прогрессия »

найти следующие числа арифметической прогрессии - страница 4

  • Четыре числа составляют арифметическую прогрессию сумма первых трёх=-6, а сумма трех последних=9. Найти эти числа.


    Решение: Нам дано:
    1. а₁+а₂+а₃=6, но сумму этих  трех членов мы можем определить, как: 3/2(а₁+а₃)=6; 3(а₁+а₃)=12,
    а₁+а₃ =4, вычтем из первого выражения второе и получим: а₂=2, 
    2. а₂+а₃+а₄=9, но сумму этих трех членов мы также можем определить, как:
    3/2(а₂+а₄)=9; 3(а₂+а₄)=18; а₂+а₄=6;. но а₂=2, тогда а₄=4; а₃= 9-6=3
    3. Раз а₁+а₃=4, и а₃=3, то а₁=1
    4. наша прогрессия- ряд натуральных чисел: 1,2,3,4,

  • сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 111. второе больше первого в 5 раз. найти первое число.


    Решение: a1+a2+a3 = a1 + (a1+d) + (a1 + 2d) = 3(a1+d) = 111

    (a1+d)/a1 = 5

    Из первого a1+d = 111/3

    подставим во второе

    111/3*a1=5

    111=15*a1

    a1 = 111/15 = 7,4

    $$ a_1-\ a_2=5a_1,\ S_3=111. $$
    $$ d=a_2-a_1=5a_1-a_1=4a_1\\a_3=a_2+d=5a_1+4a_1=9a_1 $$
    $$ S_3=a_1+a_2+a_3=a_1+5a_1+9a_1=15a_1 $$
    $$ 111=15a_1\\a_1=\frac{111}{15}=7.4 $$
    Ответ: $$ a_1=7.4 $$

  • Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической, если же второе число увеличить на 1, а третье увеличить на 11, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.


    Решение: $$ b_{1}, b_{2}, b_{3} $$ - геометрическая прогрессия
    $$ b_{1},b_{2}+8, b_{3} $$ - арифметическая прогрессия
    $$ b_{1}, b_{2}+1, b_{3}+11 $$ - геометрическая прогрессия
    1) $$ b_{2}=b_{1}*q $$
    $$ b_{3}=b_{1}*q^{2} $$
    2) $$ b_{2}+8= \frac{b_{1}+b_{3}}{2} $$
    $$ b_{1}*q+8= \frac{b_{1}+b_{1}*q^{2}}{2} $$
    $$ b_{1}=\frac{16}{q^{2}-2q+1} $$
    3) $$ \frac{b_{2}+1}{b_{1}}=\frac{b_{3}+11}{b_{2}+1} $$
    $$ \frac{b_{1}*q+1}{b_{1}}=\frac{b_{1}*q^{2}+11}{b_{1}*q+1} $$
    $$ (b_{1}*q+1)^{2}=b_{1}*(b_{1}*q^{2}+11) $$
    $$ b_{1}= \frac{1}{11-2q} $$
    4) $$ \frac{16}{q^{2}-2q+1}=\frac{1}{11-2q} $$
    $$ 16*(11-2q)=q^{2}-2q+1 $$
    $$ 176-32q=q^{2}-2q+1 $$
    $$ q^{2}+30q-175=0, D=1600 $$
    $$ q_{1}= \frac{-30-40}{2}=-35 $$
    $$ q_{2}= \frac{-30+40}{2}=5 $$
    5) Если $$ q=-35 $$, то:
    $$ b_{1}= \frac{1}{81} $$
    $$ b_{2}=-\frac{35}{81} $$
    $$ b_{3}=\frac{1225}{81} $$
    6) Если $$ q=5 $$, то:
    $$ b_{1}=1 $$
    $$ b_{2}=5 $$
    $$ b_{3}=25 $$

  • Числа а1, а2, а21 образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше суммы членов с четными номерами. Найти а12, если а20=3а9.


    Решение: Т. к. Числа а1, а2, а21 образуют арифметическую прогрессию То:
    а20=а1+19d
    а9=а1+8d
    Т. к. а20=3а9 получим:
    а1+19d=3(а1+8d)
    а1+19d=3а1+24d
    -2a1=5d
    a1=-2.5d
    Сумма нечетных:
    а1+а3+а5+а7+.+а19+а21
    шаг в такой последовательности 2d и чисел здесь 11
    Sнеч=(а1+а21)*11/2=(a1+a1+20d)*11/2=(2a1+20d)*11/2=(a1+10d)*11=(-2,5d+10d)*11=7.5d*11=82.5d
    Сумма четных:
    a2+a4+.+a18+a20
    шаг в такой последовательности 2d и чисел здесь 10
    Sчет=(а1+а20)*10/2=(a1+a1+19d)*5=(2a1+19d)*5=(2*(-2.5d)+19d)*5=(-5d+19d)*5=14d*5=70d
    т. к. Sнеч-Sчет=15, то
    82.5d-70d=15
    12.5d=15
    d=15/12.5
    d=1.2
    Тогда т. к. a1=-2.5d
    а1=-2,5*1,2=-3
    а12=а1+11d=-3+11*1,2=10,2
    Ответ 10,2

  • Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых двух чисел равна 171, а третье больше первого в 6 раз. Найти эти числа.


    Решение: пусть это числа а1, а2, а3

    а1+а2=171,

    а3=а1 * 6

    а1 + (а1+d)=171,

    a1 + 2d=a1 * 6

    2*a1 +d=171,

    2d=6*a1-a1

    2*a1=171-d,

    2d=5*a1

    2a1=171-2,5*a1,

    d=5*a1:2=2,5*a1

    4,5a1=171,

    d=2,5a1

    a1=171:4,5=38

    d=2,5*38=95

    итак, а1=38

    а2=а1+d=38+95=133

    а3=a1+2d=38+2*95=38+190=228

    ответ:38; 133;228

<< < 234 5 > >>