прогрессия »
найти следующие числа арифметической прогрессии - страница 2
Число -22 является членом арифметической прогрессии 44,38,32. Найти номер этого члена.
Решение: an=a1+d(n-1)d=a2-a1=38-44=-6
a1=44
-22=44-6(n-1)
44-6(n-1)+22=0
-6(n-1)=-66
n-1=11
n=12, значит 12 член данной ариф. прогрессии равен -22.
===============================================
a1=44
d=38-44=-6
an=a1+(n-1)*d
-22=44-6(n-1)
6(n-1)=66
n-1=11
n=12
Ответ:12-ым
3 числа сост. арифметическую прогрессию. их сумма=27
а квадраты этих чисел сост. гелметрическую прогрессию. найти числа.
Решение: $$ x_1eq x_2eq x_3, \\ \left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=27,\\2x_2=x_1+x_3,\\(x_2^2)^2=x_1^2\cdot x_3^2;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=27,\\-x_1+2x_2-x_3=0,\\x_2^2=|x_1|\cdot |x_3|;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=27,\\3x_2=27,\\x_2^2=|x_1|\cdot |x_3|;\end{array}\right. $$
$$ \left\{\begin{array}{c}x_1+9+x_3=27,\\x_2=9,\\9^2=|x_1|\cdot|x_3|;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_1+x_3=18,\\x_2=9,\\|x_1|\cdot|x_3|=81;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x_3=18-x_1,\\x_2=9,\\|x_1|\cdot|18-x_1|=81;\end{array}\right. $$
$$ \left\{\begin{array}{c} \left [ {{x_1(18-x_1)=81,} \atop {-x_1(18-x_1)=81;}} \right. \\x_2=9,\\x_3=18-x_1;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c} \left [ {{x_1^2-18x_1+81=0,} \atop {x_1^2-18x_1-81=0;}} \right. \\x_2=9,\\x_3=18-x_1;\end{array}\right. \\ x_1^2-18x_1+81=0, \\ (x_1-9)^2=0, \\ x_1-9=0, \\ x_1=9; \\ x_1=x_2; \\ x_1^2-18x_1-81=0, \\ D_1=9^2+81=2\cdot81, \\ x_{11}=9-9\sqrt{2}, x_{12}=9+9\sqrt{2}; $$
$$ \left\{\begin{array}{c} \left [ {{x_1=9-9\sqrt{2},} \atop {x_1=9+9\sqrt{2};}} \right. \\x_2=9,\\x_3=18-x_1;\end{array}\right. \left [ {{\left\{\begin{array}{c} x_1=9-9\sqrt{2}, \\x_2=9,\\x_3=9+9\sqrt{2};\end{array}\right.} \atop {\left\{\begin{array}{c} x_1=9+9\sqrt{2}, \\x_2=9,\\x_3=9-9\sqrt{2}.\end{array}\right.}} \right. $$
Три числа дают в сумме 18 и образуют арифметическую прогрессию. Если у ним прибавить соответственно 1,3 и 17, то они составляют возрастающую геометр. прогрессию. Найти эти три числа
Решение: Арифметическая прогрессия, значит, каждый следующий член больше предыдущего на определенное число.
а2=а1+d
a3=а1+d+d
_________
a1+а1+d+а1+d+d=18
3a1+3d=18
3*(a1+d)=18
a1+d=18/3
а1+d=6 - второй член арифм. прогрессии
также арифм. прогрессию можно записать как:
а1+а2+а3=18
а1+а3+6=18
а1+а3=12
а1=12-а3(это наша будущая подстановка)
b2=6+3
b2=9 - второй член геометр. прогрессии
теперь воспользуемся свойством геометр. прогрессии
(bn)^2=b(n-1)*b(n+1)
n-1 и n+1 номер члена прогрессии
(b2)^2=(a1+1)*(a3+17)
9^2=(a1+1)*(a3+17)
81=(a1+1)*(a3+17)
теперь вводим систему:
81=(a1+1)*(a3+17)
а1=12-а3
в 1 уравнение подставим второе
81=(12-а3+1)*(a3+17)
81=(13-а3)*(a3+17)
пусть а3=х
81=(13-х)*(х+17)
81=13х +221-х^2-17x
81=-x^2-4x+221
x^2+4x-221+81=0
x^2+4x-140=0
по т. Виета
х1+х2=-4
х1*х2=-140
х1=10
х2=-14 (не подходит,14<6, а3< а2, у насвозрастающая)
10=а3
18=10+6+а1
а1=2
ответ: 2,6,101) между числами 1 и 4 вставьте 10 чисел так чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию2) и найти сумму полученной прогрессии
Решение: если посчитать, то всего образуется 12 членов арифметической прогрессии. Формула арифм. прогр. такова: а1+(n-1)d где а1-первый член прогр,d -разность м/у первым и вторым членом, а n-кол-во членов прогрессии.(здесь их 12)Получаем:10=1+11d
выразим d: d=11/9
Найдем все остальные члены:
а2=1целая11/9(и так далее к каждому последующему прибавляйте 9/11)
Вот и вся задача)
между числами 1 и 4 нужно вставить 10 чисел так, что бы они составляли арифметическую прогрессию. и нужно найти сумму этой прогрессии.
Решение: 1 - это первый член прогрессии, 4 - двенадцатый (т. к. между ними 10 членов). Найдём разность прогрессии:
$$ a_{12}=a_1+11d\\4=1+11d\\11d=3\\d=\frac3{11} $$
Члены прогрессии $$ 1;\;1\frac3{11};\;1\frac6{11};\;1\frac9{11};\;2\frac1{11};\;2\frac4{11};\;2\frac7{11};\;2\frac{10}{11};\;3\frac2{11};\;3\frac5{11};\;3\frac8{11};\;4 $$
Сумма прогрессии:
$$ S_{12}=\frac{a_1+a_n}2\cdot n=\frac{1+4}2\cdot12=\frac52\cdot12=5\cdot6=30 $$
