Комплексные числа: сложение и вычитание

Сумма векторов представляет собой замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:

( a1+b1i ) + ( a2+b2i ) + ... + ( an+bni ) = = ( a1+a2+ ... +an ) + ( b1+b2+ ... +bn )i.

Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон), ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел ak и сумма вещественных чисел bk

Пользуясь определением сложения можно утверждать, что комплексное число a + bi, есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi, т.е. a + bi = (a + 0i ) + (0 + bi )

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т.е. разность

x + yi = (a1 + b1i ) - (a2 + b2i )

определяется из условия

(x + yi ) + (a2 + b2i ) = a1 + b1i
или, x + a2 = a1; y + b2 = b1, т.е. x = a1 - a2; y = b1 - b2, и окончательно получаем:

(a1 + b1i ) - (a2 + b2i ) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i

Вычитание комплексного числа (a2 + b2i ), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a1 + b1i ) и комплексного числа (-a2 - b2i ). Это соответствует следующему: вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, а по направлению ему противоположным.

вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, а по направлению ему противоположным

Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{A_{2}A_{1}}\), начальной точке A2 которого соответствует комплексное число a2 + b2i и концу A1 - число a1 + b1i. Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов \(\overrightarrow{OA_1}\) и \(\overrightarrow{OA_2}\) и, следовательно ему соответствует комплексное число

(a1 - a2) + (b1 - b2 )i
равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу.

Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим:

| a1 + a2 | \(\leq\) | a1 | + | a2 |,
причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы, соответствующие комлексным числам a1 и a2, имеют одинаковое направление, т.е. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2π.

Доказанное свойство имеет место и в случае любого числа слагаемых:

| a1 + a2 + ... + an | \(\leq\) | a1 | + | a2 | + ... + | an |,
т.е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых, причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным 2π.

Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того написать:

| a1 + a2 | \(\geq\) | a1 | - | a2 |,
т.е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противоположны.

Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели выше, к сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь:
| a1 | - | a2 | \(\leq\) | a1 - a2 | \(\leq\) | a1 | + | a2 |


« назад