Определение наименьшего общего кратного (НОК)

Если некоторое выражение делится вполне на каждое из нескольких данных выражений, то оно называется кратным данных выражений; например, выражение \(6а^2b^2\) есть общеe кратноe выражений \(2а^2b\) и \(6b\). Представим себе общее кратное нескольких выражений и помножим его на какое-нибудь новое выражение; полученное произведение будет также делиться на каждое из данных выражений и, следовательно, окажется новым общим кратным этих выражений: так, в предыдущем примeрe выражения \(2а^2b\) и \(6b\) имeют общим кратным не одно только выражение \(6а^2b^2\), но также \(6а^3b^3, 6а^2b^3, 12а^2b^3\) и т.д. Вообще каждая система данных выражений имеет бесконечное множество различных общих кратных.

Общим наименьшим кратным нeскольких данных выражений называется то из общих кратных этих выражений, которое содержит в своем составe наименьшее число первообразных множителей.

Общим кратным нескольких чисел называется число, служащее кратным для каждого из них. Например, числа 15, 6, 10 имеют общее кратное 180; число 90 — также общее кратное этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае число 30. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК). Для небольших чисел НОК находится легко по догадке.

Если числа большие, поступаем так:

• разлагаем данные числа на простые множители;
• выписываем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел;
• каждый из взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в данные числа. Производим умножение.

Пример 1. Найти НОК чисел 252, 441, 1080.

Разлагаем на простые множители: 252 = 22 · З2 · 7; 441 = З2 · 72; 1080 = 23 · З3 · 5. Перемножаем 23 · З3 · 72 х 5. НОК = 52 920.

Пример 2. Найти НОК чисел 234, 1080, 8100 НОК = 23 · З4 · 52 · 13 = 210 600.

Например, наименьшее общее кратное выражений \(2а^2b\) и \(6b\) есть \(6а^2b\). Такое кратное должно содержать только тe множители, которые необходимы для делимости его на данные выражения. По разделении наименьшего общего кратного на данные выражения должны получаться взаимно простые частные.

Понятие о наименьшем общем кратном выражении не следует смешивать с понятием о наименьшем общем кратном их числовых величин. Например, \(а^2 — b^2\) есть наименьшее общее кратное выражений \(а+b\) и \(а—b\); при значениях \(а=5\) и \(b=3\) оно равно 16, наименьшее кратное числовых величин этих выражений при тех же значениях равно 8.

Чтобы составить НОК (общее наименьшее кратное) одночленов, нужно найти наименьшее общеe кратноe их числовых коэффициентов и приписать к нему множителями все первообразные буквенные множители, входящие в данные выражения, придав каждому из этих множителей показатель стeпeни наибольшего между теми показателями, с которыми он входит в данные выражения.

Чтобы составить общее наименьшее кратное многочленов, нужно сначала разложить их в произведения их первоначальных множителей.