Возникновение комплексных чисел

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения.

И до этого открытия при решении квадратного уравнения \(x^2 + q = px\) приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из \((\frac{p}{2})^2 - q\), где величина \((\frac{p}{2})^2\) была меньше чем q. Но в таком случае считалось, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в то время (когда даже отрицательные числа считались "ложными") не могло быть и речи. Однако, при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Объясним это подробнее. По правилу Тартальи корень уравнения $$ x^3 = px + q \;\;\; (1)$$ представляется выражением $$ x=\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}, \;\;\; (2) $$ где u и v - решения системы. $$ u+v=q; \;\;\; uv=(\frac{p}{3})^3 \;\;\; (3)$$

Например для уравнения \( x^3 = 9x + 28 (p=9; q=28) \) имеем:

, откуда находим, что либо u=27; v=1, либо u=1; v=27. В обоих случаях \( x=\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{1} =4\) Других действительных корней данное уравнение не имеет.

Но, как заметил уже Кардано, система (3) может не иметь действительных решений, между тем как уравнение (1) имеет действительный и притом положительный корень. Так, урвнение \( x^3 = 15x + 4\) имеет корень x=4, но система $$ u+v=4; \;\;\; uv=125 $$ имеет комплексные корни: u=2+11i, v=2-11i (или u=2-11i, v=2+11i).

На это загадочное явление впервые пролил свет Бомбелли в 1572г. Он указал, что 2+11i есть куб числа 2+i, а 2-11i - куб числа 2-i; значит можно написать \(\sqrt[3]{2+11i} = 2+i;\;\;\; \sqrt[3]{2-11i} = 2-i\), и тогда формула (2) дает x=(2+i)+(2-i)=4.

С этого момента нельзя было игнорировать комплексные числа. Но теория комплексных чисел развивалась медленно: еще в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18 века русский академик Эйлер - один из величайших математиков всех времен и народов.