Основные свойства степени

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени

Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице: \(a^0 = 1\), если a≠0 Например: $$ 112^0 = 1, (−4)^0 = 1, (0,15)^0 = 1 $$

2-е свойство степени

Любое число в первой степени равно самому числу: \(a^1 = a\) Например:  $$ 23^1 =23, (−9,3)^1 = −9,3 $$

3-е свойство степени

Любое число в четной степени положительно: \(a^n = a^n\), если n - четное (делящееся на 2) целое число, \((−a)^n = a^n\), если n - четное (делящееся на 2) целое число. Например:  $$ 2^4 =16, (−3)^2 = 32 = 9, (−1)^{10} = 1^{10} =1 $$

4-е свойство степени

Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак: \(a^n = a^n\), если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число, \((−a)^n = − a^n\), если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число. Например: $$ 5^3 =125, (−3)^3 = −3^3 = −27 , (−1)^{11} = −1^{11} = −1 $$

5-е свойство степени

Произведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных  в эту степень (и наоборот): \((a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n\), при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа. Например: $$ (2,1\cdot 0,3)^{4,5} = 2,1^{4,5} \cdot 0,3^{4,5} $$

6-е свойство степени

Частное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот): \((a : b)^n = a^n : b^n\), при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа. Например: $$ (\frac{1,7}{5})^{0,1} = (1,7)^{0,1} : 5^{0,1} $$

7-е свойство степени

Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число - это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.) \(a^{−n} = \frac{1}{a^n} \), при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа. Например: $$ 7^{−2} = \frac{1}{7^2}= \frac{1}{49} $$

8-е свойство степени

Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени: \((\frac{a}{b})^{−n} = (\frac{b}{a})^n \), при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа. Например: $$ (\frac{2}{3})^{−2} = (\frac{3}{2})^2, \;\;\; (\frac{1}{4})^{−3} = (\frac{4}{1})^3 = 4^3 = 64$$

9-е свойство степени

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним: \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\), при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа. Например: $$ 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 $$ обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней: $$ 3^{−2} \cdot 3^6 = 3^{−2+6}= 3^4, \;\;\; 4^7 \cdot 4^{−3} = 4^{7+(−3)} = 4^{7−3} = 4^4 $$

10-е свойство степени

При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним: \(a^n : a^m = a^{n−m}\), при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа. Например: $$ (1,4)^2 : (1,4)^3 = 1,4^{2−3} =1,4^{−1} $$ обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней: $$ 3^{−2} : 3^6 = 3^{−2−6} = 3^{−8},\;\;\; 4^7 : 4^{−3} = 4^{7−(−3)} = 4^{7+3} = 4^{10} $$

11-е свойство степени

При возведении степени в степень степени перемножаются. \((a^n)^m = a^{n\cdot m}\) Например: $$ (2^3)^2 = 2^{3\cdot 2} = 2^6 = 64 $$