Основные свойства неопределенного интеграла

Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его сведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.

  1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

    $$ \frac{d\int f(x)dx}{dx}=f(x) $$
  2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:

    $$ d\int f(x)dx = f(x)dx $$
  3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:

    $$ \int df(x)=f(x)+ Const $$
  4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

    $$ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot \int f(x)dx, \;\; причем \;\;\; a \neq 0 $$
  5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

    $$ \int [f(x)\pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx $$
  6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

    $$ \int [a\cdot f(x)\pm b\cdot g(x)]dx = a\cdot\int f(x)dx\pm b\cdot\int g(x)dx, \;\;\; причем \;\;\; a \neq 0 ˄ b \neq 0 $$
  7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

    $$ Если \int f(x)dx = F(x)dx, \;\;\; то \int f(u(x))du(x) = F(u(x))+Const $$
  8. Свойство:

    $$ Если \int f(x)dx = F(x)dx, \;\;\; то \int f(a\cdot x + b)dx = \frac{1}{a}\cdot F(a\cdot x + b) + Const $$

    Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной.



Рассмотрим пример: $$ \int 4\cdot x^2 - 6\cdot x +19dx =\\= 4\cdot \int x^2dx - 6\cdot\int xdx + \int 19dx =\\= \frac{4x^3}{3} -\frac{6}{2}\cdot x^2 +19x = \frac{4x^3}{3} -\frac{6}{2}\cdot x^2 +19x +Const $$ Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.



« назад