Рациональные числа и действия над ними

Первой математической операцией, с которой столкнулся человек, был счет предметов. В результате счета предметов получаются целые положительные числа, иначе называемые натуральными. Расположенные в порядке возрастания, они образуют натуральный ряд чисел

1, 2, 3, 4.....

После натуральных чисел в математику были введены положительные дроби, то есть числа вида m/n, где m и n - произвольные натуральные числа. Введение этих чисел в математику было вызвано потребностью производить измерения.

Известно, например, что при разливах реки Нила затоплялись огромные земельные участки древних египтян. После того как вода спадала, каждый должен был найти свой участок. Но без умения точно измерять ширину и длину участка сделать это было невозможно.

Для того чтобы показать, каким образом появляются положительные дроби при решении задач измерения, мы напомним, как измеряются прямолинейные отрезки. Из всех отрезков выбирают какой-нибудь один, например АВ (см. рис. 47 ), и объявляют его «единицей длины». Если в измеряемом отрезке CD выбранная единица длины укладывается ровно n раз (на рис. n = 3), то длина отрезка CD выражается числом n.

Если в измеряемом отрезке CD выбранная единица длины укладывается ровно <b><i>n</i></b> раз, то длина отрезка CD выражается числом <b><i>n</i></b>

Но не всегда отрезок АВ, представляющий собой единицу длины, укладывается в измеряемом отрезке целое число раз. Так, например, на рисунке 48 отрезок АВ вдвое длиннее измеряемого отрезка CD. Следовательно, половина отрезка АВ укладывается в CD ровно один раз. Поэтому длина отрезка CD выражается дробным числом 1/2. Вообще, если отрезок, выбранный в качестве единицы длины, в n раз длиннее измеряемого отрезка, то длина последнего выражается числом 1/n. Возможен и такой случай, когда n-я часть единицы длины АВ укладывается в измеряемом отрезке CD ровно m раз (см. рис. 49, на котором n = 3, m = 4). В этом случае длина отрезка CD выражается дробным числом m/n .

Таким образом, введение в математику натуральных чисел и положительных дробей было вызвано практическими потребностями людей. Позднее наряду с этими потребностями стали появляться и потребности теоретического характера. Как известно, натуральные числа и положительные дроби можно складывать и умножать друг на друга. А вот вычесть такие числа одно из другого удается далеко не всегда. Например, разности 5 - 5 и 1/3 - 2 никакими натуральными числами и никакими положительными дробями выразить нельзя. Следовательно, действие вычитания в множестве всех натуральных чисел и положительных дробей, вообще говоря, невыполнимо. Потребности арифметики еще в древние времена поставили перед математикой необходимость ввести в рассмотрение отрицательные целые числа, нуль и отрицательные дроби.

Отрицательные числа мы впервые встречаем в работах китайских математиков II века до н. э. Не исключена возможность, что результаты, содержащиеся в этих работах, были получены еще раньше. В VI -XI веках отрицательными числами свободно пользовались индийские математики. В Европе отрицательные числа стали широко использоваться лишь после работ французского математика Декарта (1596-1650).

После введения отрицательных чисел и нуля математика стала располагать всеми рациональными числами, то есть числами, которые можно представить в виде отношения m/n , где m и n - целые числа, причем n \(\neq\) 0. Сюда входят все целые числа (положительные, отрицательные и нуль):

3 = 3/1 - 6/2 = ..., - 5 = -5/1 = 10/-2 = ..., 0 = 0/1 = 0/2 = ...,

и все дроби (правильные и неправильные, положительные и отрицательные):

1/2 , 10/3 , - 6/5

и т. д.


Действия над рациональными числами

Как известно, две дроби m/n и k/l равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk.

Например, 1/3 = 2/6, так как 1 • 6 = 3 • 2; -5/7 = 10/- 14, поскольку (-5) • (- 14) = 7 • 10; 0/1 = 0/5, так как 0 • 5 = 1 • 0 и т. д.

Очевидно, что для любого целого числа r, не равного 0,

: m/n = m • r/n • r

Это вытекает из очевидного равенства m • (n • r) = n • (m • r). Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов. Например,

5 = 5/1 = -10/-2 = 15/3 и т. д,

-1/7 = 2/-14 = -3/21 =-100/700 и т. д.

0 = 0/1 = 0/-2 = 0/3 = 0/100 и т. д.

В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Напомним, как определяются эти действия.

  • Сумма двух рациональных чисел m/n и k/l определяется формулой: $$ \frac{m}{n}+\frac{k}{l} = \frac{ml+nk}{nl} \;\;\; (1)$$
  • Произведение двух рациональных чисел m/n и k/l определяется формулой: $$ \frac{m}{n} \cdot \frac{k}{l} = \frac{mk}{nl} \;\;\; (2)$$

Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1/3 = 2/6 = 3/9 = ... ) следовало бы показать, что сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители. Например,

1/2 + 1/3 = 2/4 + 3/9 ; 1/2 • 1/3 = 3/6 • 2/6

и т. д.

При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:

  1. коммутативный (или переместительный) закон сложения:

    m/n + k/l = k/l + m/n

  2. ассоциативный (или сочетательный) закон сложения:

    ( m/n + k/l ) + p/q = m/n + ( k/l + p/q)

  3. коммутативный (или переместительный) закон умножения:

    m/n • k/l = k/l • m/n

  4. ассоциативный (или сочетательный) закон умножения:

    ( m/n • k/l ) • p/q = m/n • ( k/l • p/q)

  5. дистрибутивный (или распределительный) закон умножения относительно сложения:

    ( m/n + k/l ) • p/q = m/n • p/q + k/l • p/q

Сложение и умножение являются основными алгебраическими действиями. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к сложению и умножению.

Разностью двух рациональных чисел m/n и k/l называется такое число х, которое в сумме с k/l дает m/n. Другими словами, разность m/n - k/l определяется как корень уравнения

k/l + x = m/n

Можно доказать, что такое уравнение всегда имеет корень и притом только один:

$$ x = \frac{ml-nk}{nl} $$

Таким образом, разность двух чисел m/n и k/l находится по формуле:

$$ \frac{m}{n} - \frac{k}{l} = \frac{ml-nk}{nl} $$

Если числа m/n и k/l равны между собой, то разность их обращается в нуль; если же эти числа не равны между собой, то разность их либо положительна, либо отрицательна. При m/n - k/l > 0 говорят, что число m/n больше числа k/l ; если же m/n - k/l < 0, то говорят, что число m/n меньше числа k/l .

Частным от деления рационального числа m/n на рациональное число k/l называется такое число х, которое в произведении с k/l дает m/n . Другими словами, частное m/n : k/l определяется как корень уравнения

k/l • х = m/n .

Если k/l \(\neq\) 0, то данное уравнение имеет единственный корень

х = ml/nk

Если же k/l = 0, то это уравнение либо совсем не имеет корней (при m/n \(\neq\) 0 ), либо имеет бесконечно много корней (при m/n = 0). Желая сделать операцию деления выполнимой однозначно, условимся не рассматривать вовсе деление на нуль. Таким образом, деление рационального числа m/n на рациональное число k/l определено всегда, если только k/l \(\neq\) 0. При этом

m/n : k/l = ml/nk


Извлечение квадратных корней из рациональных чисел

Как мы знаем, в множестве рациональных чисел всегда выполнимо действие умножения. В частности, определено произведение m/n • m/n. Это произведение, как известно, называется квадратом числа m/n и обозначается (m/n)2:

(m/n)2 = m/n • m/n

Таким образом, если некоторое число является рациональным, то квадрат его еcть также рациональное число. Это число, очевидно, положительно. А теперь поставим обратную задачу: всякое ли положительное рациональное число является квадратом некоторого рационального числа? На языке алгебраических уравнений эта задача может быть сформулирована следующим образом. Дано уравнение

x2 = а,

где а - некоторое положительное рациональное число, а x - неизвестная величина. Спрашивается: всегда ли это уравнение имеет р а ц и о н а л ь н ы е корни? Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным. Рациональное число а можно выбрать так, что уравнение x2 = а не будет иметь ни одного рационального корня. В этом нас убеждает, в частности, следующая теорема.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство будем проводить методом от противного. Предположим, что существует рациональное число m/n , квадрат которого равен 2: (m/n)2 = 2.

Если целые числа m и n имеют одинаковые множители, то дробь m/n можно сократить. Поэтому с самого начала мы вправе предположить, что дробь m/n несократима.

Из условия (m/n)2 = 2 вытекает, что

m2 = 2n2 . .

Поскольку число 2n2 четно, то число m2 должно быть четным. Но тогда будет четным и число m. (Докажите это!) Таким образом, m = 2k, где k - некоторое целое число. Подставляя это выражение для m в формулу m2 = 2n2 получаем: 4k2 = 2n2, откуда

n2 =2k2.

В таком случае число n2 будет четным; но тогда должно быть четным и число n. Выходит, что числа m и п четные. А это противоречит тому, что дробь m/n несократима. Следовательно, наше исходное предположение о существовании дроби m/n, удовлетворяющей условию (m/n)2 = 2., неверно. Остается признать, что среди всех рациональных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен 2. Поэтому уравнение

x2 = 2

в множестве рациональных чисел неразрешимо. Аналогичное заключение можно было бы сделать и о многих других уравнениях вида

x2 = а,

где а - положительное целое число. Тем не менее в VIII классе мы неоднократно говорили о корнях таких уравнений. А положительному корню уравнения x2= а мы даже дали специальное название «корень квадратный из числа а» и ввели для него специальное обозначение: √a .

Итак, к рациональным числам √2 не принадлежит. А как же в таком случае можно охарактеризовать √2 ? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним правило для извлечения квадратных корней. Применительно к числу 2 это правило дает:

$$ \sqrt2 = 1,41421... $$

Процесс извлечения корня в данном случае не может закончиться ни на каком шаге. В противном случае √2 был бы равен некоторой конечной десятичной дроби и потому был бы рациональным числом. А это противоречит доказанной выше теореме. Таким образом, при извлечении корня квадратного из 2 получается бесконечная десятичная дробь. Эта дробь не может быть периодической, иначе ее, как и всякую другую бесконечную периодическую дробь, можно было бы представить в виде отношения двух целых чисел. А это также находится в противоречии с доказанной выше теоремой. Таким образом, √2 можно рассматривать как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Итак, к бесконечным непериодическим десятичным дробям нас приводит, например, действие извлечения корней из целых чисел.

В последующих параграфах мы рассмотрим еще одну задачу, которая, вообще говоря, никак не связана с извлечением корней, но которая также приводит нас к бесконечным непериодическим десятичным дробям.