Комплексные числа: сложение и вычитание

Сумма векторов представляет собой замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:

( a₁+b₁i ) + ( a₂+b₂i ) + ... + ( a_n+b_ni ) = = ( a₁+a₂+ ... +a_n ) + ( b₁+b₂+ ... +b_n )i.

Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон), ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел a_k и сумма вещественных чисел b_k

Пользуясь определением сложения можно утверждать, что комплексное число a + bi, есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi, т.е. a + bi = (a + 0i ) + (0 + bi )

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т.е. разность

x + yi = (a₁ + b₁i ) - (a₂ + b₂i )

определяется из условия

(x + yi ) + (a₂ + b₂i ) = a₁ + b₁i или, x + a₂ = a₁; y + b₂ = b₁, т.е. x = a₁ - a₂; y = b₁ - b₂, и окончательно получаем:

(a₁ + b₁i ) - (a₂ + b₂i ) = (a₁ - a₂ ) + (b₁ - b₂ )i

Вычитание комплексного числа (a₂ + b₂i ), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a₁ + b₁i ) и комплексного числа (-a₂ - b₂i ). Это соответствует следующему: вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, а по направлению ему противоположным.

Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{A_{2}A_{1}}\), начальной точке A₂ которого соответствует комплексное число a₂ + b₂i и концу A₁ - число a₁ + b₁i. Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов \(\overrightarrow{OA_1}\) и \(\overrightarrow{OA_2}\) и, следовательно ему соответствует комплексное число

(a₁ - a₂) + (b₁ - b₂ )i равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу.

Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим:

| a₁ + a₂ | \(\leq\) | a₁ | + | a₂ |, причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы, соответствующие комлексным числам a₁ и a₂, имеют одинаковое направление, т.е. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2π.

Доказанное свойство имеет место и в случае любого числа слагаемых:

| a₁ + a₂ + ... + a_n | \(\leq\) | a₁ | + | a₂ | + ... + | a_n |, т.е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых, причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным 2π.

Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того написать:

| a₁ + a₂ | \(\geq\) | a₁ | - | a₂ |, т.е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противоположны.

Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели выше, к сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь: | a₁ | - | a₂ | \(\leq\) | a₁ - a₂ | \(\leq\) | a₁ | + | a₂ |