прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 18
в геометрической прогрессии разность между третьим и первым членами равна 2, а разность между пятым и третьим равна 8. Найдите сумму первых шести членов
Решение: {b₃ - b₁=2
{b₅ - b₁=8
{b₁*q² - b₁=2
{b₁*q⁴ - b₁*q²=8
{b₁(q²-1) =2
{b₁(q⁴-q²)=8
{b₁= 2
q²-1
{b₁= 8
q⁴-q²
2 = 8
q²-1 q⁴-q²
2*4 = 8
4(q²-1) q⁴-q²
q≠1 q≠-1
4(q²-1)=q⁴-q²
4q²-4-q⁴+q²=0
-q⁴+5q²-4=0
q⁴-5q²+4=0
Пусть y=q²
y²-5y+4=0
D=25-16=9
y₁=5-3= 1
2
y₂=5+3=4
2
При у=1
q²=1
q₁=1 - не подходит
q₂=-1 - не подходит
При y=4
q²=4
q₁=2
q₂=-2
При q=2
b₁= 2 = 2
2²-1 3
b₆=b₁*q⁵ = 2 * 2⁵ = 2⁶
3 3
S₆=b₆*q - b₁ = 2⁶ * 2 - 2 = 2⁷ - 2 = 128 - 2 = 42
q-1 3 3 3 3 3
2-1
При q=-2
b₁= 2 = 2
(-2)²-1 3
b₆ = 2 * (-2)⁵ = -2⁶
3 3
S₆= -2⁶ * (-2) - 2 = 2⁷ - 2 =128-2 = 126 = -14
3 3 3*(-3) -9 -9
-2-1
Ответ: -14 и 42.В геометрической прогрессии b3=12, b6=-96. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.
Решение: Найдем знаменатель:
$$ q= \sqrt[n-m]{ \frac{b_n}{b_m} } = \sqrt[6-3]{ \frac{b_6}{b_3} } = \sqrt[3]{- \frac{96}{12} } = \sqrt[3]{-8} =-2 $$
Найдем $$ b_1 $$
$$ b_1=\frac{b_3}{q^2} = \frac{12}{4} =3 $$
Сумма 5 членов
$$ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\ \\ S_5= \frac{3(1-(-2)^5)}{1+2} =33 $$
Ответ: 33.
...знаменатель не может быть отрицательным...Двенадцатый член геометрической прогрессии равен 1536 четвертый член равен 6 Найдите сумму первых одинадцати членов этой прогрессии.
Решение: Формула энного члена геометрической прогрессии: bn=b1 * q^n-1
значит, формула двенадцатого члена: b12=b1 * q^11
1536=b1 * q^11
формула четвертого члена: b4=b1 * q^3
6=b1 * q^3
теперь, разделим двенадцатый член прогрессии на четвертый член и из этого найдём значение q^8 (т. к при делении степени вычитаются, следовательно 11-3=8)
1536:6=256
256=2^8
отсюда q=2
теперь подставим значение q в формулу четвертого члена прогрессии
6=b1 * 2^3
отсюда b1= 0.75
формула суммы n членов геометрической прогрессии: Sn=b1(q^n-1 - 1)/q-1
S11=0/75(2^10 - 1)/2-1
S11=0/75*1023=768Первый член геометрической прогрессии равен 1, сумма третьего и пятого членов - 90. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии. Ответ:121;61
Решение: Так как первый член прогрессии равен 1, формула для n-ного члена будет h^(n-1), где h - шаг (множитель) прогрессии.
Третий член - это h^2
Пятый член - это h^4
Сумма 3-го и 5-го членов:
h^2 + h^4 = 90
Отсюда:
h^2 * (1+h^2) = 90
такое возможно только при h=3: 9*10=90
Поэтому имеем прогрессию: 1, 3, 9, 27, 81,
Сумма 5-ти первых членов равна 121Сумма трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. 1)121 2)81 3)190 4)134 5)145
Решение: Используем формулу n- го члена геометрической прогрессииbn=b1*g^( n-1)
1, 3, 9
так как 1+3+9=13
1*3*9=27
