решение уравнений »

решить логарифмическое уравнение - страница 2

  • Решить логарифмическое выражение
    1) log 5 2* log 2 25
    2) \( log_{2,5}9 * log_{9} 4 \)


    Решение: Используя формулу перехода логарифма к другому основанию,
    $$ log_a b=\frac{log_c b}{log_c a} \\ log_c a*log_a b=log_c b \\ a>0;a = 1;c>0; c = 1; b>0 $$
     формулу логарифма степени
    $$ log_a b^c=c*log_a b $$
    и логарифма за одинаковым основанием
    $$ log_a a=1; \\ a>0;a = 1 $$
    -
    $$ log_5 2*log_2 25=log_5 25=\\\\log_5 5^2=2*log_5 5=5*1=5 $$
    -
    $$ log_{2.5} 9*log_9 4=log_{2.5} 4 $$
     и дальше красиво разложить нету возможности
    -
    $$ log_{0.5} 9*log_9 4=log_{0.5} 4=\\\\log_{2^{-1}} 2^2=\frac{2}{-1}log_2 2=-2*1=-2 $$
    -
    $$ log_{0.25} 9*log_9 4=log_{0.25} 4=\\\\log_{2^{-2}} 2^2=\frac{2}{-2}log_2 2=-1*1=-1 $$

  • решите логарифмическое выражение:
    Lg(2внизу) 3-lg(2внизу)(2-3х)=2-lg(2внизу)(4-3х)


    Решение: сначала ОДЗ 2-3х>0, 4-3x>0. x<2/3. тепер упрощаем левую часть: Lg(2внизу) 3-lg(2внизу)(2-3х)=lg(2внизу)(3/(2-3x)). Переносим логарифм с правой части в лево : 

     lg(2внизу)(3/(2-3x)) + lg(2внизу)(4-3х) = 2

    Опять упрощаем левую часть lg(2внизу)(3/(2-3x)) + lg(2внизу)(4-3х) =  lg(2внизу)(3*(4-3х)/(2-3х)) = 2

    теперь за основным свойством логарифма 2^2 = 3*(4-3х)/(2-3х).

    отсюдова 8-12х = 12 - 9х 

    х = -4/3 

  • решить логарифмическое уравнение \(\log_{5x-2}(2) + \frac{2}{\log_x(5x-2)}=\log_{5x-2}(x+1)\)


    Решение: Сначала надо написать ОДЗ: 5x-2>0, 5x-2<>1, x<>1, x>0, x+1>0

    Решив систему и получив интервалы мы приведем уравнение к одному основанию (5x-2)

    Теперь полученное уравнение о сумме логарифмов равна произведению подлогарифмического выражения получим уравнение.

    $$ log_{5x-2}(2x^2)=log_{5x-2}(x\oplus1) $$

    Опустим основанеи и получим квадратное уравнение. 2x^2-x-1=0. Решив его получим два корня 1 и -1/2/ Оба не удовлетворяют условиям. Поэтому корней нет. на теории же некоторые программы считают что корень есть и равен 1, но уравнение теряет смысл.

    Ответ: корней нет

  • Решить логарифмическое уравнение (профиль): \( lg^2(2x^3+x^2-13x+7) + log^2 _{5}(2x^2+5x-2)=0 \)


    Решение: Равенство суммы 2-х квадратов возможно только если каждый из них равен 0. Логарифм по любому основанию равен 0 если выражение под знаком логарифма равно 1.
    2x³+x²-13x+7-1=0 2x³+x²-13x+6=0 но сначала решим
    2x²+5x-2-1=0 2x²+5x-3=0 D=25+24=49 √D=7
    x1=1/4[-5-7]=-3 х2=1/4[-5+7]=1/2
    проверим теперь полученные корни на то что они корни и первого у-я
    х=-3 -2*27+9+39+6 = 0
    x=1/2 2*1/8+1/4-13/2+6=1/2-13/2+6=-6+6=0
    ответ х=1/2; -3

  • Решить логарифмическое уравнение
    1) log0.2(3x^2-3x+1)=0
    2) log7(2x-5)>1


    Решение: 1
    log(0,2)(3x²-3x+1)=0
    ОДЗ
    3x²-3x+1>0
    D=(-3)²-4*3*1=9-12=-<0⇒при любом х выражение стоящее под знаком логарифма больше 0
    x∈(-∞;∞)
    3x²-3x+1=(0,2)^0
    3x²-3x+1=1
    3x²-3x=0
    3x(x-1)=0
    x=0
    x-1=0⇒x=1
    Ответ х=0, х=1
    2
    log(4)(2x-5)>1
    {2x-5>0⇒2x>5⇒x>5:2⇒x>2,5
    {2x-5>7⇒2x>7+5⇒2x>12⇒x>12:2⇒x>6
    по правилу больше большего выбираем решение
    x∈(6;∞)

<< < 12 3 4 > >>