в геометрической прогрессии первый член равен - страница 18
Сумма всех членов геометрической прогрессии без первого члена равна 63.5, без последнего члена 127, без двух первых и без двух последних членов 30. Найти q и b1
( q вроде бы равно 0.5 )
Решение: Воспользуемся формулой суммы
$$ S= \frac{ b_{1} - b_{n}q }{1-q} $$
сумма без первого члена будет следующая
S=b(2)-b(n)q/1-q=b(1)q-b(n)q/1-q=q(b(1)-b(n))/1-q (b2=b1*q)=63.5 [1]
сумма без последнего члена
S=b(1)-b(n-1)q/1-q=b(1)-b(n)/1-q (b(n)=b(n-1)*q)=127 [2]
из [1] и [2] получаем что q*127=63.5
значит q=1/2
составим последнее уравнение
S=b(3)-b(n-2)*q/1-q=(b(1)*q²-b(n)*q/q²)/1-q=(b(1)*q²-b(n)/q)/1-q=30 [3]
подставим q=1/2 в [2] и [3], получим
b(1)-b(n)/(1/2)=127 b(n)=b(1)-254
b(1)/4-2b(n)/(1/2)=30 ⇒ b(1)/4-2(b(1)-254)=60 ⇒ b(1)-8(b(1)-254)=240
⇒-7b(1)=240-2032 ⇒ -7b(1)=-1792 b(1)=256
Ответ q=1/2, b(1)=256
Сумма четырёх последовательных членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 равна 75. Найдите первый член это прогрессии.
Решение: S4=75q=2
Sn=(b1(q^n -1))/(q-1)
75=(b1(16-1))/(2-1)
75=15b1
b1=5
Cумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 56, а сумма трех последующих ее членов равна 7. Найдите произведение третьего и четвертого членов этой прогрессии
Решение: Сначала расписать каждый через. Первый член и знаменательB1 + b2 + b3 = 56 b1 + b1q + b1q² = 56 b1 + b1q + b1q² = 56
b4 + b5 + b6 = 7 b1q^3 + b1q^4 + b1 q^5 = 7 q^3(b1 + b1q + b1q²) = 7
Разделим первое уравнение на второе. Получим:
1/q³ = 8 ⇒ q = 1/2
Подставим в первое уравнение найденный знаменатель
b1 + b1·1/2 + b1·1/4 = 56
7b1/4 = 56
b1= 32
Теперь ищем что спрашивают: b3·b4 = b1·q²·b1·q³ = ( b1)²·q^5 = 32²·(1/2)^5= 32
Чему равна сумма семи первых членов геометрической прогрессии (Bn), если b1 = 6, а b6 = 192.
Решение: S(n)=(b1-bn*q)/1-q; b1=6, b6=192; b6=6*q^5; q^5=192/6; q^5=32 |=> q=2 b7=6*2^6=384 S(7)=6-384*2/1-2=-762/-1=762 Ответ: S(7)=762Сумма первых семи членов геометрической прогрессии равна 762
В геометрической прогрессии пять членов, сумма их без первого члена равна 30, а без последнего члена равна 15. Найдите третий член прогрессии.
Решение: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4\ b_5;\\ S_{2.5}=30;\\ S_{1.4}=15;\\ S_{2.5}=S_5-b_1=b_1\frac{q^5-1}{q-1}-b_1=b_1\left(\frac{q^5-1-1+1}{q-1}\right)=\\ =b_1\frac{q^5-q}{q-1}=\frac{q(q^4-1)}{q-1}=b_1\cdot q\cdot\frac{(q-1)\cdot(q^3+q^2+q+1)}{q-1}=\\ b_1q(q^3+q^2+q+1)=30;\\ S_{1.4}=S_4=b_1\frac{q^4-1}{q-1}=b_1\frac{(q-1)(q^3+q^2+q+1)}{q-1}=\\ =b_1(q^3+q^2+q+1)=15;\\ $$
$$ \left \{ {{S{2.5}=q\cdot S4=30} \atop {S_{1.4}=S_4=15}} \right. \left \{ {{b_1(q^3+q^2+q+1)=30} \atop {b_1(q^3+q^2+q+1)=15}} \right. \\ q=\frac{S_{2.5}}{S_{1.4}}=\frac{qS_4}{S_4}=\frac{30}{15}=2;\\ q=2;\\ S_4=b_1(q^3+q^2+q+1)=15;\\ b_1(2^3+2^2+2^1+1)=15;\\ b_1(8+4+2+1)=15;\\ b_1\cdot15=15;\\ b_1=\frac{15}{15}=1;\\ S_4=1\cdot{2^4-1}{2-1}=1\cdot\frac{16-1}{1}=1\cdot15=15;\\ S_{2.5}=S_5-b_1=1\cdot\frac{2^5-1}{2-1}-1=1\cdot\frac{32-1}{2-1}-1=1\cdot31-1=31-1=30;\\ $$
$$ b_3=b_1\cdot q^{3-1}=b_1\cdot q^2=1\cdot2^2=1\cdot4=4;\\ b_3=4. $$
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 4, а сумма первых трёх членов равна 13. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии
Решение: Пусть первый элемент будет b, второй b*q, третий b*q^2. составим систему:
b+b*q=4
b+b*q+b*q^2=13
Подставим первое уравнение во вторую систему и получим
b+bq=4
4+bq^2=13
b+bq=4
bq^2=9
Выразим из второго
b=9/q^2
Подставим в первое
9/q^2 + 9q/q^2=4
9/q^2 + 9/q = 4
Сделаем замену: 1/q = t
9t^2 + 9t -4 = 0
Д= 81 +144= 225
t1= (-9+15)/18 = 6/18 = 1/3
t2= (-9-15)/18=-24/18 = -4/3
Делаем обратную замену:
1/q=1/3 или 1/q = -4/3
q=3 или q=-3/4, т. к. прогрессия возрастающая, то q>1 => q=-3/4 не подходит.
Найдем b=9/q^2 = 9/9 = 1
Таким образом мы имеем обе переменных в нашей прогрессии и сумма пяти элементов будет:
s= b+bq +bq^2 +bq^3 + bq^4 = 13+ bq^3 + bq^4 = 13+27+81=121Найдите в геометрической прогресси номер члена равного 162 если b1=2 q=3 2 вопрос найти b1 и q если в геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 6, b1+b3=10
Решение: 1) bn=b1q^(n-1)
2*3^(n-1)=162
3^(n-1)=81
3^(n-1)=3^4
n-1=4
n=5
ответ n=5
2) b1+b2+b3=6 b1+b3=10
b2=b1q
b3=b1q^2
b1+b1q+b1q^2=6
b1+b1q^2=10 b1=10/(q^2+1)
10/(q^2+1)+10q^2/(q^2+1)=6 q^2+1≠0 умножим на это
10+10q=6q^2+6
6q^2+-10q-4=0
3q^2-5q-2=0
D=25+4*3**2=25+24=49
q1=(5+7)/6=12/6=2
q2=(5-7)/6=-2/6=-1/3
b1=10/((2)^2+1)=10/(4+1)=10/5=2
b1=10/((-1/3)^2+1)=10:10/9=9
ответ b1=2 q=2; b1=9 q-1/3
геометрической прогрессии со знаменателем q = 2 сумма первых восьми членов равна 635. Найдите шестой член этой прогрессии
Решение: $$ S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, qeq1.\\ S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}.\\ 635=b_1*255.\\ b_1=\frac{635}{255}=\frac{127}{51}.\\ b_n=b_1*q^{n-1}.\\ b_6=\frac{127}{51}*2^5=\frac{4064}{51}. $$$$ S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1} $$
$$ S_{8}=\frac{b_{1}(2^{8}-1)}{2-1}=635 $$
$$ \frac{b_{1}(256-1)}{1}=635 $$
$$ b_{1}*255=635 $$
$$ b_{1}=\frac{635}{255}=\frac{127}{51} $$
$$ b_{n}=b_{1}q^{n-1} $$
$$ b_{6}=\frac{127}{51}*2^{5}=\frac{127}{51}*32=79\frac{35}{51} $$
В геометрической прогрессии найдите наибольшее возможное значение первого члена, если сумма первых трех членов прогрессии равна 26, а b1+b3=20
Решение: Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:Sn = b₁(q^n - 1)/(q - 1)
Для n = 3: S₃ = 26
S₃ = b₁(q³ - 1)/(q - 1) = b₁(q² + q + 1)
b₁(q² + q + 1) = 26
Далее.
b₃ = b₁·q²
по условию:b₃ + b₁ = 20, т. е.
b₁·q² + b₁ = 20
или
b₁(q² + 1) = 20
Решим систему уравнений
b₁ = 20/(q² + 1)
20(q² + q + 1) /(q² + 1) = 26
20(q² + q + 1) = 26(q² + 1)
20q² + 20q + 20 = 26q² + 26
6q² - 20q + 6 = 0
3q² - 10q + 3 = 0
D = 100 - 36 = 64
√D = 8
q₁ = (10 - 8):6 = 1/3
q₂ = (10 + 8):6 = 3
При q₁ = 1/3
b₁ = 20/(1/9 + 1)= 18
При q₂ = 3
b₁ = 20/(9 + 1)= 2
Ответ максимально возможное значение 1-го члена геометрической прогрессии
b₁ = 18
b2=b1*q
b3=b1*q²
b1+b2+b3=b1+(b1+q)+(b1+q²)=b1(1+q+q²)=26
b1+b3=b1(1+q²)=20
Система уравнений с 2-мя неизвестными
b1(1+q+q²)=26
b1(1+q²)=20
Вычесть
b1*q = 6
b1=6/q
(6/q)(1+q²)=20
6q²-20q+6=0
D=400-144=256
q1= ⅓
q2= 3
b1₁=6/⅓=18
b1₂=6/3=2
Наибольшее значение 1-го члена = 18
В геометрической прогрессии знаменательq=3 а сумма первых пяти членов равна 484. найти пятый член прогрессии
Решение: B1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 484
q = 3
bn = b1 * q^(n-1)
b1 = b1
b2 = b1 * q
b3 = b1 * q^2
b4 = b1 * q^3
b5 = b1 * q^4
b1*(1 + q + ^2 + q^3 + q^4) = 484
b1*(1 + 3 + 9 + 27 + 81) = 484
b1 = 484/121
b1 = 4
b5 = b1 * q^4 = 27 * 4 = 108
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
$$ b_{n}= b_{1}* q^{n-1} $$
Тогда 5-ый член прогрессии будет равен:
$$ b_{5}= b_{1}* q^{n-1}=b_{1}*3^{5-1}=b_{1}* 3^{4}= b_{1}*81 $$
Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_{n}= \frac{ b_{1}*(1- q^{n} ) }{q-1} $$
Тогда сумма 5-и членов прогрессии будет:
$$ S_{5}= \frac{ b_{1}*(1- 3^{5} ) }{3-1}= \frac{ b_{1}*(1- 243 ) }{-2}=484 $$
Выражаем $$ b_{1} $$:
$$ \frac{ b_{1}*(1- 243 ) }{-2}=484 $$
$$ b_{1}*(- 242 ) =484*(-2) $$
$$ b_{1}= \frac{484*(-2)}{- 242 } =4 $$
Тогда:
$$ b_{5}= b_{1}*81=4*81=324 $$
Ответ: 324
