прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 20
Сумма двух крайних первых шести членов геометрической прогрессии равна 33, а сумма средних членов 12. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии.
Решение: Геометрическая прогрессия это последовательность чисел где каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число (q) называемое знаменателем.
===
формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
===
a(n) = a1q^(n − 1)
===
q^(n − 1)=a(n)/а1q=корень степени (n − 1) из [a(n)/а1]q=корень степени (2 − 1) из [36/54] =корень степени (1) из [0,67] = 0,6667тогда1) Sn=a1*(q^6-1)/(q-1)S6=54*(0,6667^6-1)/(0,6667-1)=148
===
2) a(n) = a1q^(n − 1)а(3)=54*0,6667^(3 − 1)=24а(4)=54*0,6667^(4 − 1)=16а(5)=54*0,6667^(5 − 1)=11а(6)=54*0,6667^(6 − 1)=7
===
Тогда: а1+а2+а3+а4+а5+а6=54+36+24+16+11+7=148
Ответ: сумма первых шести членов геометрической прогрессииравна 148
===
Разность между шестым и четвертым членами геометрической прогрессии равна 72, а между пятым и третьим равна 36. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.
765 684 823 129
Решение: Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:Sn = b₁·(q^n - 1)/(q - 1)
Для 8 членов геометрической прогрессии
S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)
Формула для n-го члена геометрической прогрессии:
bn = b₁·q^(n-1)
n = 6 b₆ = b₁·q⁵
n = 4 b₄ = b₁·q³
n = 3 b₃ = b₁·q²
По условию:
b₆ - b₄ = 72
b₃ - b₁ = 9
или
b₁·q⁵ - b₁·q³ = 72
b₁·q² - b₁ = 9
Преобразуем эти выражения
b₁·q³·(q² - 1) = 72 (1)
b₁·(q² - 1) = 9 (2)
Разделим (1) на (2) и получим
q³ = 8, откуда
q = 2
Из (2) найдём b₁
b₁ = 9/(q² - 1) = 9/(4 - 1) = 3
Подставим q = 2 и b₁ = 3 в S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)
S₈ = 3·(2⁸ - 1)/(2 - 1) = 3·(256 - 1) = 765
Ответ: S₈ = 765
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448,112,28,
Найдите сумму первых четырех её членов.
Решение: Находим знаменатель прогрессии:
$$ q= \frac{b_2}{b_1}= \frac{112}{448}= \frac{1}{4} $$
Находим заданную сумму:
$$ S_n= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} \\\ S_4= \frac{b_1(q^4-1)}{q-1} \\\ S_4= \frac{448\cdot(( \frac{1}{4} )^4-1)}{\frac{1}{4}-1} = \frac{448\cdot( \frac{1}{256} -1)}{\frac{1}{4}-1} = \frac{448\cdot(1- \frac{1}{256} )}{1-\frac{1}{4}} = \\\ = \frac{448\cdot \frac{255}{256} }{\frac{3}{4}} = 448\cdot \frac{255}{256}\cdot\frac{4}{3} =448\cdot \frac{85}{64}=7\cdot 85=595 $$
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии 1029,147,21. Найдите сумму первых 4 ее членов
Решение: Дано: $$ b_1=1029; b_2=-147 $$
Найти: $$ S_4 $$
Решение
Знаменатель:
$$ d= \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{147}{1029} =-0.14 $$
Сумма 4 членов:
$$ S_n= \left \{ {{ \dfrac{b_1(1-d^n)}{1-d}, q eq 1 } \atop {b_1*n, q=1}} \right. \to S_4=900 $$Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии -1024; -256 ;-64. найдите сумму первых 5 ее членов
Решение: Q=b2:b1
q=-256:(-1024)
q=0,25
Формула:
$$ Sn=\frac{-1024(0,25^{5} -1) }{-0,75} $$=.
или лучше так:
$$ S_{n} = \frac{b_{1} -b_{n}q }{1-q} $$
$$ b_{n} =b_{1} *q^{n-1} $$
$$ b_{5} =b_{1} *q^{4} b_{5} =-1024*0,25^{4} =-1024* (\frac{1}{4} ) ^{4} =-1024* \frac{1}{256}=-4. $$
$$ S_{5} = \frac{b_{1} -b_{5}q }{1-q} S_{5} = \frac{-1024-(-4*0,25)}{1-0,25} = \frac{-1023}{0,75} =-1364. $$
Ответ: $$ S_{5} =-1364 $$.Пользуйся формулой суммы геометрической прогрессии. Если по ней трудно, то найди q=b2÷b1
а потом b3*q
и так до 5, потом все сложи
