в геометрической прогрессии первый член равен - страница 13
1) Геометрическая прогрессия (bn) задана первыми двумя членами 2/243; 2/81;. Найти b10.
Решение: $$ b_1=\frac{2}{243}; b_2=\frac{2}{81}; $$
$$ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{2}{81}}{\frac{2}{243}}=3 $$
$$ b_n=b_1q^{n-1};b_{10}=b_1*q^{10-1}=\frac{2}{243}*3^{10-1}=162 $$
$$ b_{10}=162 $$Геометрическая прогрессия (bn), задана условиями: b1=-4, bn+1=2bn. Найдите сумму первых семи ее членов
Решение: Отношение последующего члена прогрессии к предыдущему равно знаменателю прогрессии q. Член с номером n+1, т. е. Bn+1, является последующим по отношению к члену с номером n, т. е. Bn. По условию, q=Bn+1/Bn=2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле Sn=b1*(qⁿ-1)/(q-1). Тогда S7=-4*(2⁷-1)/(2-1)=-4*127=-508. Ответ: -508.1) Последовательность задана условиями с1=-8; с\( c_{n+1} \)=\( c_{n-3} \). Найдите с12.
2) Дана геометрическая прогрессия 3; 6; 12; Найдите сумму первых пяти её членов.
3) Последовательность задана формулой \( a _{n}=68* \frac{(-1)^{n} }{n}. \). Какое из следующих чисел не является членом этой прогрессии. И ПОЧЕМУ?
1)34 2)-4 3) -\( \frac{68}{5} \) 4) \( \frac{68}{7} \)
Решение: 2) Сумма геометрической прогрессии вычисляется (b₁*(1-qⁿ)/(1-q)), где q - знаменатель геометрической прогрессии, n - номер элемента.
Тогда: (3 * (1 - 2⁵)/(1 - 2)) = (3 * 31)/1 = 93.
3) а) Заметим, что 34 - это 68/2, т. е. n в знаменателе = 2, что удовлетворяет условиям.
б) Поделим 68 на -4. Получим -17. 17 должно быть в знаменателе, т. е. n=17. (-1) в нечётной степени равна -1. Удовлетворяет.
в) Аналогично, n = 5, степень нечётная, следовательно, результат отрицательный. Удовлетворяет.
г) Этот пункт не удовлетворяет, поскольку n = 7, а дробь положительная (должна быть отрицательной из-за нечётности 7).Рассматривается геометрическая прогрессия, заданная формулой n-го члена: cn=27*(-1/3) в степени n-1 а) Найдите сумму её первых пяти членов б) Найдите сумму её первых n членов в) Сколько надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную 61/3
Решение: В геометрической прогрессия, заданной формулой n-го члена: cn=27*(-1/3) в степени n-1 :
а₁ = 27 q = -1/3.
б) суммa её первых n членов:
Sn = (a₁*(q^n - 1)) / (q-1).
а) сумму её первых пяти членов:
S₅ = (27*((-1/3)⁵- 1)) / (-1/3-1).= -27,111 / (-4/3) = 20,3333 = 61/3.
в) надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную 61/3 - это число 5 (смотри ответ а).Геометрическая прогрессия задана условиями b1=5, b[n+1]=3[b]. найдите сумму первых четырех её членов.
Решение: b[1]=5b[n+1]=3*b[n]
по соотношению между двумя последовательными членами геометрической прогрессии
b[n+1]=q*b[n]
отсюда знаменатель геометрической прогрессии равен
q=3
Сумма первых n челнов геометрической прогрессии равна
S[n]=b[1]*(q^n-1)/(q-1)
Сумма первых 4 челнов геометрической прогрессии равна
S[4]=5*(3^4-1)/(3-1)=5*80/2=200
(5+15+45+135=200)
Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - геометрическая прогрессия. Найдите ее. И дайте решение.
1)1;3;5;7 2)1;-3;5;-7 3)1;-3;9;-27 4)1;-3;3;-1/3
Решение: Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - геометрическая прогрессия. Найдите ее. И дайте решение.1)1;3;5;7 2)1;-3;5;-7 3)1;-3;9;-27 4)1;-3;3;-1/3
Решение
Геометрическая прогрессия п3
где:
1-й член прогрессии: b1=1
постоянный множитель (знаменатель прогрессии): q=-3
bn=b1*q^(n-1)
b2=1*(-3)^(2-1)=1*(-3)^1=-3
b3=1*(-3)^(3-1)=1*(-3)^2=9
b4=1*(-3)^(24-1)=1*(-3)^3=-27
3)1;-3;9;-27, т. к.q=-3:1=-3 значит b3=-3*-3=9;b4=9*-3=-27
Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - геометрическая прогрессия. Укажите её.
1)1; 2; 3; 5;.2)1; 2; 4; 8;.
3)1; 3; 5; 7;.
4)1; 1/2; 2/3; 3/4;.
Решение: Т. к для того, что бы проверить на самом ли деле перед нами геометрическая прогрессия, нужно взять второй член поделить на первый член и четвертый член поделить на третий, т. е 2:1=8:4 и при этом должно получиться одинаковое число. если так полается то перед нами геометрическая прогрессия.Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - геометрическая прогрессия. Найдите ее. И дайте решение.
1) 1; 1/3; 1/6; 1/9
2) 1; 5; 9;13
3) 1; 3; 9; 27
4) 1; 3; 4; 6
Решение: Геометрическая прогрессия под номером 3так как, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, то есть 3/1=3 мы нашли q, b=1.b2=3
b3=b2*q, получим 3*3=9. b4=b3*q= 9*3=27
1) Начиная с какого номера все члены последовательности xn=3n-2 больше числа А=12 ?
2) Между числами 1 и 8 вставьте два числа так, чтобы они вместе с данными составляли геометрическую прогрессию. В ответе запишите 4 первых члена этой прогрессии
3) bn-геометрическая пргрессия. Известно, что b2+b5=9; b3+b4=6. Найдите b7
4) Дана геометрическая прогрессия bn=3^n-1. Найдите сумму первых 4-х членов этой прогрессии
Решение: 1) xn=3n-2
3n-2>12
3n>14
n>14/3
n=5
2) b1=1; b4=b1*q^3=8
b1q^3/b1=8/1
q^3=8
q=2
b2=b1q=2
b3=b2q=4
1;2;4;8
3) b2+b5=9
b3+b4=6
b1q+b1q^4=9
b1q^2+b1q^3=6
b1q(1+q^3)=9
b1q^2(1+q)=6
b1q(1+q^3)/b1q^2(1+q)=9/6
(1+q)(q^2-q+1)/q(1+q)=3/2
(q^2-q+1)/q=1.5
q^2-q+1=1.5q
q^2-2.5q+1=0
D=6.25-4=2.25
q=(2.5+1.5)/2=4/2=2
q=(2.5-1.5)/2=1/2=0.5
1) q=2:
b1=6/q^2(1+q) = 6/(4*3)=6/12=0.5
b7=b1q^6=0.5*64=32
2) q=0.5:
b1=6/q^2(1+q)=6/(0.25*1.5)=24/1.5=48/3=16
b7=b1q^6=16*2^(-6)=2^4*2^(-6)=2^-2=0.25
Ответ: 32; 0.25
4) bn=3^(n-1)
b1=3^0=1
b2=3^1=3
q=b2/b1=3/1=3
S4=b1*(q^4-1)/(q-1)=1*(81-1)/(3-1)=80/2=40Докажите справедливость формулы методом математической индукции
\( Sn= \frac{b1(q^n-1)}{q-1} \) (формула суммы первых n членов геометрической прогрессии)
Решение: Геометрическая прогрессия
$$ Sn= b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} +. +b_{1} q^{n} $$
Утверждение
$$ Sn= b_{1} \frac{ q^{n+1}-1}{q-1} $$
доказательство по методу полной математической индукции
1. Утверждение справедливо для n = 1:
$$ S_{1} = b_{1} + b_{1}q= b_{1} (1+q) $$
Утверждение для n=1: $$ S_{1} = b_{1} \frac{ q^{2}-1}{q-1} = b_{1} \frac{ (q+1)(q-1)}{q-1} = b_{1} (q+1) $$
2.
2.1 предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k
$$ S_{k} =b_{1} \frac{ q^{k+1} }{q-1} $$
2.2 доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1
$$ S_{k+1} = (b_{1} + b_{1}q + b_{1}q^{2}+.+ b_{1} q^{k}) + b_{1}q^{k+1} = S_{k} +b_{1}q^{k+1} $$
доказательство, что $$ S_{k+1} =b_{1} \frac{ q^{k+2} }{q-1} $$ :
$$ S_{k+1} = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1} $$
$$ \\ = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1} \frac{q-1}{q-1} = b_{1} \frac{(q^{k+1}-1) +(q^{k+1}q -q^{k+1}) }{q-1}= b_{1} \frac{q^{k+2}-1}{q-1} $$
