в геометрической прогрессии первый член равен - страница 16

В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 3, а сумма третьего и пятого членов равна 270. Найдите четвертый член прогрессии?

S = b1(q^2 + q^4) = 60

q^2 + q^4 = 20

q^4 + q^2 - 20 = 0.  По теореме Виета находим возможные значения q^2:

q^2 = -5 - не подходит

q^2 = 4  значит q = -2 ( по условию знакопеременности).

Тогда b2 = b1*q = - 6.

Ответ: - 6

. Ответ на фото.

Найдите сумму первых шести членов знакопеременной геометрической прогрессии ЕСЛИ ПЕРВЫЙ ЧЛЕН РАВЕН 2, А ТРЕТИЙ -8

$$ b_1=2 $$
$$ b_3=-8 $$
$$ b_n=q*b_{n-1}=q^2*b_{n-2} $$ ⇒ 
$$ b_3=q^2*b_{1} $$
Значит, $$ q^2= \frac{-8}{2} eq -4 $$ - неверное равенство.
Ответ: нет решении для данной задачи.

Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, если третий член равен 8, а шестой 64

Первый член геометрической прогрессии равен 1 сумма третьего и пятого членов равен 90 найдете сумму первых пяти членов прогрессии.

Если в геометрической прогрессии третий член положителен, четвертый член равен -4, а сумма третьего и шестого членов равна -14, то сумма первого члена и знаменателя прогрессии

Вот решение.

b₄ = -4
b₃ + b₆ = -14
b₄ = b₁*q³
b₃ = b₁*q²
b₆ = b₁*q⁵
b₁*q³ = -4
b₁*q² + b₁*q⁵ = -14
b₁ = $$ - \frac{4}{ q^{3} } $$
$$ - \frac{4* q^{2} }{ q^{3} } - \frac{4* q^{5} }{ q^{3} } = -14 $$
$$ - \frac{4}{q}-4 q^{2} = -14 $$
-4 - 4q³ = -14q
-4q³ + 14q - 4 = 0
4q³ - 14q + 4 = 0
2q³ - 7q + 2 = 0
q = -2
b₁ = $$ \frac{4}{ 2^{3} }= \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$
b₁ + q = $$ \frac{1}{2}-2 = -1 \frac{1}{2} $$
Ответ: $$ -1 \frac{1}{2} $$

Девятый член возрастающей геометрической прогрессии равен 2916, а произведение ее первого члена на пятый равно 16. Найти шестой член этой геометрической прогрессии?

В возрастающей геометрической прогрессии b1=3, а сумма первых трех членов равна 21, тогда четвертый член прогрессии равен?

3q² + 3q + 3 =21;

3q² + 3q = 18;

q² + q=6;

q² + q - 6=0

D=1+24=25

q₁=(-1+5)/2=4/2=2;

q₂=(-1-5)/2=-6/2=-3;

Тогда b₄ может быть либо 3q₁³=3*8=24. либо 3q₂³=3*(-27)=-81

Но в условии сказано. что прогрессия возрастающая. значит -81 отпадает.

Ответ:b₄=24.

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 1,5 больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найти ее четвертый член, если знаменатель этой прогрессии положителен.

Воспользуемся формулой для расчёта суммы n-первых членов геометрической прогрессии:

S(5) = b1(q⁵-1) / (q-1)

S(3) = b1(q³ - 1) / (q - 1)

По условию, S(5) - S(3) = 1.5, то есть

b1(q⁵-1) / (q-1)  -  b1(q³ - 1) / (q - 1) = (b1(q⁵-1) - b1(q³ - 1)) / (q-1) = b1(q⁵-1 - q³ + 1) / (q-1) = b1(q⁵ - q³) / (q-1) = 1.5

Теперь перейдём к другому условию. Выразим пятый и третий член через первый и знаменатель:

b3 = b1q²

b5 = b1q⁴

b5 = 4b3

b1q⁴ = 4b1q²

Таким образом, приходим к системе:

b1(q⁵ - q³) / (q-1) = 1.5

b1q⁴ = 4b1q²

Если нам удастся решить данную систему, то получим первый член и знаменатель, а там уже и до четвёртого члена недалеко.

Второе уравнение можно сократить на b1, получим:

q⁴ = 4q²

Теперь сокращаем на q²:

q² = 4

Отсюда q = 2   или    q = -2. Но знаменатель по условию положителен, поэтому q = 2.

Теперь решить систему достаточно нетрудно. Подставим вместо q число 2.

b1(2⁵ - 2³) / (2 - 1) = 1.5

b1(2⁵ - 2³)  = 1.5

b1 = 1.5 / 24 = 0.0625

 Теперь мы знаем знаменатель и первый член. Очень легко теперь ищется четвёртый:

b4 = b1q³

b4 = 0.0625 * 8 = 0.5

1) Какая последовательность является геометрической прогрессией 6 -12 -24 48.
2) Вычислите шестой член геометрической прогрессии 5;10;.
3) Вычислите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии -24;-8;.
4) разность между пятым и третьим членами геометрической прогрессии равно 720. вычислите ее третий член, если знаменатель прогрессии равен 4

2) $$ b_1=5; b_2=10;\\ q=b_2:b_1;\\ q=10:5=2;\\ b_n=b_1*q^{n-1};\\ b_6=5*2^{6-1}=5*32=160 $$

3)$$ b_1=-24; b_2=-8;\\ q=b_2:b_1;\\ q=\frac{-8}{-24}=\frac{1}{3};\\ b_3=b_2q=-8*\frac{1}{3}=\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3};\\ b_4=b_3*q=-\frac{8}{3}*\frac{1}{3}=-\frac{8}{9};\\ S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=\\ -24+(-8)+(-2\frac{2}{3})+(-\frac{8}{9})=\\ -34+(-\frac{14}{9})=-35 \frac{5}{9} $$

4) $$ b_5-b_3=720;q=4;\\ b_5=b_3q^2=4^2b_3=16b_3;\\ 16b_3-b_3=720;\\ 15b_3=720;\\ b_3=720:15;\\ b_3=48 $$

Четвертый член геометрической прогрессии на 17 целых 1/3 больше первого члена. Если сумма первых трех членов равна 8 целых 2/3 то утроенный первый член прогрессии равен?