Способы решения алгебраических неравенств

К алгебраическим неравенствам относят:

• линейные неравенства;
• квадратные неравенства;
• рациональные и дробно-рациональные неравенства;
• иррациональные неравенства;
• показательные и логарифмические, сводящиеся к алгебраическим.

Для решения неравенств используют разные методы, например, графический и аналитический методы, метод равносильных преобразований на основе свойств числовых функций. Достаточно универсальным методом решения неравенств является метод интервалов, поскольку его можно применять для целого класса неравенств.

Метод интервалов

Методом интервалов решают неравенства, приведенные к виду F(x)>0 или F(x)<0, (F(x)≥0 или F(x)≤0).

Метод интервалов основан на том, что непрерывная на промежутке функция может менять знак только в тех точках, где ее значения равно нулю (но может и не менять).

Алгоритм метода интервалов:

1. Найти область определения функции D(F(x)) и промежутки, на которых F(x)непрерывна.
2. Найти нули функции F(x) – значения x, при которых F(x) = 0.
3. Нанести на числовую ось найденные промежутки и нули.
4. Определить интервалы знакопостоянства и в каждом из них поставить найденный подсчетом знак.
5. Написать ответ.

Рассмотрим пример применения данного метода для решения неравенства \(\frac{(x-1)^2 (x-2)^3}{x} > 0\):

1. Функция \(\frac{(x-1)^2 (x-2)^3}{x}\) непрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно–рациональная функция).

$$ D(F)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

2. Найдем точки, в которых наша функция F(x)=0, т.е. в данном случае задача сводится к решению соответствующих уравнений: (x-1)=0 или (x-2)=0 или x=0. В результате получили точки x=1, x=2 и x=0.

3. Нанесем на числовую ось найденные промежутки и нули:

4. Найдем знак правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x=1. Например, x=10. Тогда получим: $$ f(x)=x(x-1)^2 (x-2)^3 \\ f(10)=10(10-1)^2 (10-2)^3 = 298 > 0 $$

Расставляем остальные знаки. В точке x=1, уравнение (x-1)^2- четное, следовательно, знак остается без изменений; в точке x=2, (x-2)^3 - нечетное, знак функции изменяется на противоположный.

5. Вернемся к исходному неравенству: F(x)>0, следовательно, нам необходимо записать в ответ интервалы отмеченные знаком плюс.
Ответ: \(x \in (-\infty;0)\cup(2;+\infty)\).

Метод замены переменной

Мощным средством решения различных видов алгебраических неравенств является прием введения новой переменной, или "прием замены переменной". Данный прием необходимо применять в случае, если в исходном неравенстве неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой переменной и решить неравенство сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример 1. Решить неравенство: $$ 3^x + 10 \cdot 3^{-x} \leq 11 $$

Решение. Данное показательное неравенство решается приемом замены переменной. Введем замену 3^x=t, тогда неравенство примет вид:

$$ t + 10\cdot \frac{1}{t} \leq 11 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{t^2+10}{t} \leq 11 $$

В результате преобразований получим квадратное неравенство \(t^2-11t+10\leq 0\). Для его решения применим графический метод решения. Поскольку a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх. Для того, чтобы начертить эскиз графика (см. рис.) необходимо найти дискриминант трехчлена: \(t^2 - 11t + 10 = 0, D = 81 > 0\), следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках: \(t_1=10\) и \(t_2=1\).

Поскольку нам необходимо взять только те значения t, при которых квадратное неравенство принимает неположительные значения (знак неравенства ≤), то получаем \(t \in [1;10]\).

Сделаем обратную замену: \(1 \leq 3^x \leq 10\). В результате получим два неравенства: \(3^x \geq 1\) и \(3^x \leq 10\).

Решим первое неравенство:

$$ 3^x \geq 1 \Rightarrow 3^x \geq 3^0 \Rightarrow x \geq 0 $$

Решим второе неравенство:

$$ 3^x \leq 10 \Rightarrow x \leq log_{3}⁡10 $$

Ответ: \(x \in [0;log_{3}⁡10]\)

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители – это значит преобразовать его так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки. Данный прием является достаточно универсальным, поскольку его можно применять для решения алгебраических неравенств любого вида. К примеру, рассмотрим решение показательного неравенства с помощью разложения на множители.

Пример 2. Решить неравенство: \(20^x - 64\cdot 5^x - 4^x + 64 \leq 0\)

Решение. Представим 20^x в виде произведения множителей: 5^x • 4^x. Запишем исходное неравенство в виде:

$$ 5^x \cdot 4^x - 64\cdot 5^x - 4^x + 64 \leq 0 $$

Вынесем 5^x за скобку, получим \(5^x\cdot (4^x-64)-(4^x+64) \leq 0\) и преобразуем, получившееся неравенство:

$$ 5^x\cdot (4^x-64)-(4^x-64) \leq 0 \Leftrightarrow (5^x-1)(4^x-64)\leq 0, \\ (5^x-5^0)(4^x-4^3)\leq 0 $$

Воспользуемся свойством \(a^b-a^c > 0 \Leftrightarrow (a-1)(b-c)\) и запишем:

$$ (5-1)\cdot(x-0)\cdot(4-1)(x-3)\leq 0 \Leftrightarrow 4x\cdot 3(x-3)\leq 0 $$

Получили рациональное неравенство \(4x\cdot 3(x-3)\leq 0\), решение которого сводится к применению метода интервалов.

Введём функцию f(x)= 4x • 3(x-3). Найдем точки, в которых f(x)=0, т.е. в данном случае задача сводится к решению соответствующих уравнений: 4x = 0 и 3(x-3) = 0 . В результате получили \(x_1=0, x_2=3\). Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки функции на каждом из получившихся интервалов (рис.).

Поскольку нам необходимо взять только те значения x, при которых функция равна нулю или принимает отрицательные значения, то получаем \(x \in[0;3]\).

Ответ: \(x \in[0;3]\).

Возведение обеих частей иррационального неравенства в одну и ту же степень

Данный прием, как правило, применяется для решения иррациональных неравенств. В основе преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень. При решении таких неравенств необходимо следить за тем, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому необходимо учитывать область определения неравенства и область возможных значений решения.

Пример 3. Решить неравенство: \(\sqrt{x^2-4x} > x-3\).

Решение. Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то возводить обе части неравенства без определенных условий в квадрат нельзя. Необходимо рассмотреть два случая: x-3 < 0 и x-3 ≥ 0. Следовательно, неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

$$ \begin{cases} x-3 < 0\\x^2 -4x \geq 0\end{cases} \\ \begin{cases} x-3 \geq 0\\x^2 -4x \geq 0\\ x^2-4x > (x-3)^2 \end{cases} $$

Решим первую систему: \(\begin{cases} x-3 < 0\\x^2 -4x \geq 0\end{cases}\). Покажем решения каждого из неравенств на координатной прямой (рис.).

Следовательно, x ≤ 0.

Рассмотрим вторую систему:

$$ \begin{cases} x-3 \geq 0\\x^2 -4x \geq 0\\ x^2-4x > (x-3)^2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} x\geq 3\\x^2 -4x \geq 0\\ x^2-4x > x^2-6x+9 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 4\\ x > \frac{9}{2}\end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{9}{2} $$

Объединив полученные промежутки, получим \(x \in (-\infty;0]\cup(9/2;+\infty)\).

Логарифмирование при решении показательных неравенств

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить \(log_a ⁡A\) через логарифмы входящих в выражение A. Такое преобразование называют логарифмированием. Следует учесть, что при a > 1 знак неравенства сохраняется, при 0 < a < 1 - меняется.

Пример 4. Решить неравенство: \((\frac{x}{10})^{log_{10}⁡x-2}\leq 100\).

Решение. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Т.к. 10 > 1, то знак неравенства не изменится. Запишем:

$$ (\frac{x}{10})^{log_{10}⁡x-2}\leq 100 \Leftrightarrow log_{10⁡}(\frac{x}{10})^{log_{10}⁡x-2} \leq log_{10⁡}100 $$

Воспользуемся свойствами логарифмов \(log_a x^p = p log_a x⁡ \) и \(log_a⁡ \frac{x}{y} = log_a x - log_a y\) и преобразуем неравенство к виду:

$$ log_10⁡(\frac{x}{10})^{log_{10⁡}x-2} \leq log_{10⁡}100 \Leftrightarrow (log_{10⁡}x-2)log_{10}\frac{x}{10} \leq 2 \\ \Leftrightarrow (log_{10}x-2)(log_{10⁡}x - log_{10}10) \leq 2$$

Т.к. \(log_{10⁡}10 = 1\), неравенство примет вид

$$ (log_{10}x-2)(log_{10⁡}x-1) \leq 2$$

Используем прием замены переменной, обозначив \(log_{10⁡}x = t\).

Тогда $$(t-2)(t-1) \leq 2 \Leftrightarrow t^2-t-2t+2 \leq 2 \\ \Leftrightarrow t^2 - 3t \leq 0 \Leftrightarrow t(t-3) \leq 0$$ Для решения данного неравенства t(t-3) ≤ 0, воспользуемся методом интервалов. Обозначим точки \(t_1=0\) и \(t_2=3\) на числовой оси (рис.):

Решениями неравенства являются промежутки, на которых функция f(x)=t(t-3) равна нулю или принимает отрицательные значения. Значит \(t\in[0;3]\).

Вернемся к обратной замене. Получили \(0 < log_{10⁡}x < 3\). Представим левую и правую части неравенства в виде логарифмов с десятичным основанием:

$$ log_{10⁡}1 \leq log_{10⁡}x \leq log_{10}10^3 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 10^3 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 1000 $$

Ответ: \(x\in[1;1000]\)

Потенцирование при решении логарифмических неравенств

Под потенцированием понимается переход от неравенства, содержащего логарифмы, к неравенству без логарифмов: log_a⁡ f(x)∨log_a ⁡g(x) ⇒ f(x)∨g(x), где "∨"-любой из знаков неравенства: <, >, ≤ и ≥, и a > 0, a≠1, f(x) и g(x) > 0.

Пример 5. Решить неравенство: \(log_{0,5⁡}(4x^2+8x-3)\leq -1\).

Решение. Запишем данное неравенство в виде \(log_{0,5}⁡(4x^2+8x-3)\leq log_{0,5⁡}0,5^{-1}\). Воспользовавшись приемом потенцирования и учитывая, что 0,5 < 1, решим неравенство, равносильное данному:

$$ 4x^2+8x-3 \geq (0,5)^(-1) \Leftrightarrow 4x^2+8x-3 \geq 2 \Leftrightarrow 4x^2+8x-5 \geq 0 $$

Получившееся квадратное неравенство \( 4x^2+8x-5 \geq 0 \) решим методом интервалов, воспользовавшись алгоритмом решения квадратных неравенств.

1. Поскольку a=4 > 0, ветви параболы направлены вверх. 2. D = 144 > 0, \(x_1 = -2,5\) и \(x_2 = 0,5\). 3. Обозначим корни квадратного трехчлена на оси (рис.):

Решением неравенства являются промежутки, на которых функция \(f(x)= 4x^2+8x-5\) положительна: \((-\infty;-2,5]\cup[0,5;+\infty)\). Ответ: \(x\in(-\infty;-2,5]\cup[0,5;+\infty)\)

Прием рационализации

Идея приема рационализации заключается в том, что показательное, логарифмическое или другое неравенство, содержащее монотонную функцию, сводится рациональному неравенству. Итак, функция f(x) называется возрастающей, если для любых двух значений из области ее определения большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть если \(x_2 > x_1 \), то \(f(x)_2 > f(x)_1\).

Из определения следует, что для возрастающей функции f(x):

• если \(x_2-x_1 > 0\),то \(f(x_2)-f(x_1) > 0\);
• если \(x_2-x_1 < 0\),то \(f(x_2)-f(x_1) < 0\);

Следовательно, разности \(x_2-x_1\) и \(f(x_2)-f(x_1)\) имеют один и тот же знак. Аналогично для убывающей функции f(x) можно сделать вывод \(x_2-x_1\) и \(f(x_2)-f(x_1)\) всегда имеют противоположные знаки. Данные свойства используют при решении неравенств, содержащих в себе любые монотонные функции (показательные, логарифмические, иррациональные и другие).

К примеру, рассмотрим неравенство вида: \(log_a⁡ f(x)-log_a⁡ g(x) > 0\)

Поскольку основание логарифма может быть больше или меньше 1, функции f(x) и g(x) могут как возрастать, так и убывать. Следовательно, знак неравенства сохранится или поменяется на противоположный.

Учитывая, что основание логарифма a > 0 и a ≠ 1, запишем совокупность двух систем:

$$ \begin{cases}a > 1\\f(x) > g(x)\end{cases} \\ \begin{cases}a < 1\\f(x) < g(x)\end{cases} $$

Преобразуем данную совокупность к равносильной системе:

$$ \begin{cases}a > 1\\f(x) > g(x)\end{cases} \\ \begin{cases}a < 1\\f(x) < g(x)\end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases}a-1 >0\\f(x)- g(x)>0\end{cases} \\ \begin{cases}a-1< 0\\f(x) - g(x) < 0\end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases}(a-1)(f(x)-g(x))>0\\a>0\\a\neq 1\\f(x)>0\\g(x)>0\end{cases} $$

Пример 6. Решить неравенство: \(log_{x^2}(x^2+4) - log_{x^2}(2x+3) \geq 0\)

Решение. Воспользуемся методом рационализации неравенства, запишем систему неравенств:

$$ \begin{cases}(x^2-1)((x^2+4)-(2x+3)) \geq 0\\x^2 > 0\\x^2 \neq 1\\ x^2+4 > 0\\ 2x+3 >0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases}(x^2-1)(x^2-2x+1) \geq 0\\x \neq 0\\x \neq \pm 1\\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}(x^2-1)(x-1)^2 \geq 0\\x \neq 0\\x \neq \pm 1\\ x > -\frac{3}{2} \end{cases} $$

Полученную в результате преобразований систему решим методом интервалов (рис.):

Ответ: \(x \in (-\frac{3}{2};-1)\cup(1;+\infty)\).