Системы линейных неравенств

Линейные неравенства

Так называются неравенства, левая и правая части которых представляют собой линейные функции относительно неизвестной.величины. К ним относятся, например, неравенства

2x - 1 > - x + 3; 7x < 0;

5 > 4 - 6x; 9 - x < x + 5

и т. д. Для определенности мы рассмотрим лишь неравенства, содержащие знак >. Линейное неравенство, содержащее знак >, имеет вид:

ах + b > сх + d. (1)

Если в неравенстве (1) а =/= с, то такое неравенство называется также неравенством 1-й степени. Очевидно, что всякое неравенство 1-й степени является вместе с тем и линейным неравенством. Обратное утверждение неверно. Например, неравенство 0 • x > - 2 является линейным, но не является неравенством 1-й степени.

Перенося сх из правой части неравенства (1) в левую, а b из левой части в правую, получим:

(а - с) x > d - b.

Таким образом, любое линейное неравенстве сводится к эквивалентному неравенству вида

mх > n, (2)

где m и n - некоторые заданные числа, а x - неизвестная величина.

Если m > 0, то, деля обе части неравенства (2) на m, получим x > n/m. Это соотношение и определяет множество всех тех значений величины x, при которых выполняется неравенство (2). Геометрически это множество изображается в виде той части числовой прямой, которая лежит справа от точки с абсциссой n/m (рис.). Сама точка - в это множество не включается. На рисунке это отмечено стрелочкой, обращенной к точке с абсциссой n/m.

Геометрически это множество изображается в виде той части числовой прямой, которая лежит справа от точки с абсциссой

Если m < 0, то, деля обе части неравенства (2) на m и меняя при этом знак неравенства на противоположный, получаем

x < n/m

Это соотношение определяет множество всех тех значений величины x, при которых в данном случае выполняется неравенство (2). Геометрически это множество изображается в виде той части числовой прямой, которая расположена слева от точки с абсциссой n/m (рис.). Сама точка x = n/m в это множество не включается. На рисунке это отмечено стрелочкой, обращенной к точке с абсциссой n/m.

Теперь предположим, что m = 0. Тогда неравенство (2) принимает вид:

0 • x > n.

Если число n отрицательное, то это неравенство выполняется при всех значениях x. В противном же случае оно не имеет решений.

Мы рассмотрели линейные неравенства, содержащие знак >. Неравенства, содержащие знаки >, < и < , решаются аналогично. Рассмотрим несколько примеров.

1. Решить неравенство

x + 4 > -2x + 3.

Перенося -2x в левую, а 4 в правую часть, получаем 3x > -1, откуда x > -1/3.

На числовой прямой отмечены все те значения x, которые удовлетворяют данному неравенству.

На числовой прямой отмечены все те значения <b><i>x</i></b>, которые удовлетворяют данному неравенству

2. Решить неравенство

3 - 7x > x - 5.

Перенося x в левую, а 3 в правую часть, получим -8x > - 8. Разделим обе части этого неравенства на -8. Поскольку это число отрицательно, то знак неравенства при этом нужно изменить на противоположный. В результате получим x < 1. Множество всех таких значений x отмечено на рисунке 26 (точка x = 1 включается в это множество).

Системы линейных неравенств

Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и ту же неизвестную величину.

Примерами таких систем могут служить системы:

$$ \begin{cases}x-1 > 0\\2x - 8 > 0\end{cases} \\ \begin{cases}1-x < 2x-5\\3-x > -5\end{cases} \\ \begin{cases}14x-3 \leq 7+9x\\1 < x-3\end{cases} $$

Решить систему неравенств - это значит найти все значения неизвестной величины, при которых выполняется каждое неравенство системы.

Решим приведенные выше системы.

Пример 1.

$$ \begin{cases}x-1 > 0\\2x - 8 > 0\end{cases} $$

Расположим одну под другой две числовые прямые (рис.); на верхней отметим те значения x, при которых выполняется первое неравенство (x > 1), а на нижней-те значения x, при которых выполняется второе неравенство (x > 4).

Расположим одну под другой две числовые прямые

Сравнивая результаты на числовых прямых, замечаем, что оба неравенства одновременно будут удовлетворяться при x > 4. Ответ, х > 4.

Пример 2.

$$ \begin{cases}1-x < 2x-5 \\ 3-x > -5\end{cases} $$

Первое неравенство дает -3x < -б, или x > 2, а второе - x > -8, или x < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения x, при которых выполняется первое неравенство системы, а на второй числовой прямой, расположенной под первой, все те значения x, при которых выполняется второе неравенство системы (рис.).

оба неравенства одновременно будут выполняться при всех значениях <b><i>x</i></b>, заключенных от 2 до 8

Сравнение этих двух результатов показывает, что оба неравенства одновременно будут выполняться при всех значениях x, заключенных от 2 до 8. Множество таких значений x записывается в виде двойного неравенства 2 < x < 8.

Пример 3. Решить систему неравенств

$$ \begin{cases}14x - 3 \leq 7+9x \\ 1 < x-3 \end{cases} $$

Первое неравенство системы дает 5x < 10, или x < 2, второе x > 4. Таким образом, любое число, удовлетворяющее обоим неравенствам одновременно, должно быть не больше 2 и больше 4.

число, удовлетворяющее обоим неравенствам одновременно, должно быть не больше 2 и больше 4

Но таких чисел не существует. Поэтому данная система неравенств не выполняется ни при каких значениях x. Подобные системы неравенств называются несовместными.



« назад