найти следующие числа арифметической прогрессии
Три различных числа x y z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа х 2у 3z образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии
Решение: X, y, z образуют геометрическую прогрессию, тогда можно y и z выразить через x: y=x*q z=x*(q^2)
x, 2y, 3z образуют арифметическую прогрессию.
Воспользуемся основным признаком арифметической прогрессии:
2y=(x+3z)/2
Сделаем замену y и z, по принципу, который обозначили выше:
2(x*q)=(x+3*x*(q^2))/2
умножим все уравнение на 2/x
4q=1+3*(q^2)
3*(q^2)-4q+1=0
решая это квадратное уравнение находим два корня:
q=1
q=1/3
q=1 нам не подходит, т. к. в условии сказано, что x,y,z различные числа, значит
искомый знаменатель геометрической прогрессии q=1/3
Ответ: q=1/3
Четыре числа образуют арифметическую прогрессию. Если к третьему числу прибавить 4, до четвертого 16, а остальные цифр оставить без изменений, то получим геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
Решение: Если обозначить члены арифметической прогрессии:
х, х+d, x+2d, x+3d
То после изменений получим члены геометрической прогрессии:
x, x+d, x+2d+4, x+3d+16.
По свойству членов геометрической прогрессии:
(x+d)/x=(x+2d+4)/(x+d)
(x+d)/x=(x+3d+16)/(x+2d+4)
Решаем систему из этих двух уравнений. Перемножим по свойству пропорции и приведем подобные члены, получим систему:
$$ \left \{ {{d^{2}+2d-6x=0 } \atop {d^{2}-4x=0 }} \right. $$
x=d²/4
$$ d^{2}+2d- \frac{3}{2}d^{2} =0 $$
$$ -0.5d^{2} +2d=0 $$
$$ d(-0.5d+2)=0 $$
d=0 - не имеет смысла
d=4.
x=16/4=4.
Получили числа арифметической прогрессии: 4, 8, 12, 16.
Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. сумма их равна 33, а произведение 1287. найти эти числа
Решение: первое число а; второе число а₂=а₁+d; третье число а₃=а₁+2d; тогда по условию задачи 1) а₁+а₁+d+а₁+2d = 3а₁+3d =33 или а₁+d =112) а₁(а₁+d)*(а₁+2d) = 1287
Нужно решить систему из этих двух уравнений из первого уравнения получаем
а₁ = 11 -d тогда (11 -d)*(11)*( 11+d) = 1287 (11 -d)*( 11+d) = 1287;
11 = 117 121 -d² =117 d =±2
Два варинта ответов: 1) если d =2, то а₁ = 11 -d = 9, а₂ =а₁+d = 11 а₃ = а₁+2d = 9+4 =13 прогрессия 9; 11:13
2) если d = -2, то а₁ = 11 -d = 13 а₂ =а₁+d = 11 а₃ = а₁+2d = 11-4 =9 прогрессия 13, 11, 9
Три положительных целых числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найти эти числа если сумма их попарных произведений равна 66
Решение: Пусть первый член а1, а третий а3 выразим их через форму n-ого члена. а2=а1+d а3=а1+2d
а1+а2+а3 = а1+а1 + d + а1 + 2d = 3a 1 + 3d = 1
3a1 + 3 d = 1
a1*a2+a1*a3+a2*a3=a1*(a1+d)+a1*(a1+2d)+(a1+d)
(a1+2d)=a1^2+a1d+a1^2+2a1d+a1^2+2a1d+a1d+d^2=3a1^2+6a1d+d^2=11/36
3a1^2+6a1d+2d^2=11/36
a1=1/3-d
3(1/3-d)^2+6(1/3-d)d+d^2=11/36
1/3-2d+3d^2+2d-6d^2+d^2=11/36
-d^2=11/36-1/3
d=-1/6
a1=1/2
a2=1/3
a3=1/6
Дана арифметическая прогрессия а9=12 d=1,5 найти а1, а 12, выяснить является ли число 4,5 членом прогрессии
Решение: а9=а1+d·(n-1)12= a1 + 1,5· (9-1)
а1 +1,5·8=12
а1=12-12=0
аn= а1+d· (n-1)
an= 12 + 1,5 · (n-1)
4,5= 12 + 1,5n - 1,5
10,5 +1,5n =4,5
1,5n=4,5 -10,5
1,5n= - 6
n = -6/1,5
n= - 4 следовательно, число 4,5 не является членом данной прогрессии. Так как порядковый номер отрицательный, а этого быть не может.
а12=0+1,5· 11 = 16,5