Определение и свойства комплексных чисел

Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни.Это обстоятельство приводит, естественно к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел.

Не только указанная выше невыполнимость, в некоторых случаях, действия извлечения корня, но и простые геометрические соображения приводят к естественному расширению понятия о числе. Мы и будем руководиться этими геометрическими соображениями при расширении понятия о числе.

Мы знаем, что всякое вещественное число графически можно изобразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, или же как точку на этой оси, если условимся начала всех отрезков помещать в начало координат; обратно - всякому отрезку или точке на оси OX соответствует определенное вещественное число.

Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям OX, OY, то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным.

Если условимся не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует число единица.

Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY, сопоставим символ i, называемый мнимой единицой.

Всякий вектор \(\overrightarrow{MN}\) плоскости может быть представлен как сумма двух векторов \(\overrightarrow{MP}\) и \(\overrightarrow{PN}\), параллельных осям координат. Вектору \(\overrightarrow{MP}\), параллельному оси OX, соответствует некоторое вещественное число a. Вектору \(\overrightarrow{PN}\), параллельному оси OY, пусть соответствует символ bi, где b - вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора \(\overrightarrow{PN}\), и которое будет положительным, если направление \(\overrightarrow{PN}\) совпадает с положительным направлением оси OY, и отрицательным, если направление \(\overrightarrow{PN}\) противоположно положительному направлению OY. Таким образом, естественно, вектору \(\overrightarrow{MN}\) сопоставить комплексное число, имеющее вид

Отметим тот факт, что знак ( + ) в написанном выражении a + bi не является знаком действия. Это выражение надо рассматривать как единый символ для обозначения комплексного числа.

Вещественные числа a и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора \(\overrightarrow{MN}\) на координатные оси.

Отложим от начала координат вектор \(\overrightarrow{OA}\), совпадающий по длине и направлению с вектором \(\overrightarrow{MN}\). Конец этого вектора A будет иметь координаты ( a, b ), и этой точке мы можем сопоставить то же комплексное число a + bi, что и векторам \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{OA}\).

Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости) соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки).

Придавая в выражении a + bi буквам a и b всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел; a называется вещественной и bi - мнимой частью комплексного числа.

В частном случае вектора, параллельного оси OX, комплексное число совпадает со своей вещественной частью:

Таким образом, вещественное число a мы считаем частным случаем комплексного числа.

Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их геометрической интерпретации. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление, т.е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, а потому два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, т.е. условие равенства комплексных чисел будет: