прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 11
Найдите сумму 6 первых членов геометрической прогрессии если b2=4 иb4=1
Решение: B2=4,b4=1, s6=?
b4=b2.qˇ2,qˇ2=b4/b2, qˇ2=1/4, q=1/2
s6=b1.(qˇ6-1)/q-1
b1=b2/q=4/(1/2)=8
s6=8.(1/64-1)/(1/2-1)=8.(-63/64)/(-1/2)=
=(-63/8)/(-1/2)=(63/8).2=63/4(bn) - геометрическая прогрессия.
Дано:
b2 = 4
b4 = 1
Найти: S6 -
Решение:
Sn = (bn*q - b1) / (q-1)
bn = b1 * qⁿ-¹
q = b2 : b1
b4 = b2 * q²
q² = b4 : b2
q² = 1 : 4 = 0,25
q = √0,25 = 0,5
b2 = b1 * q
b1 = 4 : 0,5 = 8
b6 = b4 * q² = 1 * 0,25 = 0,25
S6 = (0,25*0,5 - 8) / (0,5 - 1)
S6 = (-7,875) / (-0,5) = 15,75
Ответ: S6 = 15,75.
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, третий член которой равен 3, а пятый равен 27
Решение: найдем четвертый член геометрической прогрессии: $$ b_{4} = \sqrt{b_{3}} * b_{5} \\ b_{4} = 9 $$знаменатель прогрессии: $$ \frac{b_{4}}{b_{3}} = 3$$
первый член прогрессии: $$ \frac{1}{3} $$
тогда сумма равна:
$$ S_{5} = \frac{b_{1}*(q^{5}-1)}{q-1} $$
$$ S_{5} = \frac{\frac{1}{3} * (3^{5}-1)}{3-1} $$
$$ S_{5} = \frac{\frac{1}{3}*242}{2} $$
$$ S_{5} = \frac{121}{3} = 40\frac{1}{3} $$
Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что b3=0,05 и b5=0,45
Решение: $$ b_3=0,05\; ;\; \; b_5=0,45\\\\b_5=b_3\cdot q^2\; \; \to \; \; q^2= \frac{b_5}{b_3} = \frac{0,45}{0,05} =9\; \; \to \; \; q=\pm 3\\\\1)\; \; \; q=3\\\\b_3=b_1\cdot q^2\; \; \to \; \; b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{0,05}{9}=\frac{5}{900}=\frac{1}{180}\\\\S_8=\frac{b_1(1-q^8)}{1-q}= \frac{\frac{1}{180}(1-3^8)}{1-3} = \frac{(-6560)}{-2\cdot 180}=\frac{328}{18}=\frac{164}{9}\\\\2)\; \; \; q=-3\\\\b_1=\frac{b_3}{q^2}= \frac{0,05}{9}=\frac{1}{180} $$
$$ S_8= \frac{\frac{1}{180}\cdot (1-(-3)^8)}{1-(-3)}= \frac{-6560}{180\cdot 4}= \frac{164}{18}= \frac{82}{9} $$Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии bn, если b1=5 q=2
Решение: 1 способ: выписываем прогрессию.5,10,20,40,80,160,320,640.
Складываем 7 первых членов. 635 - ответ.
2 способ: по формуле S=(b1*(q^7-1))(q-1) = 5*(2^7-1)/(2-1)=5*127/1=635.Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии (bn), если: b3=9; b5=1
Решение: 1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии
b₅=b₁*q⁴
b₃=b₁*q² (1)
b₅/b₃=q²
1/9=q²
q=1/3 или q=1/3
Из уравнения (1) найдем b₁
9=b₁*(1/9)
b₁=81
Теперь найдем сумму пяти членов прогрессии.
S₅=b₁(q⁵-1)/(q-1)
при q=1/3 S₅=81(1/243-1)/(1/3 -1)=81*(1-1/243)/(1-1/3)=81*242/243*3/2=
121
(Можно было посчитать впрямую без формулы: 81+27+9+3+1=121)
При q=-1/3
или применяем формулу. или считаем впрямую. Члены прогрессии в этом случае: 81; -27; 9; -3; 1.
81-27+9-3+1=61.
или S₅=81(-1/243-1)/(-1/3 -1)=81*(1+1/243)/(1+1/3)=81*244/243*3/4=61.
Ответ: 121 или 61.
