прогрессия »
найти следующие числа арифметической прогрессии
Три различных числа x y z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа х 2у 3z образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии
Решение: X, y, z образуют геометрическую прогрессию, тогда можно y и z выразить через x: y=x*q z=x*(q^2)
x, 2y, 3z образуют арифметическую прогрессию.
Воспользуемся основным признаком арифметической прогрессии:
2y=(x+3z)/2
Сделаем замену y и z, по принципу, который обозначили выше:
2(x*q)=(x+3*x*(q^2))/2
умножим все уравнение на 2/x
4q=1+3*(q^2)
3*(q^2)-4q+1=0
решая это квадратное уравнение находим два корня:
q=1
q=1/3
q=1 нам не подходит, т. к. в условии сказано, что x,y,z различные числа, значит
искомый знаменатель геометрической прогрессии q=1/3
Ответ: q=1/3
Четыре числа образуют арифметическую прогрессию. Если к третьему числу прибавить 4, до четвертого 16, а остальные цифр оставить без изменений, то получим геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
Решение: Если обозначить члены арифметической прогрессии:
х, х+d, x+2d, x+3d
То после изменений получим члены геометрической прогрессии:
x, x+d, x+2d+4, x+3d+16.
По свойству членов геометрической прогрессии:
(x+d)/x=(x+2d+4)/(x+d)
(x+d)/x=(x+3d+16)/(x+2d+4)
Решаем систему из этих двух уравнений. Перемножим по свойству пропорции и приведем подобные члены, получим систему:
$$ \left \{ {{d^{2}+2d-6x=0 } \atop {d^{2}-4x=0 }} \right. $$
x=d²/4
$$ d^{2}+2d- \frac{3}{2}d^{2} =0 $$
$$ -0.5d^{2} +2d=0 $$
$$ d(-0.5d+2)=0 $$
d=0 - не имеет смысла
d=4.
x=16/4=4.
Получили числа арифметической прогрессии: 4, 8, 12, 16.
Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. сумма их равна 33, а произведение 1287. найти эти числа
Решение: первое число а; второе число а₂=а₁+d; третье число а₃=а₁+2d; тогда по условию задачи 1) а₁+а₁+d+а₁+2d = 3а₁+3d =33 или а₁+d =112) а₁(а₁+d)*(а₁+2d) = 1287
Нужно решить систему из этих двух уравнений из первого уравнения получаем
а₁ = 11 -d тогда (11 -d)*(11)*( 11+d) = 1287 (11 -d)*( 11+d) = 1287;
11 = 117 121 -d² =117 d =±2
Два варинта ответов: 1) если d =2, то а₁ = 11 -d = 9, а₂ =а₁+d = 11 а₃ = а₁+2d = 9+4 =13 прогрессия 9; 11:13
2) если d = -2, то а₁ = 11 -d = 13 а₂ =а₁+d = 11 а₃ = а₁+2d = 11-4 =9 прогрессия 13, 11, 9
Три положительных целых числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найти эти числа если сумма их попарных произведений равна 66
Решение: Пусть первый член а1, а третий а3 выразим их через форму n-ого члена. а2=а1+d а3=а1+2d
а1+а2+а3 = а1+а1 + d + а1 + 2d = 3a 1 + 3d = 1
3a1 + 3 d = 1
a1*a2+a1*a3+a2*a3=a1*(a1+d)+a1*(a1+2d)+(a1+d)
(a1+2d)=a1^2+a1d+a1^2+2a1d+a1^2+2a1d+a1d+d^2=3a1^2+6a1d+d^2=11/36
3a1^2+6a1d+2d^2=11/36
a1=1/3-d
3(1/3-d)^2+6(1/3-d)d+d^2=11/36
1/3-2d+3d^2+2d-6d^2+d^2=11/36
-d^2=11/36-1/3
d=-1/6
a1=1/2
a2=1/3
a3=1/6
Дана арифметическая прогрессия а9=12 d=1,5 найти а1, а 12, выяснить является ли число 4,5 членом прогрессии
Решение: а9=а1+d·(n-1)12= a1 + 1,5· (9-1)
а1 +1,5·8=12
а1=12-12=0
аn= а1+d· (n-1)
an= 12 + 1,5 · (n-1)
4,5= 12 + 1,5n - 1,5
10,5 +1,5n =4,5
1,5n=4,5 -10,5
1,5n= - 6
n = -6/1,5
n= - 4 следовательно, число 4,5 не является членом данной прогрессии. Так как порядковый номер отрицательный, а этого быть не может.
а12=0+1,5· 11 = 16,5
Число -22 является членом арифметической прогрессии 44,38,32. Найти номер этого члена.
Решение: an=a1+d(n-1)d=a2-a1=38-44=-6
a1=44
-22=44-6(n-1)
44-6(n-1)+22=0
-6(n-1)=-66
n-1=11
n=12, значит 12 член данной ариф. прогрессии равен -22.
===============================================
a1=44
d=38-44=-6
an=a1+(n-1)*d
-22=44-6(n-1)
6(n-1)=66
n-1=11
n=12
Ответ:12-ым
3 числа сост. арифметическую прогрессию. их сумма=27
а квадраты этих чисел сост. гелметрическую прогрессию. найти числа.
Решение: $$ x_1eq x_2eq x_3, \\ \left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=27,\\2x_2=x_1+x_3,\\(x_2^2)^2=x_1^2\cdot x_3^2;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=27,\\-x_1+2x_2-x_3=0,\\x_2^2=|x_1|\cdot |x_3|;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=27,\\3x_2=27,\\x_2^2=|x_1|\cdot |x_3|;\end{array}\right. $$
$$ \left\{\begin{array}{c}x_1+9+x_3=27,\\x_2=9,\\9^2=|x_1|\cdot|x_3|;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_1+x_3=18,\\x_2=9,\\|x_1|\cdot|x_3|=81;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_3=18-x_1,\\x_2=9,\\|x_1|\cdot|18-x_1|=81;\end{array}\right. $$
$$ \left\{\begin{array}{c} \left [ {{x_1(18-x_1)=81,} \atop {-x_1(18-x_1)=81;}} \right. \\x_2=9,\\x_3=18-x_1;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c} \left [ {{x_1^2-18x_1+81=0,} \atop {x_1^2-18x_1-81=0;}} \right. \\x_2=9,\\x_3=18-x_1;\end{array}\right. \\ x_1^2-18x_1+81=0, \\ (x_1-9)^2=0, \\ x_1-9=0, \\ x_1=9; \\ x_1=x_2; \\ x_1^2-18x_1-81=0, \\ D_1=9^2+81=2\cdot81, \\ x_{11}=9-9\sqrt{2}, x_{12}=9+9\sqrt{2}; $$
$$ \left\{\begin{array}{c} \left [ {{x_1=9-9\sqrt{2},} \atop {x_1=9+9\sqrt{2};}} \right. \\x_2=9,\\x_3=18-x_1;\end{array}\right. \left [ {{\left\{\begin{array}{c} x_1=9-9\sqrt{2}, \\x_2=9,\\x_3=9+9\sqrt{2};\end{array}\right.} \atop {\left\{\begin{array}{c} x_1=9+9\sqrt{2}, \\x_2=9,\\x_3=9-9\sqrt{2}.\end{array}\right.}} \right. $$
Три числа дают в сумме 18 и образуют арифметическую прогрессию. Если у ним прибавить соответственно 1,3 и 17, то они составляют возрастающую геометр. прогрессию. Найти эти три числа
Решение: Арифметическая прогрессия, значит, каждый следующий член больше предыдущего на определенное число.
а2=а1+d
a3=а1+d+d
_________
a1+а1+d+а1+d+d=18
3a1+3d=18
3*(a1+d)=18
a1+d=18/3
а1+d=6 - второй член арифм. прогрессии
также арифм. прогрессию можно записать как:
а1+а2+а3=18
а1+а3+6=18
а1+а3=12
а1=12-а3(это наша будущая подстановка)
b2=6+3
b2=9 - второй член геометр. прогрессии
теперь воспользуемся свойством геометр. прогрессии
(bn)^2=b(n-1)*b(n+1)
n-1 и n+1 номер члена прогрессии
(b2)^2=(a1+1)*(a3+17)
9^2=(a1+1)*(a3+17)
81=(a1+1)*(a3+17)
теперь вводим систему:
81=(a1+1)*(a3+17)
а1=12-а3
в 1 уравнение подставим второе
81=(12-а3+1)*(a3+17)
81=(13-а3)*(a3+17)
пусть а3=х
81=(13-х)*(х+17)
81=13х +221-х^2-17x
81=-x^2-4x+221
x^2+4x-221+81=0
x^2+4x-140=0
по т. Виета
х1+х2=-4
х1*х2=-140
х1=10
х2=-14 (не подходит,14<6, а3< а2, у насвозрастающая)
10=а3
18=10+6+а1
а1=2
ответ: 2,6,101) между числами 1 и 4 вставьте 10 чисел так чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию2) и найти сумму полученной прогрессии
Решение: если посчитать, то всего образуется 12 членов арифметической прогрессии. Формула арифм. прогр. такова: а1+(n-1)d где а1-первый член прогр,d -разность м/у первым и вторым членом, а n-кол-во членов прогрессии.(здесь их 12)Получаем:10=1+11d
выразим d: d=11/9
Найдем все остальные члены:
а2=1целая11/9(и так далее к каждому последующему прибавляйте 9/11)
Вот и вся задача)
между числами 1 и 4 нужно вставить 10 чисел так, что бы они составляли арифметическую прогрессию. и нужно найти сумму этой прогрессии.
Решение: 1 - это первый член прогрессии, 4 - двенадцатый (т. к. между ними 10 членов). Найдём разность прогрессии:
$$ a_{12}=a_1+11d\\4=1+11d\\11d=3\\d=\frac3{11} $$
Члены прогрессии $$ 1;\;1\frac3{11};\;1\frac6{11};\;1\frac9{11};\;2\frac1{11};\;2\frac4{11};\;2\frac7{11};\;2\frac{10}{11};\;3\frac2{11};\;3\frac5{11};\;3\frac8{11};\;4 $$
Сумма прогрессии:
$$ S_{12}=\frac{a_1+a_n}2\cdot n=\frac{1+4}2\cdot12=\frac52\cdot12=5\cdot6=30 $$
