Как найти координаты точки пересечения высоты и меридианы в треугольнике, если заданы координаты вершин А, В, С?
Находим уравнение сторон АВ, ВС, АС через уравнение прямой, что проходит через две точки
$$ \frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0} $$либо через систему двух линейных уравнений, используя формулу прямой с угловым коэффициентом
$$ y_1=kx_1+b; \;\;\; y_2=kx_2+b;\;\;\; y=kx+b $$(нужно про себя отдельно выделить возможный уникальный случай, когда одна из прямых получается x=c, где с - некоторое действительное число)
Дальше, используя признак перпендикулярности прямых, по угловому коэффициенту прямой стороны k находим угловой коэффициент высоты, опущеной на эту сторону, как (-1/k)
$$ k_1k_2=-1 $$ - признак перпендикулярности на плоскости.А дальше, используя координаты вершины, с которой опущена высота, и угловой коэффициент через формулу прямой с угловым коэффициентом, находим уравнение высоты.
Решив систему уравнений, где уравнения - уравнения формул задающих прямые высот - найдем точку пересечения высот.
Для медиан
Находим середины сторон по формулам координат середины отрезка
$$ x_c=\frac{x_1+x_2}{2}; \;\;\; y_c=\frac{y_1+y_2}{2} $$Потом используем формулу прямой, проходящей через две точки, либо системой линейных уравнений через формулу прямой с угловым коэффициентом, имея координаты вершины треугольника и соответствующей середины противоположной стороны - уравнения медиан. Имея уравнения медиан, через систему уравнений находим точку пересечения медиан.
Либо, найдя одну из середин сторон и координаты соответствующей вершины, и помня, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, использовать формулу координат точки, делящей отрезок в заданном отношении.
