Квадратные неравенства

Неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, где a, b и с - заданные числа и а \(\neq\) 0, называются квадратными (или неравенствами второй степени).

В этом параграфе мы ограничимся лишь рассмотрением неравенств вида

ax2 + bx + c > 0.

Такие неравенства лучше всего решать, используя геометрическую иллюстрацию. Рассмотрим отдельно два случая:

а > 0 и а < 0.

Случай 1. а > 0. В этом случае парабола y = ax2 + bx + c направлена вверх.
Если D = b2 - 4ac < 0, то квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней. Значит, парабола y = ax2 + bx + c не пересекает оси х и расположена целиком выше оси х (рис.).

парабола <b><i>y = ax</i></b><sup>2</sup><b><sup> </sup>+ <i>bx + c</i></b> не пересекает оси <b><i>х</i></b> и расположена целиком выше оси <b><i>х </i></b>

Это означает, что в данном случае неравенство ax2 + bx + c > 0 выполняется при любых значениях х.

Если D = b2 - 4ac > 0, то парабола y = ax2 + bx + c пересекает ось х в двух точках (рис.) с абсциссами:

$$ x_1 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

парабола <b><i>y = ax</i></b><sup>2</sup><b><sup> </sup>+ <i>bx + c </i></b>пересекает ось <b><i>х</i></b> в двух точках

Поэтому ax2 + bx + c > 0 при х < x1 а также при х > x2.

Наконец, если D = b2 - 4ac = 0, то трехчлен ax2 + bx + c имеет один корень
х
= -b/2a и, следовательно, представим в виде а ( х + b/2a )2

В этом случае парабола у = ax2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой -b/2a (рис.).

В этом случае парабола <b><i>у</i></b> = <b><i>ax</i></b><sup>2</sup><b><sup> </sup>+ <i>bx + c </i></b> касается оси <b><i>х</i></b> в точке с абсциссой

Поэтому ax2 + bx + c > 0 при всех значениях х, кроме х = -b/2a

Случай 2. а < 0. В этом случае парабола у = ax2 + bx + c направлена вниз.
Если D = b2 - 4ac < 0, то уравнение ax2 + bx + c = 0 не и имеет действительных корней и, значит, парабола у = ax2 + bx + c лежит целиком ниже оси х (рис.).

парабола <b><i> у</i></b> = <b><i>ax</i></b><sup>2</sup><b><sup> </sup>+ <i>bx + c </i></b> лежит целиком ниже оси <b><i>х</i></b>

Поэтому неравенство ax2 + bx + c > 0 не выполняется ни при каких значениях х.

Если D = b2 - 4ac > 0, то парабола у = ax2 + bx + c пересекает ось х в двух точках с абсциссами

$$ x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

парабола <b><i>у</i></b> = <b><i>ax</i></b><sup>2</sup><b><sup> </sup>+ <i>bx + c</i></b> пересекает ось <b><i>х</i></b> в двух точках с абсциссами

В этом случае ax2 + bx + c > 0 при тех значениях х, которые расположены между корнями уравнения ax2 + bx + c = 0, то есть при

x1 < x < x2.

Наконец, если D= b2 - 4ac = 0, то парабола у = ax2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой х = -b/2a (рис.).

парабола <b><i>у</i></b> = <b><i>ax</i></b><sup>2</sup><b><sup> </sup>+ <i>bx + c</i></b> касается оси <b><i>х</i></b> в точке с абсциссой

В этом случае неравенство ax2 + bx + c > 0 не выполняется ни при каких значениях х.

Замечание 1.Из рассмотренного вытекает, что если дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c положителен, то этот трехчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если же дискриминант отрицателен, то все значения квадратного трехчлена имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x2.

Замечание 2. При решении неравенства ax2 + bx + c > 0 нет необходимости точно строить параболу у = ax2 + bx + c (например, совсем не нужно искать вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Достаточно лишь грубо представить себе эту кривую. Единственное, что нужно сделать абсолютно точно, - это найти корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (при D > 0).


Примеры решения квадратных неравенств

Пример 1. Решить неравенство 2x2 + 4x - 6 > 0.

Квадратный трехчлен 2x2 + 4x - 6 имеет два действительных корня x1 = -3, x2 =1. Поэтому парабола у = 2x2 + 4x - 6 пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны -3 и 1. Поскольку коэффициент при x2 больше нуля, парабола у = 2x2 + 4x - 6 направлена вверх (рис.).

пересекает ось <b><i>х</i></b> в двух точках, абсциссы которых равны -3 и 1. Поскольку коэффициент при <b><i>x</i></b><sup>2</sup> больше нуля, парабола

Из рисунка видно, что трехчлен 2x2 + 4x - 6 положителен при х < - 3 и при х >1.

Пример 2. Решить неравенство

- x2 + x - 1 > 0.

Дискриминант квадратного трехчлена - x2 + x - 1 отрицателен: D = -3. Поэтому при всех х значения функции у = - x2 + x - 1 имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x2, то есть минус. Следовательно, неравенство - x2 + x - 1 > 0 не выполняется ни при каких значениях х.

Пример 3. Выяснить, при каких значениях х дробь

$$ \frac{x^2 +2x-3}{2x-x^2} $$

положительна и при каких - отрицательна.

Сначала указанным выше способом определим знаки числителя и знаменателя данной дроби, а затем сравним их.

Числитель x2 + 2x2 - 3 положителен при х < -3 и при х > 1, а отрицателен при
-3 < х < 1 (рис., верхняя числовая ось).

Числитель <b><i>x</i></b><sup>2</sup> + 2<b><i>x</i></b><sup>2 </sup>- 3 положителен при <b><i>х</i></b> < -3 и при <b><i>х</i></b> > 1, а отрицателен при <br>-3 < <b><i>х </i></b>< 1

Знаменатель 2х - x2 положителен при 0 < х < 2 и отрицателен при х < 0 и при х >2 (рис. 90, нижняя числовая ось). Из рисунка 90 видно, что данная дробь будет положительна при - 3 < х < 0 (в этом случае числитель и знаменатель отрицательны) и при
1< x <2 (в этом случае числитель и знаменатель положительны); отрицательной она будет при х <. -3 (числитель положителен, знаменатель отрицателен), при 0 < х < 1 (числитель отрицателен, знаменатель положителен) и при х > 2 (числитель положителен, знаменатель отрицателен).



« назад