в геометрической прогрессии первый член равен - страница 5
Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.
Решение: Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.
S4=b1+b2+b3+b4=b1+b1q+b1q^2+b1q^3
45=b1(1+2+4+8)
45=15b1
b1=3
S8=b1(q^8-1)/(q-1)=3(2^8-1)/(2-1)=3(256-1)=3*255=765$$ S_{n} $$ = $$ \frac{ a_{1(1-q ^{n} )} }{1-q} $$
при n=4 S=45, т. е.:
$$ S_{4}= \frac{a _{1} (1-q ^{4}) }{1-q} $$
откуда
$$ a_{1} = \frac{S _{4}(1-q) }{1- q^{4} } = \frac{45(1-2)}{1- 2^{4} } = \frac{45}{15} =3 $$
Теперь рассчитываем $$ S_{8} $$
$$ S_{8} = \frac{a_{1} (1-q ^{8}) }{1-q} = \frac{3(1- 2^{8}) }{1-2} =3*255=765 $$
Найдите а) первый член б) пятый член геометрической прогрессии у которой знаменатель равен 5, а седьмой член- 62 500
Решение: Дано: \( b_{n}\) - геометрическая прогрессия.
q=5
\( b_{7} \) = -62500
найти:
a) \( b_{1} \)
b) \( b_{5}\)
решение
a) запишем общую формулу нахождения члена геометрической прогрессии $$ b_{n} = b_{1} * q^{n-1} $$
нам известно
$$ b_{n} = - 62500 $$
n = 7
q= 5
подставляем
$$ b_{1} \ * 5^{6} $$ = -62500
$$ b_{1} $$ * 15625 = -62500
$$ b_{1} \\ b_{1} = -4 $$ b) зная \( b_{1} \) найдем \( b_{5} \), подставляем в формулу $$ b_{n} = b_{1} q^{n-1} $$
получаем
$$ b_{5} = -4 * 5^{4} = -4*625 = -2500 $$
Ответ : \( b_{1} = -4\), \( b_{5} = -2500 \)1. Известны два члена геометрической прогрессии: b4=2 и b6=200. Найдите ее первый член.
2. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.
Решение: 1.b4=2 и b6=200.b4=b1*q^3
b6=b1*q^5
2=b1*q^3
200=b1*q^5 разделим это уравнение на первое, получим
100=q^2
q=+10
2=b1*10 2=b1*(-10)
b1=2/10=1/5 b1=2/(-10)=-1/5
Ответ:+1/5.
2.S4=45, q=2, S8= b1(q^8-1)/(q-1)
S4= b1(q^4-1)/(q-1)
45=b1*(2^4-1)/2-1
45=b1*15/1
45=b1*15
b1=45/15
b1=3
S8= b1(q^8-1)/(q-1)
S8=3*(2^8-1)/2-1=3*255/1=765.
(1). Дана геометрическая прогрессия (bn). Найдите b1,q,S4, если bn=3^n-2/3
(2). Найдите такие значения переменной t, при которых числа t-5,2√6t,t+5 образуют геометрическую прогрессию.
(3). Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии(bn) равна 5 знаменатель прогрессии равен 2. Найдите b1 и сумму членов прогрессии с третьего по восьмой включительно.
Решение: 1) $$ b_n=\frac{3^{n-2}}{3}=3^{n-3} $$$$ b_1=3^{1-3}=3^{-2}=\frac{1}{9} $$
$$ q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3^{(n+1)-3}}{3^{n-3}}=\frac{3^{n-2}}{3^{n-3}}=3 $$
$$ S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\frac{1}{9}(3^4-1)}{3-1}=\frac{(81-1)}{9\cdot2}=\frac{40}{9}=4\frac{4}{9} $$
2) $$ b_n^2=b_{n-1}b_{n+1} $$
$$ (2\sqrt{6t})^2=(t-5)(t+5) $$
$$ t^2-24t-25=0 $$
t1=-1, t2=25
3) $$ S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{b_1(2^4-1)}{2-1}=b_1(8-1)=7b_1=5 $$
b1=5/7
$$ S_{3:8}=S_8-S_2=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\frac{b_1(q^2-1)}{q-1}=\frac{b_1}{q-1}(q^8-q^2)=\\=\frac{\frac{5}{7}}{2-1}(2^8-2^2)=\frac{5}{7}\cdot 252=180 $$
Первый член геометрической прогрессии (bn) равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии.
Решение: Геометрическая прогрессия это последовательность чисел где каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число (q) называемое знаменателем.формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии:
a(n) = a1q^(n − 1)
формула для вычисления суммы n членов прогрессии:
Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)
где
а1 - первый член прогрессии
q- знаменатель прогрессии (постоянное число)
n - количество членов прогрессии
А значит:
Sn=6*(2^7-1)/(2-1)=762
Проверим:
6*2=12
12*2=24
24*2=48
48*2=96
96*2=192
192*2=384
6+12+24+48+96+192+384=762
