в геометрической прогрессии первый член равен - страница 9
В геометрической прогрессии b8=2,56q=2. найдите сумму первых восьми членов
Решение: Если я правильно понял Вашу запись, то восьмой член прогрессии равен 2.56, а q равен 2. Приступим. b8=b1*q^7 => b1=b8/q^7. b1=0.01. Может способ решения мой не самый удобный, но что-то тянет действовать "в лоб" и тупо найти сумму.получается
сумма первых восьми членов равна = b1 + b1*2 + b1*4 + b1*8 + b1 * 16 + b1 * 32 + b1*64 + b1 * 128 + b1* 256 = b1 (1+2+4+8+16+32+64+128+256) = 0.01 * 511= 5.11.
Ответ: сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна 5.11.
В геометрической прогрессии {an} с положительными членами a2=8,a4=72. найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии
Решение: A₂=8 a₄=72 S₅-
a₂=a₁*q Разделим второе уравнение на первое:
a₄=a₁*q³ (a₁*q³/a₁*q)=72/8 q²=9 q=3 a₁=8/3
S= 8/3*(1-3⁵)/(1-3)=8/3*(-242)/(-2)==8/3*121=968/3=322²/3.Так как $$ a_{n}=a_{1}*q^{n-1} $$, то составим систему
$$ \left \{ {{8=a_{1}*q} \atop {72=a_{1}*q^{3}}} \right. \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{q}} \atop {72=a_{1}*q^3}} \right. $$
Подставим во второе уравнение первое и отдельно его решим
$$ 72=\frac{8}{q}*q^3\\\\72=\frac{8q^3}{q}\\\\72=8q^2|:8\\9=q^2\\q=\sqrt{9}\\q=+-3 $$
вернемся в систему, которая распадается на две
$$ 1. \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{q}} \atop {q=3}} \right. \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{3}} \atop {q=3}} \right. \\2, \left \{ {{a_{1}=\frac{8}{q}} \atop {q=-3}} \right. \left \{ {{a_{1}=-\frac{8}{3}} \atop {q=-3}} \right. $$
Теперь найдем сумму первых пяти членов
при $$ a_{1}=\frac{8}{3}\\q=3 $$
$$ S_{5}=\frac{\frac{8}{3}(1-3^5)}{1-3}=\frac{\frac{8}{3}(1-243)}{-2}=\frac{\frac{-1936}{3}}{-2}=\frac{1936}{3*2}=\frac{968}{3}=322\frac{2}{3} $$
при $$ a_{1}=-\frac{8}{3}\\q=-3 $$
$$ S_{5}=\frac{\frac{-8}{3}(1-(-3)^5)}{1-(-3)}=\frac{\frac{-8}{3}(1+243)}{4}=\frac{\frac{-1952}{3}}{4}=\frac{-1952}{3*4}=\frac{-488}{3}=-162\frac{2}{3} $$
Ответ:$$ S_{5}=322\frac{2}{3} \\S_{5}=-162\frac{2}{3} $$В геометрической прогрессии разность шестого и четвертого членов равна 24, а разность третьего и пятого членов равна 12. найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии
Решение: A6-a4=24⇒a1q^5-a1q^3=24⇒a1q²=(q³-q)=24⇒a1q²=24/(q³-q)
a3-a5=12⇒a1q²-a1q^4=12⇒a1q²(1-q²)=12⇒a1q²=12/(1-q²)
24/q(q²-1)=12/(1-q²)
2/q=-1
q=-2
4a1*(-3)=12
a1=-1B₆ -b₃ =24 ;b₃ -b₅ =12.
-
S₈ -
S₈ =b₁(q⁸-1)/(q-1).
{b₁q⁵ - b₁q³ =24 ; b₁q² - b₁q⁴ =12. ⇔{b₁q³(q² - 1) =24 ; b₁q²(1 -q²) =12.
разделим одно уравнение на другое получаем q = -2.
{q = -2 ; b₁q²(1 -q²) =12.⇔{q = -2 ; b₁*4(1 -4) =12.⇔{ b₁ = -1 ;q =-2.
S₈ =b₁(q⁸-1)/(q-1) = (-1)*( (-2)⁸ -1)/(-2-1) = -255/(-3) = 85.В геометрической прогрессии с положительными членами а2=5 ; а4=20. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии и а3
Решение: B3=10, S6=157,5 b3=из под корня b2+1*b4-1=10, S6=b1(1-q в 6 степени)/(1-q), q=b2/b1 или b4/b3a₂=a₁*q=5
a₄=a₁*q³=20
$$ \frac{a_{1}*q^{3}}{a_{1}*q}=\frac{20}{5} $$
q²=4
q₁=2 q₂=-2
a₁=5/2=2,5 a₁=5/(-2)=-2,5
a₃=2,5*2²=10 a₃=2,5*(-2)²=10
$$ S_{6}=\frac{2,5(1-2^{5})}{1-2}=\frac{2,5(1-32)}{-1}=2,5*31=77,5 $$ $$ S_{6}=\frac{2,5(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}=\frac{2,5(1+32)}{3}=2,5*11=27,5 $$
В геометрической прогрессии с отрицательными членами а3 равен -4 и а5 равен -16. Найдите сумму первых восьми членов.
Решение: Пусть знаменатель равен q, тогда a1 * q^2 = -4, a1 * q^4 = -16, поделим второе на первое:
q^2 = 4 <=> q = 2 или q = -2. Однако при q = -2 половина членов были бы отрицательны, а половина положительны. поэтому q = 2, а а1 = -4 / q^2 = -1. По формуле суммы геом. прогрессии сумма восьми членов равна a1 * (1- q^8) / (1-q) = -1 * (1 - 256) /(1-2) = -255
в геометрической прогрессии разность между третьим и первым членами равна 2, а разность между пятым и третьим равна 8. Найдите сумму первых шести членов
Решение: {b₃ - b₁=2
{b₅ - b₁=8
{b₁*q² - b₁=2
{b₁*q⁴ - b₁*q²=8
{b₁(q²-1) =2
{b₁(q⁴-q²)=8
{b₁= 2
q²-1
{b₁= 8
q⁴-q²
2 = 8
q²-1 q⁴-q²
2*4 = 8
4(q²-1) q⁴-q²
q≠1 q≠-1
4(q²-1)=q⁴-q²
4q²-4-q⁴+q²=0
-q⁴+5q²-4=0
q⁴-5q²+4=0
Пусть y=q²
y²-5y+4=0
D=25-16=9
y₁=5-3= 1
2
y₂=5+3=4
2
При у=1
q²=1
q₁=1 - не подходит
q₂=-1 - не подходит
При y=4
q²=4
q₁=2
q₂=-2
При q=2
b₁= 2 = 2
2²-1 3
b₆=b₁*q⁵ = 2 * 2⁵ = 2⁶
3 3
S₆=b₆*q - b₁ = 2⁶ * 2 - 2 = 2⁷ - 2 = 128 - 2 = 42
q-1 3 3 3 3 3
2-1
При q=-2
b₁= 2 = 2
(-2)²-1 3
b₆ = 2 * (-2)⁵ = -2⁶
3 3
S₆= -2⁶ * (-2) - 2 = 2⁷ - 2 =128-2 = 126 = -14
3 3 3*(-3) -9 -9
-2-1
Ответ: -14 и 42.В геометрической прогрессии b3=12, b6=-96. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.
Решение: Найдем знаменатель:
$$ q= \sqrt[n-m]{ \frac{b_n}{b_m} } = \sqrt[6-3]{ \frac{b_6}{b_3} } = \sqrt[3]{- \frac{96}{12} } = \sqrt[3]{-8} =-2 $$
Найдем $$ b_1 $$
$$ b_1=\frac{b_3}{q^2} = \frac{12}{4} =3 $$
Сумма 5 членов
$$ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\ \\ S_5= \frac{3(1-(-2)^5)}{1+2} =33 $$
Ответ: 33.
...знаменатель не может быть отрицательным...Двенадцатый член геометрической прогрессии равен 1536 четвертый член равен 6 Найдите сумму первых одинадцати членов этой прогрессии.
Решение: Формула энного члена геометрической прогрессии: bn=b1 * q^n-1
значит, формула двенадцатого члена: b12=b1 * q^11
1536=b1 * q^11
формула четвертого члена: b4=b1 * q^3
6=b1 * q^3
теперь, разделим двенадцатый член прогрессии на четвертый член и из этого найдём значение q^8 (т. к при делении степени вычитаются, следовательно 11-3=8)
1536:6=256
256=2^8
отсюда q=2
теперь подставим значение q в формулу четвертого члена прогрессии
6=b1 * 2^3
отсюда b1= 0.75
формула суммы n членов геометрической прогрессии: Sn=b1(q^n-1 - 1)/q-1
S11=0/75(2^10 - 1)/2-1
S11=0/75*1023=768Первый член геометрической прогрессии равен 1, сумма третьего и пятого членов - 90. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии. Ответ:121;61
Решение: Так как первый член прогрессии равен 1, формула для n-ного члена будет h^(n-1), где h - шаг (множитель) прогрессии.
Третий член - это h^2
Пятый член - это h^4
Сумма 3-го и 5-го членов:
h^2 + h^4 = 90
Отсюда:
h^2 * (1+h^2) = 90
такое возможно только при h=3: 9*10=90
Поэтому имеем прогрессию: 1, 3, 9, 27, 81,
Сумма 5-ти первых членов равна 121Сумма трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. 1)121 2)81 3)190 4)134 5)145
Решение: Используем формулу n- го члена геометрической прогрессииbn=b1*g^( n-1)
1, 3, 9
так как 1+3+9=13
1*3*9=27
