прогрессия »

найти следующие числа арифметической прогрессии

  • Три различных числа x y z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа х 2у 3z образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии


    Решение: X, y, z образуют геометрическую прогрессию, тогда можно y и z выразить через x: y=x*q  z=x*(q^2)
    x, 2y, 3z образуют арифметическую прогрессию.
    Воспользуемся основным признаком арифметической прогрессии:
    2y=(x+3z)/2
    Сделаем замену y и z, по принципу, который обозначили выше:
    2(x*q)=(x+3*x*(q^2))/2
    умножим все уравнение на 2/x
    4q=1+3*(q^2)
    3*(q^2)-4q+1=0
    решая это квадратное уравнение находим два корня:
    q=1
    q=1/3
    q=1 нам не подходит, т. к. в условии сказано, что x,y,z различные числа, значит
    искомый знаменатель геометрической прогрессии q=1/3

    Ответ: q=1/3

  • Четыре числа образуют арифметическую прогрессию. Если к третьему числу прибавить 4, до четвертого 16, а остальные цифр оставить без изменений, то получим геометрическую прогрессию. Найти эти числа.


    Решение: Если обозначить члены арифметической прогрессии:
    х, х+d, x+2d, x+3d
    То после изменений получим члены геометрической прогрессии:
    x, x+d, x+2d+4, x+3d+16.
    По свойству членов геометрической прогрессии:
    (x+d)/x=(x+2d+4)/(x+d)
    (x+d)/x=(x+3d+16)/(x+2d+4)
    Решаем систему из этих двух уравнений. Перемножим по свойству пропорции и приведем подобные члены, получим систему:
    $$ \left \{ {{d^{2}+2d-6x=0 } \atop {d^{2}-4x=0 }} \right. $$
     x=d²/4
    $$ d^{2}+2d- \frac{3}{2}d^{2} =0 $$
    $$ -0.5d^{2} +2d=0 $$
    $$ d(-0.5d+2)=0 $$
    d=0 - не имеет смысла
    d=4.
    x=16/4=4.
    Получили числа арифметической прогрессии: 4, 8, 12, 16.

  • Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. сумма их равна 33, а произведение 1287. найти эти числа


    Решение: первое число а; второе число а₂=а₁+d; третье число а₃=а₁+2d; тогда по условию задачи 1) а₁+а₁+d+а₁+2d = 3а₁+3d =33 или а₁+d =11

     2) а₁(а₁+d)*(а₁+2d) = 1287

    Нужно решить систему из этих двух уравнений из первого уравнения получаем

     а₁ = 11 -d тогда (11 -d)*(11)*( 11+d) = 1287 (11 -d)*( 11+d) = 1287;

                                  11 = 117 121 -d² =117 d =±2

    Два варинта ответов: 1) если d =2, то а₁ = 11 -d = 9, а₂ =а₁+d = 11 а₃ = а₁+2d = 9+4 =13 прогрессия 9; 11:13

                                         2) если d = -2, то а₁ = 11 -d = 13 а₂ =а₁+d = 11 а₃ = а₁+2d = 11-4 =9 прогрессия 13, 11, 9

  • Три положительных целых числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найти эти числа если сумма их попарных произведений равна 66


    Решение: Пусть первый член а1, а третий а3 выразим их через форму n-ого члена. а2=а1+d а3=а1+2d
    а1+а2+а3 = а1+а1 + d + а1 + 2d = 3a 1 + 3d = 1 
    3a1 + 3 d = 1 
    a1*a2+a1*a3+a2*a3=a1*(a1+d)+a1*(a1+2d)+(a1+d)
    (a1+2d)=a1^2+a1d+a1^2+2a1d+a1^2+2a1d+a1d+d^2=3a1^2+6a1d+d^2=11/36
    3a1^2+6a1d+2d^2=11/36
    a1=1/3-d
    3(1/3-d)^2+6(1/3-d)d+d^2=11/36
    1/3-2d+3d^2+2d-6d^2+d^2=11/36
    -d^2=11/36-1/3
    d=-1/6
    a1=1/2
    a2=1/3
    a3=1/6

  • Дана арифметическая прогрессия а9=12 d=1,5 найти а1, а 12, выяснить является ли число 4,5 членом прогрессии


    Решение: а9=а1+d·(n-1)

    12= a1 + 1,5· (9-1)

    а1 +1,5·8=12

    а1=12-12=0

    аn= а1+d· (n-1)

    an= 12 + 1,5 · (n-1)

    4,5= 12 + 1,5n - 1,5

    10,5 +1,5n =4,5

    1,5n=4,5 -10,5

     1,5n= - 6

    n = -6/1,5

    n= - 4 следовательно, число 4,5 не является членом данной прогрессии. Так как порядковый номер отрицательный, а этого быть не может.

    а12=0+1,5· 11 = 16,5 

1 2 3 > >>