в геометрической прогрессии первый член равен - страница 19
сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 168, а сумма следующих трех членов равна 21. Найдите сумму первых пяти членов и составьте формулу n-ого члена
Решение: a1 + a2 + a3 = 168a4 + a5 + a6 = 21
Очевидно, что последовательность убывающая.
a2 = a1*q
a3 = a1*q^2
a4 = a1*q^3
a5 = a1*q^4
a6 = a1*q^5
a1 + a1*q + a1*q^2 = 168 (*)
a1*q^3 + a1*q^4 + a1*q^5 = 21
a1* (q^3 + q^4 + q^5) = 21
a1 = 21 / (q^3 + q^4 + q^5)
Подставим в (*):
21 * (1 + q + q^2) / (q^3 + q^4 + q^5) = 168
(1+q + q^2) = 8 (q^3 + q^4 + q^5)
(1+q + q^2) = 8 (1 + q + q^2) * q^3 | : (1 + q + q^2)
1 = 8 * q^3
q^3 = 1/8
q = 1/2
a1 + a1*q + a1*q^2 = 168, подставим q = 1/2
a1 * (1 + 1/2 + 1/4) = 168 | *4
a1 * (4 + 2 + 1) = 168 * 4
a1 * 7 = 7 * 24 * 4
a1 = 24 * 4 = 96
a2 = 96/2 = 48
a3 = 24
a4 = 12
a5 = 6
a6 = 3 и т. д.
an = a(n-1) * 1/2
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 168 + 21 - a6 = 189 - 3 = 186
Ответ: Сумма первых пяти членов равна 186, формула н-ного члена an = a(n-1) * 1/2.
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии, все члены которой положительны, равна 221. Третий член прогрессии больше первого на 136. Найдите сумму первых шести членов прогрессии
Решение:
Пусть первый член прогрессии равен х, а знаменатель равен у. Тогда второй член прогрессии равен х*у, а третий х*у².Получим систему уравнений х+ху+ху²=221; ху²-х=136. Если уравнения вычесть почленно, то получится 2х+ху=85. Отсюда выразим х=85/(2+у) и подставим во второе уравнение х*(у²-1)=136. После всех преобразований получим квадратное уравнение 85у²-136у-357=0. Решив его найдем знаменатель и первый член прогрессии. Сумму вычисляем по формуле суммы, или просто посчитаем все 6 первых членов и сложим их. Писать все подробно слишком долго. Первый член равен 17, знаменатель 3.
Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10,5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии
Решение: Q > 1
B₁+B₂+B₃=10.5
B₁² * B₂² * B₃²=729
S₇-
B₂=B₁*q
B₃=B₁*q²
{B₁+B₁*q+B₁*q²=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5
{B₁² * B₂² * B₃²=729 {(B₁*B₂*B₃)²=27² {B₁*B₂*B₃=27
{B₁(1+q+q²)=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5 {B₁(1+q+q²)=10.5
{B₁ * B₁*q * B₁*q²=27 {B₁³*q³=3³ {B₁*q=3
B₁=3/q
(3/q)*(1+q+q²)=10.5
3(1+q+q²)=10.5q
3+3q+3q²=10.5q
3q²-7.5q+3=0
q²-2.5q+1=0
D=(-2.5)²-4=6.25-4=2.25=1.5²
q₁=(2.5-1.5)/2=1/2=0.5 не подходит, так как q=0.5 <1
q₂=(2.5+1.5)/2=4/2=2
B₁=3/2=1.5
B₇=B₁ * q⁶=1.5 * 2⁶=1.5 * 64=96
S₇= B₁ - B₇*q = 1.5 - 96*2 =1.5-192 = -190.5 = 190.5
1-q 1-2 -1 -1
Ответ: 190,5Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10.5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
Решение: Пусть эти первые члены b/q, b, bq.
b/q + b + bq = 10.5
(b/q)^2 b^2 (bq)^2 = 729
b(1+q+q^2) = 10.5q
b^6 = 729 b = 3
3(1+q+q^2) = 10.5q
1+q+q^2 = 3.5q
q^2 - 2.5q + 1 = 0
2q^2 - 5q + 2 = 0
D = 25 - 4*2*2 = 9
q = (5 +- 3) / 4
q = 2 или q = 1/2
Прогрессия возрастающая, q = 2
Первый член прогрессии b/q = 3/2; знаменатель q = 2
Сумма первых семи членов
3/2 * (2^7 - 1)/(2 - 1) = 381/2решение
1)в1+в2+в3=10.5
2)(в1)^2*(в2)^2*(в3)^2=729==> в1*в2*в3=корень729=27(-27 не подходит, т. к. прогрессия возрастающая)==>
в1^3*д^3=27
в1*д=3-второй член прогрессии
в1+в1*д+в1*д^2=10.5
в1+3+в1*д^2=10.5
в1+в1*д^2=7.5
а)в1(1+д^2)=7/5
б)в1*д=3==>1+д^2=2.5д
д1=2 и д2=0.5(п. к.)
тогда в1=1.5; в2=3 и в3=6
сумма первых семи членов =1.5(2^7-1)/(2-1)=190.5Известны два члена геометрической прогрессии: b3=12.b4=24. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.
Решение: Если это геом. прогрессия, то предыдущий член умножается на какое-то число и получается след. член прогрессии. Найдем это число, достаточно b4/b3=24/12=2Найдем второй член: 12/2=6
Первый член: 6/2=3
Пятый: 24*2=48
Шестой: 48*2=96
Седьмой: 96*2=192
Восьмой: 192*2=384
Девятый: 384*2=768
Десятый: 768*2=1536
Сумма первых десяти членов: 3+6+12+24+48+96+192+384+768+1536=3069
Ответ: 3069
