Системы линейных неравенств

Линейные неравенства

Так называются неравенства, левая и правая части которых представляют собой линейные функции относительно неизвестной.величины. К ним относятся, например, неравенства

2x - 1 > - x + 3; 7x < 0;

5 > 4 - 6x; 9 - x < x + 5

и т. д. Для определенности мы рассмотрим лишь неравенства, содержащие знак >. Линейное неравенство, содержащее знак >, имеет вид:

ах + b > сх + d. (1)

Если в неравенстве (1) а =/= с, то такое неравенство называется также неравенством 1-й степени. Очевидно, что всякое неравенство 1-й степени является вместе с тем и линейным неравенством. Обратное утверждение неверно. Например, неравенство 0 • x > - 2 является линейным, но не является неравенством 1-й степени.

Перенося сх из правой части неравенства (1) в левую, а b из левой части в правую, получим:

(а - с) x > d - b.

Таким образом, любое линейное неравенстве сводится к эквивалентному неравенству вида

mх > n, (2)

где m и n - некоторые заданные числа, а x - неизвестная величина.

Если m > 0, то, деля обе части неравенства (2) на m, получим x > ⁿ/_m. Это соотношение и определяет множество всех тех значений величины x, при которых выполняется неравенство (2). Геометрически это множество изображается в виде той части числовой прямой, которая лежит справа от точки с абсциссой ⁿ/_m (рис.). Сама точка - в это множество не включается. На рисунке это отмечено стрелочкой, обращенной к точке с абсциссой ⁿ/_m.

Если m < 0, то, деля обе части неравенства (2) на m и меняя при этом знак неравенства на противоположный, получаем

x < ⁿ/_m

Это соотношение определяет множество всех тех значений величины x, при которых в данном случае выполняется неравенство (2). Геометрически это множество изображается в виде той части числовой прямой, которая расположена слева от точки с абсциссой ⁿ/_m (рис.). Сама точка x = ⁿ/_m в это множество не включается. На рисунке это отмечено стрелочкой, обращенной к точке с абсциссой ⁿ/_m.

Теперь предположим, что m = 0. Тогда неравенство (2) принимает вид:

0 • x > n.

Если число n отрицательное, то это неравенство выполняется при всех значениях x. В противном же случае оно не имеет решений.

Мы рассмотрели линейные неравенства, содержащие знак >. Неравенства, содержащие знаки >, < и < , решаются аналогично. Рассмотрим несколько примеров.

1. Решить неравенство

x + 4 > -2x + 3.

Перенося -2x в левую, а 4 в правую часть, получаем 3x > -1, откуда x > -¹/₃.

На числовой прямой отмечены все те значения x, которые удовлетворяют данному неравенству.

2. Решить неравенство

3 - 7x > x - 5.

Перенося x в левую, а 3 в правую часть, получим -8x > - 8. Разделим обе части этого неравенства на -8. Поскольку это число отрицательно, то знак неравенства при этом нужно изменить на противоположный. В результате получим x < 1. Множество всех таких значений x отмечено на рисунке 26 (точка x = 1 включается в это множество).

Системы линейных неравенств

Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и ту же неизвестную величину.

Примерами таких систем могут служить системы:

Решить систему неравенств - это значит найти все значения неизвестной величины, при которых выполняется каждое неравенство системы.

Решим приведенные выше системы.

Пример 1.

Расположим одну под другой две числовые прямые (рис.); на верхней отметим те значения x, при которых выполняется первое неравенство (x > 1), а на нижней-те значения x, при которых выполняется второе неравенство (x > 4).

Сравнивая результаты на числовых прямых, замечаем, что оба неравенства одновременно будут удовлетворяться при x > 4. Ответ, х > 4.

Пример 2.

Первое неравенство дает -3x < -б, или x > 2, а второе - x > -8, или x < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения x, при которых выполняется первое неравенство системы, а на второй числовой прямой, расположенной под первой, все те значения x, при которых выполняется второе неравенство системы (рис.).

Сравнение этих двух результатов показывает, что оба неравенства одновременно будут выполняться при всех значениях x, заключенных от 2 до 8. Множество таких значений x записывается в виде двойного неравенства 2 < x < 8.

Пример 3. Решить систему неравенств

Первое неравенство системы дает 5x < 10, или x < 2, второе x > 4. Таким образом, любое число, удовлетворяющее обоим неравенствам одновременно, должно быть не больше 2 и больше 4.

Но таких чисел не существует. Поэтому данная система неравенств не выполняется ни при каких значениях x. Подобные системы неравенств называются несовместными.