Метод замены переменной в неопределенном интеграле

В основе метода лежит следующее простое свойство неопределенного интеграла:

$$ \int f(x)dx = \left\{ \begin{array}{c}x = g(t)\\dx = g’(t)dt\end{array}\right\} =\\= \int f(g(t)) \cdot g’(t)dt $$

Мы выражаем исходную переменную интегрирования x через новую переменную t и получаем выражение для dx. Затем подставляем полученные выражения в исходный интеграл. Предполагается, что замена подобрана таким образом, что последний интеграл вычислить легче, чем исходный.

Рассмотрим пример:

$$ \int sin^3(x)\cdot cos(x)dx = \left\{ \begin{array}{c}t = sin(x)\\dt = cos(x)dx \end{array}\right\} =\\= \int t^3 dt = \frac{t^4}{4} + Const = \frac{sin^4(x)}{4}+ Const $$

мы ввели новую переменную по формуле:

$$ t = sin(x) $$

затем вычислили величину dt :

$$ dt=(sin(x))’dx = cos(x)dx $$

после этого мы подставили полученные выражения в исходный интеграл:

$$ \int sin^3(x)\cdot cos(x)dx = \int t^3 dt $$

В результате замены переменной, мы получили более простой интеграл:

$$ \int t^3 dt $$

который уже гораздо легче вычислить:

$$ \int t^3 dt = \frac{t^4}{4} $$

после вычисления, мы должны вернуться к старой переменной:

$$ \frac{t^4}{4} = {t=sin(x)} = \frac{sin^4(x)}{4} $$

таким образом, окончательно, получаем:

$$ \int sin^3(x)\cdot cos(x)dx = \frac{sin^4(x)}{4}+ Const $$

Полученный результат всегда можно проверить обратным дифференцированием:

$$ (\frac{sin^4(x)}{4}+ Const)’ = (\frac{sin^4(x)}{4})’ + (Const)’=\\=\frac{1}{4}\cdot(sin^4(x))’ +0=\frac{1}{4}\cdot 4 \cdot sin^3(x) \cdot cos(x) = sin^3(x) cos(x) $$

Рассмотрим еще один пример:

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt[3]{x})} = \left\{ \begin{array}{c}x = t^6\Rightarrow t=\sqrt[6]x \\dx = 6t^5 dt\end{array}\right\} =\\= \int\frac{6t^5 }{\sqrt{t^6}(1+\sqrt[3]{t^6})}dt = \int\frac{6t^5}{t^3(1+t^2)}dt =\\= \int\frac{6t^2}{(1+t^2)}dt = 6\cdot \int (1-\frac{1}{(1+t^2)})dt = 6\cdot (\int dt - \int\frac{dt}{(1+t^2)}) =\\= 6\cdot (t-arctg(t)) + Const = 6\cdot (\sqrt[6]{x}-arctg(\sqrt[6]{x})) + Const $$

« назад