прогрессия »
найти следующие числа арифметической прогрессии - страница 2
Числа а1, а2, а3 составляют арифметическую прогрессию а их квадраты - геометрическую. Найти эти числа если а1+а2+а3=21.
Решение: Искомую тройку чисел a1 a2 a3 запишем в виде: a-d, a, a+d следовательно 21=(a-d)+a+(a+d)=3a следовательно a=7.Так как числа (7-d)^2,7^2, (7+d)^2 образуют геометрическую прогрессию то:
Цифры каждого из трех трехзначных чисел составляют арифметическую прогрессию, сумма этих чисел 750. Найти трехзначные числа.
Решение: 100a+10(a+d)+a+2d+100b+10(b+k)+b+2k+100m+10(m+n)+m+2n=750
111(a+b+m)+12(d+k+n)=750
a>0;b>0;m>0; a,b,m, Цифры, от 0 до 9
d,k,n - целые от -4 до 4 (шаг)
-12<=d+k+n<=12
750-111*1 нацело на 12 не делится
750-111*2 нацело на 12 делится d+k+n=750:12=44>12
750-111*3 нацело на 12 не делится
750-111*4 нацело на 12 не делится
750 -111*5 нацело на 12 не делится
750-111*6 нацело на 12 делится d+k+n=750:12=7
750-111*7 нацело на 12 не делится
750-111*8 не делится
750-111*9 нацело на 12 не делится
750-111*10 нацело на 12 делится d+k+n=-30<-12
значит a+b+m=6; d+k+n=7
а теперь самое веселое с точностью до перестановки слагаемых
a=1 b=1 m=4 ;
a=1 b=2 m=3
a=2 b=2 m=2
d=0 k=0 n=7
d=0 k=1 n=6
d=0 k=2 n=5
d=0 k=3 n=4
d=1 k=1 n=5
d=1 k=2 n=4
d=1 k=3 n=3
d=2 k=2 m=3
первое число 111*a+12*d
второе число 111*b+12*k
третье число 111*n+12*m
например серия a=1 b=1 m=4 ; и d=0 k=0 n=7
получим числа 111+111+528=750
всего таких троек будет 3*8=24
Числа, которые выражают длины сторон прямоугольного треугольника, создают арифметическую прогрессию. меньший катет равен a. найти площадь треугольника
Решение: Меньший катет = а
больший катет = а+d
гипотенуза = a+2d
d - разность прогрессии
прогрессия возрастающая
по теореме Пифагора: (a+2d)^2=(a+d)^2+a^2
3d^2+2ad-a^2=0
Решаем квадратное уравнение относительно переменной d.
D=16a^2
d1=a/3 d2=-a (не подходит, т. к. прогрессия возрастающая)
S=1/2 * a * (а+d) =1/2 * a * (а+a/3) = (2*a^2)/3
Ответ:(2*a^2)/3
Требуется найти 3-значное число. Его цифры образуют арифметическую прогрессию. Если из него вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, что и искомое, но в обратном порядке. Если же из цифры десятков искомого числа вычесть 2, а остальные не трогать, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию.
Решение: Нужно составить систему, пусть у этого числа х, у,z - соответственно число сотен, десятков и единиц
100х+10у+z-792=100z+10y+x
y-x=z-y
(y-2)/x=z/(y-2)
x-z=8
x+z-2y=0
xz=(y-2)^2
Так как число сотен должно быть меньше 10, то возможны 2 варианта
1) х=8, z=0
Система не совместна
2) х=9, z=1
y=(x+z)/2=10/2=5
Ответ: 951.Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической. Но если после этого увеличить последнее число на 64, то прогрессия снова сделается геометрической. Найти эти числа.
Решение: $$ b_n=[a, b, c]\\b/a=c/b\\\\a_n=[a, b+8, c]\\b+8-a=c-b-8\\\\b_{n_2}=[a, b+8,c+64]\\(b+8)/a=(c+64)/(b+8)\\\\ a=16+2b - c\\c=b^2/a\\b+8=a(c+64)/(b+8)\\(b+8)^2=a(c+64)\\ca=b^2\\b^2+16b+64=b^2+64a\\16b+64-64a=0\\16(b+4-4a)=0\\b+4-4a=0\\b=4a-4\\\\4a-4+8-a=c-4a+4-8\\7a+8-c=0\\7a+8-b^2/a=0\\7a^2+8a-b^2=0\\7a^2+8a-(4a-4)^2=0\\7a^2+8a-(16a^2-32a+16)=0\\-9a^2+40a-16=0\\9a^2-40a+16=0\\a_1=4/9\\a_2=4.\\\\1) a=4\\b=12\\c=36.\\\\2) a=4/9\\b=16/9-4=-20/9\\c=100/9. $$
Ответ: 4, 12, 36, либо $$ \frac{4}{9}, \frac{-20}{9}, \frac{100}{9} $$.Четыре числа составляют арифметическую прогрессию сумма первых трёх=-6, а сумма трех последних=9. Найти эти числа.
Решение: Нам дано:
1. а₁+а₂+а₃=6, но сумму этих трех членов мы можем определить, как: 3/2(а₁+а₃)=6; 3(а₁+а₃)=12,
а₁+а₃ =4, вычтем из первого выражения второе и получим: а₂=2,
2. а₂+а₃+а₄=9, но сумму этих трех членов мы также можем определить, как:
3/2(а₂+а₄)=9; 3(а₂+а₄)=18; а₂+а₄=6;. но а₂=2, тогда а₄=4; а₃= 9-6=3
3. Раз а₁+а₃=4, и а₃=3, то а₁=1
4. наша прогрессия- ряд натуральных чисел: 1,2,3,4,сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 111. второе больше первого в 5 раз. найти первое число.
Решение: a1+a2+a3 = a1 + (a1+d) + (a1 + 2d) = 3(a1+d) = 111(a1+d)/a1 = 5
Из первого a1+d = 111/3
подставим во второе
111/3*a1=5
111=15*a1
a1 = 111/15 = 7,4
$$ a_1-\ a_2=5a_1,\ S_3=111. $$
$$ d=a_2-a_1=5a_1-a_1=4a_1\\a_3=a_2+d=5a_1+4a_1=9a_1 $$
$$ S_3=a_1+a_2+a_3=a_1+5a_1+9a_1=15a_1 $$
$$ 111=15a_1\\a_1=\frac{111}{15}=7.4 $$
Ответ: $$ a_1=7.4 $$Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической, если же второе число увеличить на 1, а третье увеличить на 11, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение: $$ b_{1}, b_{2}, b_{3} $$ - геометрическая прогрессия
$$ b_{1},b_{2}+8, b_{3} $$ - арифметическая прогрессия
$$ b_{1}, b_{2}+1, b_{3}+11 $$ - геометрическая прогрессия
1) $$ b_{2}=b_{1}*q $$
$$ b_{3}=b_{1}*q^{2} $$
2) $$ b_{2}+8= \frac{b_{1}+b_{3}}{2} $$
$$ b_{1}*q+8= \frac{b_{1}+b_{1}*q^{2}}{2} $$
$$ b_{1}=\frac{16}{q^{2}-2q+1} $$
3) $$ \frac{b_{2}+1}{b_{1}}=\frac{b_{3}+11}{b_{2}+1} $$
$$ \frac{b_{1}*q+1}{b_{1}}=\frac{b_{1}*q^{2}+11}{b_{1}*q+1} $$
$$ (b_{1}*q+1)^{2}=b_{1}*(b_{1}*q^{2}+11) $$
$$ b_{1}= \frac{1}{11-2q} $$
4) $$ \frac{16}{q^{2}-2q+1}=\frac{1}{11-2q} $$
$$ 16*(11-2q)=q^{2}-2q+1 $$
$$ 176-32q=q^{2}-2q+1 $$
$$ q^{2}+30q-175=0, D=1600 $$
$$ q_{1}= \frac{-30-40}{2}=-35 $$
$$ q_{2}= \frac{-30+40}{2}=5 $$
5) Если $$ q=-35 $$, то:
$$ b_{1}= \frac{1}{81} $$
$$ b_{2}=-\frac{35}{81} $$
$$ b_{3}=\frac{1225}{81} $$
6) Если $$ q=5 $$, то:
$$ b_{1}=1 $$
$$ b_{2}=5 $$
$$ b_{3}=25 $$
Числа а1, а2, а21 образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше суммы членов с четными номерами. Найти а12, если а20=3а9.
Решение: Т. к. Числа а1, а2, а21 образуют арифметическую прогрессию То:
а20=а1+19d
а9=а1+8d
Т. к. а20=3а9 получим:
а1+19d=3(а1+8d)
а1+19d=3а1+24d
-2a1=5d
a1=-2.5d
Сумма нечетных:
а1+а3+а5+а7+.+а19+а21
шаг в такой последовательности 2d и чисел здесь 11
Sнеч=(а1+а21)*11/2=(a1+a1+20d)*11/2=(2a1+20d)*11/2=(a1+10d)*11=(-2,5d+10d)*11=7.5d*11=82.5d
Сумма четных:
a2+a4+.+a18+a20
шаг в такой последовательности 2d и чисел здесь 10
Sчет=(а1+а20)*10/2=(a1+a1+19d)*5=(2a1+19d)*5=(2*(-2.5d)+19d)*5=(-5d+19d)*5=14d*5=70d
т. к. Sнеч-Sчет=15, то
82.5d-70d=15
12.5d=15
d=15/12.5
d=1.2
Тогда т. к. a1=-2.5d
а1=-2,5*1,2=-3
а12=а1+11d=-3+11*1,2=10,2
Ответ 10,2Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых двух чисел равна 171, а третье больше первого в 6 раз. Найти эти числа.
Решение: пусть это числа а1, а2, а3а1+а2=171,
а3=а1 * 6
а1 + (а1+d)=171,
a1 + 2d=a1 * 6
2*a1 +d=171,
2d=6*a1-a1
2*a1=171-d,
2d=5*a1
2a1=171-2,5*a1,
d=5*a1:2=2,5*a1
4,5a1=171,
d=2,5a1
a1=171:4,5=38
d=2,5*38=95
итак, а1=38
а2=а1+d=38+95=133
а3=a1+2d=38+2*95=38+190=228
ответ:38; 133;228
