прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 7

  • В геометрической прогрессии первый член равен 256, а знаменатель равен 1/4 найдите 6 член прогрессии


    Решение: B1=256;q=1/4 или 0,25
    b2=256*0.25=64
    b3=256*0.25 в квадрате=16
    b4=256*0,25 в кубе=4
    b5=256*0,25 в четвертой степени=1
    b6=256*0,25 в пятой степени=0,25

  • В геометрической прогрессии произведение третьего и пятого её членов равно 7 1/9. Найдите знаменатель прогрессии и сумму первых семи её членов, если b3*b7=28 4/9


    Решение: B₃ * B₅ =7¹/₉ =⁶⁴/₉
    B₃* B₇=28 ⁴/₉=²⁵⁶/₉
    q- S₇-

    B₃=B₁*q²
    B₅=B₁*q⁴
    B₇=B₁*q⁶
      
    {B₁*q² * B₁*q⁴=⁶⁴/₉ {B₁² * q⁶=⁶⁴/₉
    {B₁*q² * B₁*q⁶=²⁵⁶/₉ {B₁² * q⁸=²⁵⁶/₉

    B₁²=⁶⁴/₉ : q⁶ =64
      9q⁶ 
    64 * q⁸ = 256
    9q⁶ 9
    64q² =256
      9 9
    64q²=256
    q²=256
      64
    q²=4
    q₁=2
    q₂=-2
    1) При q=2:
    B₁²= 64 = 1
      9*2⁶ 9
    B₁=¹/₃ или B₁=-¹/₃
    B₇=B₁*q⁶

    a) При B₁=¹/₃ и q=2  B₇=¹/₃*2⁶=⁶⁴/₃
      S₇=B₇q-B₁=⁶⁴/₃ * 2 - ¹/₃ =127 =42 ¹/₃
      q-1 2-1 3
    б) При B₁=-¹/₃ и q=2 B₇=-¹/₃*2⁶=-⁶⁴/₃
      S₇=-⁶⁴/₃ * 2 +¹/₃ =-127 =-42 ¹/₃
      2-1 3

    2) При q=-2
      B₁=¹/₃ или B₁=-¹/₃
     a) При B₁=¹/₃ и q=-2:
      B₇=¹/₃*(-2)⁶=⁶⁴/₃
      S₇=⁶⁴/₃ * (-2) - ¹/₃ =-¹²⁸/₃ - ¹/₃ = -¹²⁹/₃ =129 =14 ³/₉ =14 ¹/₃
      -2-1 -3 -3 9
    б) При B₁=-¹/₃ и q=-2
      B₇=-¹/₃*(-2)⁶=-⁶⁴/₃
      S₇=-⁶⁴/₃ * (-2)+¹/₃ =¹²⁸/₃ + ¹/₃ =¹²⁹/₃ =-129 =-14 ¹/₃
      -2-1 -3 -3 9
    Ответ: 1) при B₁=¹/₃ и q=2 S₇=42 ¹/₃;
      2) при B₁=-¹/₃ и q=2 S₇=-42 ¹/₃;
      3) при B₁=¹/₃ и q=-2 S₇=14 ¹/₃;
      4) при B₁=-¹/₃ и q=-2 S₇=-14 ¹/₃

  • Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что сумма 5 ее первых членов равна 713, а ее знаменатель равен 2


    Решение: Запишем выражение для суммы пяти первых членов(по соответствующей формуле):
    b1 * (q^n - 1)/(q-1) = S
    q - знаменатель прогрессии, b1 - её первый член, а n- количество членов суммирования
    Подставляем всё и находим b1:
    b1 * (2^5 - 1)/(2-1) = 713
    31b1 = 713
    b1 = 23
    Итак, первый член мы нашли.
    Тогда по формуле n-го члена геометрической прогрессии
    b4 = b1 * q^3 = 23 * 2^3 = 23 * 8 = 184
    B1+b1q+b1q^2+b1q^3+b1q^4=713
    b1(1+q+q^2+q^3+q^4)=713
    b1=713/(1+2+4+8+16)=713/31=23
    b4=b1q^3=23*2^3=23*8=184
    Ответ: 184

  • Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяется по формуле Sn=3(в степени n) -1. Найти знаменатель прогрессии и ее первый член


    Решение: Sn=(3^n)-1
    n=1
    S1=3-1=2⇒b1=2
    S2=9-1=8
    Sn=b1(q^n-1)/q-1
    2(q^2-1)/q-1=8
    (q^2-1)/q-1=4
    q^2-1=4q-4
    q^2-4q+3=0
    q=1 искл q=3
    ответ b1=2 q=3

    $$ S_n=3^n-1 $$
    В общем виде формула суммы геометрической прогрессии имеет вид
    $$ S_n= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$
    Попробуем привести данное выражение к подобной форме
    $$ S_n= \frac{1(3^n-1)}{1}=\frac{2(3^n-1)}{3-1} $$
    Сравнивая с общей формулой, видим, что
    знаменатель q=3;
    первый член b₁=2

  • Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии (bn) равна S8=5/32, а знаменатель q= -0,5. Найдите b1.


    Решение: Файл.

    $$ S_8=\frac{5}{32}\;,\; \; q=-0,5=-\frac{1}{2}\\\\S_{n}= \frac{b_1(1-q^{n})}{1-q} \; \; \to \\\\S_{n}(1-q)=b_1(1-q^{n})\\\\b_1= \frac{S_{n}(1-q)}{1-q^{n}} \\\\b_1=\frac{S_8(1-q)}{1-q^8}= \frac{\frac{5}{32}(1+\frac{1}{2})}{1-\frac{1}{2^8}} = \frac{\frac{5}{32}\cdot \frac{3}{2}}{1-\frac{1}{256}} =\\= \frac{5\cdot 3\cdot 256}{32\cdot 2(256-1)} =\frac{5\cdot 3\cdot 4}{255}=\\=\frac{3\cdot 4}{51}=\frac{4}{17} $$

<< < 567 8 9 > >>