Десятичная дробь - рациональное число

Десятичная форма записи рациональных чисел

На практике обычно пользуются десятичной, формой записи рациональных чисел. Так, вместо 1/2 пишут 0,5; вместо - 3/8 пишут - 0,375; вместо 5/4 пишут 1,25 и т. д. Для простоты в дальнейшем мы будем говорить лишь о положительных и правильных дробях, то есть дробях, заключенных в интервале от 0 до 1.

Чтобы получить десятичную форму записи числа m/n, нужно m «уголком» разделить на n. Как известно из арифметики, в результате такого деления получается либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Проиллюстрируем это на числах 5/16, 1/3 и 29/110.

бесконечная периодическая десятичная дробь

Поэтому

5/16= 0,3125 (конечная десятичная дробь);

1/3 = 0,3333...(бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 3);

29/110 = 0,26363...(бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 63).

Период начинается либо сразу же после запятой (например, 0,333..,), либо после нескольких десятичных знаков, не входящих в период (например, 026363...). Соответственно этому все периодические десятичные дроби разделяются на простые (такие, как 0,333...) и смешанные (такие, как 0,26363...).

Период бесконечной десятичной дроби, которая получается в результате деления целых чисел «уголком», может быть любым натуральным числом; исключается лишь случай, когда он составлен из одних девяток. (На строгом доказательстве этого факта мы останавливаться не будем.) Отметим еще, что любую конечную десятичную дробь можно рассматривать как бесконечную периодическую дробь с периодом 0. Например,

0,37 = 0,370000 ...

6,14 = 6,140000 ...

и т. д. Таким образом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, период которой отличен от 9.

Верно.и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая дробь с периодом, отличным от 9, является рациональным числом.

Напомним известные из арифметики правила обращения периодических десятичных дробей в обыкновенные. Для простоты мы предположим, что все рассматриваемые нами десятичные дроби положительны и меньше единицы.

Правило 1. Для обращения простой периодической, дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятинной дроби, а в знаменателе-число, состоящее, из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде дecятичной дроби.

Например.

0,333333 ... = 3/9 = 1/3 ;

0,454545. ..= 45/99 = 5/11 ;

0,243243243...= 243/999 = 9/37

Правило 2. Для обращения смешанной периодической десятичной дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе взять число, стоящее в десятичной дроби до второго периода, минус число, стоящее в десятичной дроби до первого периода; в знаменателе нужно написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр в исходной десятичной дроби от запятой до первого периода. Например,

$$ 0,453333... = \frac{453-45}{900}=\frac{408}{900}=\frac{34}{75} \\ 0,027454545... = \frac{2745-27}{99000} = \frac{2718}{99000}=\frac{151}{5500} $$

Заметим, что бесконечным периодическим дробям с периодом 9 также можно придать определенный смысл, если формально, используя правила 1 и 2, представить их в виде отношения двух целых чисел. Например, правило 1 дает

$$ 0,999999... =\frac{9}{9}=1 $$ Согласно правилу 2: $$ 0,499999... = \frac{49-4}{90}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}=0,5 \\ 0,679999... =\frac{679-67}{900}=\frac{612}{900}=\frac{68}{100}=0,68 \\ 0,521999... = \frac{5219-521}{9000} =\frac{4698}{9000}=\frac{522}{1000}=0,522 $$

и т. д. Все приведенные здесь бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9 оказались ранными конечным десятичным дробям, которые получаются из данных десятичных дробей, если десятичный знак, стоящий перед первым периодом, увеличить на 1, а все последующие десятичные знаки отбросить. Можно доказать, что это относится не только к рассмотренным, но и к любым другим периодическим десятичным дробям с периодом 9. Отсюда вытекает, что любая конечная десятичная дробь может быть представлена в виде бесконечной периодической дроби двумя различными способами: с периодом 0 и с периодом 9. Например,

0,37 = 0,370000... = 0,369999. . . ;

0,6 = 0,600000... = 0,599999. . . .

Это обстоятельство затрудняет изложение теории бесконечных периодических десятичных дробей. Вот почему в дальнейшем мы условимся совсем не говорить о периодических десятичных дробях с периодом 9, каждый раз заменяя их соответствующими периодическими дробями с периодом 0.

Итак, рациональные числа (и только они) представимы в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А существуют ли бесконечные непериодические десятичные дроби? Вопрос этот решается положительно. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести хотя бы один пример бесконечной непериодической десятичной дроби. Такой пример дает, в частности, дробь

0,101001000100001...

(после запятой выписываются подряд числа 10, 100, 1000, 10000 и т. д.).


Геометрическое представление рациональных чисел

Пусть Δ есть отрезок, принятый за единицу длины, а l - произвольная прямая. Возьмем на ней какую-нибудь точку и обозначим ее буквой О.

Возьмем на ней какую-нибудь точку и обозначим ее буквой О

Каждому положительному рациональному числу m/n поставим в соответствие точку прямой l , лежащую справа от С на расстоянии в m/n единиц длины.

Например, числу 2 будет соответствовать точка А, лежащая справа от О на расстоянии в 2 единицы длины, а числу 5/4 точка В, лежащая справа от О на расстоянии в 5/4 единиц длины. Каждому отрицательному рациональному числу k/l поставим в соответствие точку прямой, лежащую слева от О на расстоянии в | k/l | единиц длины. Так, числу - 3 будет соответствовать точка С, лежащая слева от О на расстоянии в 3 единицы длины, а числу - 3/2 точка D, лежащая слева от О на расстоянии в 3/2 единиц длины. Наконец, рациональному числу «нуль» поставим в соответствие точку О.

Очевидно, что при выбранном соответствии равным рациональным числам (например, 1/2 и 2/4 ) будет отвечать одна и та же точка, а не равным между собой числам различные точки прямой. Предположим, что числу m/n соответствует точка P , а числу k/l точка Q. Тогда, если m/n > k/l, то точка Р будет лежать правее точки Q; если же m/n < k/l, то точка Р будет находиться левее точки Q.

то точка Р будет лежать правее точки Q; если же <b><sup><i>m</i></sup>/</b><sub><i><b>n</b></i></sub> < <b><sup><i>k</i></sup>/</b><sub><i><b>l</b></i></sub>, то точка Р будет находиться левее точки Q.

Итак, любое рациональное число можно геометрически изобразить в виде некоторой, вполне определенной точки прямой.



« назад