Тригонометрическая форма комплексных чисел

Вместо того, чтобы определить вектор \(\overrightarrow{MN}\) его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиной r и углом φ, который направление \(\overrightarrow{MN}\) образует с положительным направлением оси OX. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами ( a, b ), то r и φ будут, очевидно, полярными координатами этой точки. Как известно, имеют место соотношения: a = r cosφ b = r sinφ $$ r=\sqrt{a^2 +b^2}; \;\; cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2}} \;\; sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \\ \phi = arctg\frac{b}{a} $$

Положительное число r называется модулем, φ - аргументом комплексного числа a + bi. Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого 2π, так как всякий вектор \(\overrightarrow{MN}\) совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки M. В случае r = 0, комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно не определен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемыми, кратными 2p.

Вещественное число имеет аргумент 2Вπ, если оно положительное, и (2В + 1)π, если оно отрицательное, где В - любое целое число. Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым. Соответствующий такому числу вектор параллелен оси OY, и аргумент чисто мнимого числа bi равен \((\frac{\pi}{2}+ 2R\pi ) \), если b > 0 , и \((\frac{3\pi}{2}+ 2R\pi ) \), если b < 0 .

Модуль вещественного числа совпадает с его абсолютным значением. Для обозначения модуля числа a + bi пишут это число между двумя вертикальными чертами:

$$ |a + bi| = \sqrt{a^2 +b^2} $$

Пользуясь приведенными выше формулами для a и b, можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде:

$$ r (cos\phi + i sin\phi) $$

В таком случае говорят, что комплексное число задано в тригонометрической форме.