решение уравнений »

решить логарифмическое уравнение

  • Решить логарифмическое уравнение \( \log_{2x-1}(3x-2) = 3 - 2\log_{3x-2}(2x-1)\)


    Решение: Приведём логарифмы к одному основанию. Будем основание делать 2х -1
    log2x-1(3x-2) = 3 -2/log2x-1(3x -2)
    Обозначим log2x-1(3x -2) = t
    Уравнение примет вид :
    t = 3 - 2/t | * t
    t² = 3t -2
    t² -3t +2 = 0
    По т. Виета t1 = 1 и t2 = 2
    a) log2x -1 ( 3x -2) = 1 б) log2x -1 ( 3x -2) = 2
    ОДЗ
    2х-1 >0,⇒ 2x >1,⇒ x > 1/2
    2x -1 ≠ 1, ⇒ x ≠ 1/2   
    3x -2 >0, ⇒ 3x >2, ⇒ x > 2/3
    ОДЗ:  x > 2/3
    2х -1 = 3х -2 (2х -1)² = 3х -2
    х = 1     ( в ОДЗ входит)  4х² - 4х +1 = 3х -2 
      4х² -7х +3 = 0
      D = b² -4ac = 49 - 48 = 1
      x = 1 или х = 6/8 = 3/4 ( в ОДЗ входит)
    Ответ: 1 и 3/4  

  • Логарифмическое выражение. \(15\log_{\frac{1}{7}}(\sqrt[5]{7}\cdot\frac{1}{49}\cdot 5^{\log_{\sqrt5}\sqrt[3]{49}})\)


    Решение: Преобразуя все показатели в степень получим:
    15 log (7^-1,7^1/5 *7^-2* 5 ^log (5^ 1/2,7^2/3))
    Тогда по свойству логарифма это выражение равносильно:
    15 *log(7^-1,7^-9/5 *5^log (5,7) *5^4/3)=-15 log(7,7^-4/5 *5^4/3)=
    -15 *(-4/5) -15*4/3 *log(7,5)=12-20*log(7,5)=4(3-5log(7,5))

    Преобразуя все показатели в степень получим log - - log Тогда по свойству логарифма это выражение равносильно log - - log - log - - - - log - log - log...

  • Решить логарифмическое уравнение:
    log3(x^2-3x+2)=1


    Решение: X²-3x+2=3¹
    x²-3x-1=0
    D=9+4=13
    x₁=(3+√13)/2
    x₂=(3-√13)/2

    ОДЗ: х²-3х+2>0
       (x-1)(x-2)>0
    \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\  /////////////////
       -(1)-(2)-
    ОДЗ : (-∞;1)U(2;+∞)
    По определению логарифм - показатель (1) степени, в которую нужно возвести основание (3), чтобы получить выражение под знаком логарифма
    3=х²-3х+2
    или
    х²-3х-1=0
    D=(-3)²+4=13
    x=(3-√13)/2<1  или   x=(3+√13)/2>2
    Оба корня входят в ОДЗ
    Ответ. (3-√13)/2 ; (3+√13)/2

  • Решить логарифмическое уравнение:
    1) Выбрать метод решения каждого уравнения
    2) Записать алгоритм решения каждого логарифмического уравнения
    3) Решить и подробно оформить решение уравнений
    log1/7 (x^2-5x+6)=-1


    Решение: 1) Данное уравнение можно решить, используя определение логарифма. Логарифм числа по данному основанию - это показатель степени, в который нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
    3) a) ОДЗ  x^2 - 5x +6 больше нуля
      х∈ (- ∞; 2)∨(3; + ∞)
      б) (1/7)^-1 = x^2 - 5x +6,
      7 = x^2 -5x +6,
      x^2 - 5x - 1=0
    решаем это квадратное уравнение и смотрим: какой корень (или оба) попадут в ОДЗ

  • Решить логарифмическое уравнение \(\frac{\lg^2x^6}{6}=\lg1000x^{35}+28=0\)


    Решение: (lg²x⁶)/6-lg1000x³⁵+28=0
    x>0 - ОДЗ
    (36lg²|x|)/6 - lg1000x³⁵+28=0
    (36lg²x)/6-lg|x³⁵|+25=0
    (36lg²x)/6-35lgx+25=0
    Пусть lg x = t
    6a²-35a+25=0
    D=1225-600=625
    a1=5/6
    a2=5
    Обратная замена
    lg x= 5/6
    x=√$$ \sqrt[6]{100000} $$
    lg x = 5
    x=100000

    36(lgx)²/6 -lg1000-35lgx+28=0
    6(lgx)²-35lgx-3+28=0
    6(lgx)²-35lgx+25=0
    lgx=a
    6a²-35a+25=0
    D=1225-600=625
    a1=(35-25)/12=5/6⇒lgx=5/6⇒x=$$ \sqrt[6]{100000} $$
    a2=(35+25)/12=5⇒lgx=5⇒x=100000

1 2 3 > >>