Квадратные неравенства
Неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, где a, b и с - заданные числа и а \(\neq\) 0, называются квадратными (или неравенствами второй степени).
В этом параграфе мы ограничимся лишь рассмотрением неравенств вида
ax2 + bx + c > 0.
Такие неравенства лучше всего решать, используя геометрическую иллюстрацию. Рассмотрим отдельно два случая:
а > 0 и а < 0.
Случай 1. а > 0. В этом случае парабола y = ax2 + bx + c направлена вверх.
Если D = b2 - 4ac < 0, то квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней. Значит, парабола y = ax2 + bx + c не пересекает оси х и расположена целиком выше оси х (рис.).
Это означает, что в данном случае неравенство ax2 + bx + c > 0 выполняется при любых значениях х.
Если D = b2 - 4ac > 0, то парабола y = ax2 + bx + c пересекает ось х в двух точках (рис.) с абсциссами:
$$ x_1 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Поэтому ax2 + bx + c > 0 при х < x1 а также при х > x2.
Наконец, если D = b2 - 4ac = 0, то трехчлен ax2 + bx + c имеет один корень
х = -b/2a и, следовательно, представим в виде а ( х + b/2a )2
В этом случае парабола у = ax2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой -b/2a (рис.).
Поэтому ax2 + bx + c > 0 при всех значениях х, кроме х = -b/2a
Случай 2. а < 0. В этом случае парабола у = ax2 + bx + c направлена вниз.
Если D = b2 - 4ac < 0, то уравнение ax2 + bx + c = 0 не и имеет действительных корней и, значит, парабола у = ax2 + bx + c лежит целиком ниже оси х (рис.).
Поэтому неравенство ax2 + bx + c > 0 не выполняется ни при каких значениях х.
Если D = b2 - 4ac > 0, то парабола у = ax2 + bx + c пересекает ось х в двух точках с абсциссами
$$ x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
В этом случае ax2 + bx + c > 0 при тех значениях х, которые расположены между корнями уравнения ax2 + bx + c = 0, то есть при
x1 < x < x2.
Наконец, если D= b2 - 4ac = 0, то парабола у = ax2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой х = -b/2a (рис.).
В этом случае неравенство ax2 + bx + c > 0 не выполняется ни при каких значениях х.
Замечание 1.Из рассмотренного вытекает, что если дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c положителен, то этот трехчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если же дискриминант отрицателен, то все значения квадратного трехчлена имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x2.
Замечание 2. При решении неравенства ax2 + bx + c > 0 нет необходимости точно строить параболу у = ax2 + bx + c (например, совсем не нужно искать вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Достаточно лишь грубо представить себе эту кривую. Единственное, что нужно сделать абсолютно точно, - это найти корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (при D > 0).
Примеры решения квадратных неравенств
Пример 1. Решить неравенство 2x2 + 4x - 6 > 0.
Квадратный трехчлен 2x2 + 4x - 6 имеет два действительных корня x1 = -3, x2 =1. Поэтому парабола у = 2x2 + 4x - 6 пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны -3 и 1. Поскольку коэффициент при x2 больше нуля, парабола у = 2x2 + 4x - 6 направлена вверх (рис.).
Из рисунка видно, что трехчлен 2x2 + 4x - 6 положителен при х < - 3 и при х >1.
Пример 2. Решить неравенство
- x2 + x - 1 > 0.
Дискриминант квадратного трехчлена - x2 + x - 1 отрицателен: D = -3. Поэтому при всех х значения функции у = - x2 + x - 1 имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x2, то есть минус. Следовательно, неравенство - x2 + x - 1 > 0 не выполняется ни при каких значениях х.
Пример 3. Выяснить, при каких значениях х дробь
$$ \frac{x^2 +2x-3}{2x-x^2} $$положительна и при каких - отрицательна.
Сначала указанным выше способом определим знаки числителя и знаменателя данной дроби, а затем сравним их.
Числитель x2 + 2x2 - 3 положителен при х < -3 и при х > 1, а отрицателен при
-3 < х < 1 (рис., верхняя числовая ось).
Знаменатель 2х - x2 положителен при 0 < х < 2 и отрицателен при х < 0 и при х >2 (рис. 90, нижняя числовая ось). Из рисунка 90 видно, что данная дробь будет положительна при - 3 < х < 0 (в этом случае числитель и знаменатель отрицательны) и при
1< x <2 (в этом случае числитель и знаменатель положительны); отрицательной она будет при х <. -3 (числитель положителен, знаменатель отрицателен), при 0 < х < 1 (числитель отрицателен, знаменатель положителен) и при х > 2 (числитель положителен, знаменатель отрицателен).
