = 3 и т. д. an = a(n-1) * 1/2 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 168 + 21 - a6 = 189 - 3 = 186 Ответ: Сумма первых пяти членов равна 186, формула н-ного члена an = a(n-1) * 1/2.

  • Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 12, а сумма первых шести членов равна -84. найти третий член


    Решение: Запишем условие в виде системы
    b+bq+bq^2=12
    b^2+b^2q^2+b^2q^4=336
    вынесем множители 
    b(1+q+q^2)=12
    b^2 (1+q^2+q^4)=336
    преобразуем 
    b (q^3-1)/(q-1)=12
    b^2 (q^6-1)/(q^2-1)=336
    преобразуем последнее уравнение 
    b^2 (q^3-1)/(q-1) (q^3+1)/(q+1)=336
    подставим первое уравнение во второе
    b (q^3+1)/(q+1)×12=336
    упростим
    b (q^3+1)/(q+1)=28
    преобразуем 
    28 (q+1)/(q^3+1)=12 (q-1)/(q^3-1)
    введем ОДЗ q <>1 и q <>-1 
    преобразуем числитель разности дробей
    28(q^2+q+1)=12 (q^2-q+1)
    приведем подобные слагаемые
    16q^2+40q+16=0
    решим уравнение
    q^2+2.5q+1=0
    D= 6.25-4×1=2.25
    q=(-2.5+1.5)/2=-0.5
    q=(-2.5-1.5)/2=-2
    найдем b для корня 1
    (-8-1)/(-2-1)b=12
    3b=12
    b=4
    найдем b для корня 2
    (-0.125-1)/(-0.5-1)b=12
    1.125/1.5b=13
    9b/12=12
    b=144/9
    ответ 1 b=4 q=-2
    ответ 2 b=144/9 q=-1/2

  • Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов 1281. Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?


    Решение: Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, 
    а сумма их квадратов равна 1281. 
    Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов? 
    Было бы лучше, если бы для этой задачи Вы открыли новую тему. 
    Какое отношение геометрическая прогрессия имеет к поедаемому в спешке обеду? 
    Предлагаю составить систему уравнений 
    b/q + b + bq = 21 
    bb/(qq) + bb + bbqq = 1281 
    Из этой сиситемы уравнений можно найти возможные 
    значения для знаменателя q геометрической прогрессии.

  • Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 2 а сумма слудующих четырех ее членов равна 162. Найдите четвертый член этой прогрессии.


    Решение: $$ \left \{ {{b_1+b_2+b_3+b_4=2} \atop {b_5+b_6+b_7+b_8=162}} \right. \; \left \{ {{b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=2} \atop {b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=162}} \right. \\\\ \left \{ {{b_1(1+q^+q^2+q^3)=2} \atop {b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=162}} \right. \; \to 1+q+q^2+q^3=\frac{2}{b_1}=\frac{162}{b_1q^4}\\\\2q^4=162,\; q^4=81\\\\q^4-81=0,\; (q^2-9)(q^2+9)=0,\; \; (q-3)(q+3)(q^2+9)=0\; \to \\\\q_1=3,\; q_2=-3\\\\1)\; \; q_1=3,\; \; b_1=\frac{2}{1+q+q^2+q^3}=\frac{2}{1+3+3^2+3^3}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}=0,05 $$
    $$ b_4=b_1q^3=0,05\cdot 3^3=1,35\\\\2)\; \; q_2=-3,\; b_1=\frac{2}{1-3+(-3)^2+(-3)^3}=\frac{2}{-20}=-0,1\\\\b_4=b_1q^3=-0,1\cdot (-3)^3=0,1\cdot 27=2,7 $$

  • сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессий равна 13, а их произведение равно 27. вычислить сумму первых пяти членов этой прогрессии


    Решение: первые три члена этой последовательности 1 3 9

    Сумма первых 5 членов последовательности 1+3+9+27+81=121

    Имеем систему:

    b1 + b1q + b1q2 = 13

    b1∙ b1q∙ b1q2 = 27.

    b13 ∙q3 = 27 или b1q = 3, отсюда b1 = 3/q

    Вынесем в первом уравнении b1 за скобки

    b1(1 + q+ q2) = 13

    3/q(1 + q+ q2) = 13 раскроем скобки

    3/q + 3 + 3q =13. Приведем к общему знаменателю

    3 +3q + 3q2 = 13q. Получим квадратное уравнение

    3q2 – 10q + 3 = 0

    D1 = 16, q1 = 3, q2 = 1/3

     Т. к. прогрессия возрастающая, то q = 3

    тогда b1 = 3:3 = 1, b2 = 1*3 = 3, b3= 3*3 = 9, b4 = 27, b5= 81

    Cсложим их, получим: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

  • Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их
    произведение равно 27. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии.


    Решение: b1+b2+b3=13

    b1b2b3=27

    b1+b2+b3+b4+b5

    b1^3*q^3=27

    b1q=3

    b1*(1+q+q^2)=13

    (1+q+q^2)/q=13/3

    3+3q+3q^2=13q

    3q^2-10q+3=0

    q=3 прогрессия возрастает

    b1=1

    b4+b5=3^3+3^4=27+81=108

    S=13+108=121

    B1=1
    B2=3
    B3=9
    Сумма этих чисел равна 13, а произведение 27
    B4=b1*q^3=1*27=27
    B5=1*3^4=81
    Сумма первых пяти членов равна (b5*q-b1)/q-1= (81*3-1)/3-1=242/2=121

  • Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 20, а сумма первых трех членов равна 26. Найти прогрессию.


    Решение: Решение:
    Дано:
    b1+b3=20
    b1+b2+b3=26
    bn=b1*q^(n-1)
    b2=b1*q
    b3=b1*q^(3-1)=b1*q^2
    Подставим все значения b2 и и3 в данные задачи:
    b1 + b1*q^2=20
    b1 + b1*q + b1*q^2=26
    Решим получившуюся систему уравнений:
    Вычтем из первого уравнения второе уравнение6
    b1 +b1*q^2 -b1 -b1*q -b1q^2=20-26
    -b1*q=-6
    b1=-6 : -q
    b1=6/q
    Подставим значение (b1) в первое уравнение:
    6/q + 6/q*q^2=20
    6/q +6q=20  Приведём к общему знаменателю  q
    6+ q*6q=q*20
    6q^2-20q +6=0
    q1,2=(20+-D)/2*6
    D=√(20² -4*6*6)=√(400-144)=√256=16
    q1=(20+16)/12=36/12=3
    q2=(20-16)/12=4/12=1/3- не соответствует условию задачи
    Найдём значение b1 подставив в любое из уравнений значение q=3, например в первое уравнение:
    b1+ b1*3^2=20
    b1+9b1=20
    10b1=20
    b1=20 : 10
    b1=2
    b2=2*3=6
    b3=2*3^2=18
    Отсюда ряд геометрической прогрессии выглядит так:
    2 ; 6 ; 18
    ПРОВЕРКА:
    2+18=20
    2+6+18=26 - что и соответствует условию задачи

<< < 151617 18 19 > >>