прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 11
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии 1029,147,21. найдите сумму первых 4 ее членов.
Решение: Для начала нам нужно найти q(знаменатель).
Нам нужно 21 разделить на (-147).
$$ \frac{21}{-147} =- \frac{1}{7} $$
Теперь найдем сумму по формуле :
$$ S_{n} = \frac{( q^{n}-1)* b_{1} }{q-1} $$
$$ S_{4} = \frac{ ((-\frac{1}{7})^{4}-1)*1029 }{ (-\frac{1}{7}-1) }= \frac{( \frac{1}{2401}-1)*1029 }{ -\frac{8}{7} } $$=
$$ \frac{( \frac{1}{2401}- \frac{2401}{2401})*1029 }{ -\frac{8}{7} }=\\=\frac{( -\frac{2400}{2401} )*1029 }{ -\frac{8}{7} } =\\= \frac{2400*1029*7}{2401*8}=\frac{300*1029 }{343}= 300*3=900 $$
Ответ : 900Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии -375 -75 -15. Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение: $$ B_n=b_1 q^{n-1} $$- формула п-го члена геометрической прогрессии
b1=-375
b2=b1*n=-75
q=(-75)/(-375)=1/5
b3=b2*q=-75*1/5=-15
b4=b3*1/5=-15*1/5=-3
b5=b4*1/5=-3*1/5=-0.6
S5=-375+(-75)+(-15)+(-3)+(-0.6)=-468.6 -сумма первых пяти членов
$$ Sn= \frac{b1( q^{n} -1)}{q-1} =- \frac{375*( 5^{-5}-1) }{ \frac{1}{5} -1} =- \frac{375*( \frac{1}{3125} -1)}{ -\frac{4}{5} } = \frac{375*(- \frac{3124}{3125}) }{0.8}= \\ \\ - \frac{375*3124}{0.8*3125} =- 0.12*3905=-468.6 $$Выписаны первые несколько чисел геометрической прогрессии :-1024; -256; -64; найдите сумму первых 5 её членов
Решение: Найдем знаменатель геометрической прогрессии:
$$ q= \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ q= \frac{-64}{-256}= \frac{1}{4} $$
найдем пятый член прогрессии
$$ b_n=b_1*q^{n-1} \\ b_5=-1024*( \frac{1}{4})^{5-1}=-1024* \frac{1}{256}=-4 $$
найдем сумму пяти членов
$$ S_n= \frac{b_1-b_n*q}{1-q} \\ S_5= \frac{-1024-(-4)* \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4}} = \frac{-1024+1}{ \frac{3}{4}} =-1023* \frac{4}{3}=-1364 $$
сумма трёх первых членов геометрической прогрессии = 35, а сумма их квадратов = 525. найдите сумму 5-ти первых членов прогрессии.
Решение: b1+b2+b3= 35b1^2+b2^2+b3^2=525
b1+b1q+b1q^2=35
b1^2+b1^2q^2+b1^2*q^4=525
b1(1+q+q^2)=35
b1^2(1+q^2+q^4)=525
35/(1+q+q^2)=525/(1+q^2+q^4)
1225/(1+q+q^2)^2=525/(1+q^2+q^4)
(1+q^2+q^4)/(1+q+q^2)^2=1225/525 =49/21
21q^2-21q+21=49q^2+49q+49
|q|=2
b1=5
S5=5(2^5-1)/2-1=5*31= 155
Ответ 155
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -3;9;-27. Найдите сумму первых 6 ее членов.
Решение: В₁=-3
В₂=9
В₃=-27
S₆-
q=B₂/B₁=9/(-3)=-3
Первый способ:
В₄=В₃*q=-27*(-3)=81
B₅=B₄*q=81*(-3)=-243
B₆=B⁵*q=-243*(-3)=729
S₆=B₁+B₂+B₃+B₄+B₅+B₆=
=-3+9-27+81-243+729=546
Второй способ:
В₆=В₁*q⁵=-3*(-3)⁵=3⁶
S₆=B₆*q -B₁ =3⁶*(-3)-(-3)=-3(3⁶-1)=3*(729-1)=3*728=3*182=546
q-1 -3-1 -4 4 4
Ответ: 546.В геометрической прогрессии b20=2/9 q =3/2 найдите b23 2)найдите сумму первых 5 ти членов Г. П. (bn) если b4=3целых 1/2,b5=7
Решение: Можно подробно:
b20 = 2/9 q = 3/2
Имеем b21=2/9 * 3/2 = 1/3
b22 = 1/3 * 3/2 = 1/2
b23 = 1/2 * 3/2 = 3/4
По второй задаче:
q = b5/b4 = 7/(3+1/2) = 2
b3=b4/q = (7/2)/2= 7/4
b2 = (7/4)/2 = 7/8
b1 = (7/8)/2 = 7/16)
Сумма 5 членов:
S=(b1*(q^n-1)) / (q-1) = 7/16* (2^5 -1)/(2-1) = 7*31/16 = 217/16Решение
В геометрической прогрессии b5=81, q=3/4
найдите:
а)первый член прогрессии б)сумму первых пяти членов
Решение: B1 = 256.
S5 = 781.
Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии если известно что первый член равен 9 а сумма трех первых членов равна 58,59
Решение: Решение:
Сумма членов геометрической прогрессии находится по формуле:
Sn=b1*(q^n-1/(q-1)
Нам известен b1=9
n=5
Но неизвестен q
Найдём его из этой же формулы, зная что сумма трёх членов равна: 58,59
58,59=9*(q^3-1)/q-1 q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)
Учитывая, что в числителе и знаменателе есть выражение: (q-1), можно сократить числитель и знаменатель на это выражение, получим:
58,59=9*(q^2+q+1)
58,59=9q^2+9q+9
9q^2+9q+9-58,59=0
9q^2+9q-49,59=0
q1,2=-9+-D/2*9
D=√(81-4*9* -49,59)=√(81+1785,24)=√1866,24=+-43,2
q1,2=(-9+-43,2)/18
q1=(-9+43,2)/18=34,2/18=1,9
q2=(-9-43,2)/18=-52/2/18=-2,9- не соответствует условию задачи.
Теперь можно найти сумму пяти членов:
S=9*(1,9^5-1)/1,9-1=9*(24,76-1)/0,9=213,84/0,9=237,6
Ответ: Сумма пяти членов равна: 237,6
S=9(q³-1)/(q-1)=9(q-1)(q²+q+1)/(q-1)=9(q²+q+1)=58,59
q²+q+1=58,59/9=6,51
q²+q-5,51=0
D=1+22,04=23,04 √D=4,8
q1=(-1-4,8)/2=-2,9
q2=(-1+4,8)/2=1,9
S5=9*(-206,11149)/(-3,9)=475,6419
S5=9*24,76099/0,9=247,6099
Найдите суммы первых 6 членов геометрической прогрессии (bn): b4=-1,b6=-100
Решение: $$ b_4=b_1*q^3=-1 => b_1= \frac{-1}{q^3} \\ b_6=b_1*q^5=-100 => \frac{-1}{q^3} *q^5=-100 \\ q^2=100 $$
Получаем два случая:
1) q=10, тогда b1=-0,001 и сумма первых шести членов:
$$ S_6= \frac{-0,001*(10^6-1)}{10-1}= -0,001*999999/9=-111,111 $$
2) q=-10, тогда b1=0,001 и сумма первых шести членов:
$$ S_6= \frac{0,001*((-10)^6-1)}{-10-1}= 0,001*999999/-11=-90,909 $$
Ответ: -111,111; -90,909
Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 2, а сумма следующих четырех ее членов равна 162. Найдите четвертый член этой прогрессии.
Решение: $$ \left \{ {b_1+b_2+b_3+b_4=2} \atop {b_5+b_6+b_7+b_8=162} \right. => \left \{ {b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=2} \atop {b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=162} \right.=> \\ => \left \{ {b_1(1+q+q^2+q^3)=2} \atop {b_1(q^4+q^5+q^6+q^7)=162} \right. => \frac{b_1(q^4+q^5+q^6+q^7)}{b_1(1+q+q^2+q^3)}= \frac{162}{2} \\ \frac{q^4(1+q+q^2+q^3)}{1+q+q^2+q^3}= 81 => q^4=81 \\ q_1=3 \ q_2=-3 \\ b_1= \frac{1}{1+q+q^2+q^3}= \frac{1}{1+3+9+27}= \frac{1}{20} \\ b_1=\frac{1}{1+q+q^2+q^3}= \frac{1}{1-3+9-27}=-\frac{1}{20} $$
Второй знаменатель и его соотв. первый элемент геом. прогрессии не подходит, потому как элементы все будут отрицательны и не будет удовлетворять нашему условию задачи.
Поэтому:
$$ q=3 \\ b_1= \frac{1}{20} =>b_4=b_1q^3=\frac{1}{20}*27= \frac{27}{20} \\ \\ b_4= \frac{27}{20} $$
